Tóm tắt công thức Toán cấp 3

Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 1
TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN CẤP 3
A. ĐẠI SỐ.
1. Tam thức bậc hai.
Giả sử 2( ) 0; , ; ;             
bf x ax bx c a S a
0( ) 0
0
     
af x x 1 2
1 2
0
( ) 0

 
        
x x
x x af
0( ) 0
0
     
af x x 1 2
( ) 0
( ) 0

 

     
afx x af
 là nghiệm của ( )f x ( ) 0 f 1 2
( ) 0
( ) 0

 

     
afx x af
1 2 ( ) 0    x x af 1 2
( ) 0
( ) 0

 

     
afx x af
1 2
0
( ) 0
0
2
 

      
x x af
S
1 2
1 2
( ). ( ) 0   
 
       
x x f fx x
1 2
0
( ) 0
0
2
 

      
x x af
S 1 2
0
( ) 0
( ) 0
0
2
0
2

  


          
af
x x af
S
S
2. Bất đẳng thức Cơ si:
Với hai số 0, 0 a b thì
2
 a b ab . Dấu '' '' xảy ra  a b
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 2
3. Phương trình – bất phương trình chứa trị tuyệt đối
   A B A B 2 2  A B A B
2
0   
BA B A B     
A BA B A B    A B B A B
4. Phương trình – bất phương trình chứa căn
 0 0    
A BA B A B
2
0
0
    
A
A B B
A B
2
0   
BA B A B
2
00
0
      
BBA B A A B0   
AA B A B
B. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG .
1. Định lý hàm số Cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
  
  
  
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2. Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
  a b c RA B C
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 3
3. Cơng thức tính diện tích tam giac:
1 1 1
2 2 2
  a b cS ah bh ch 4
abcS R
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
  S ab C ac B bc A
      S p p a p b p c
.S pr
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ .
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để giải một hệ phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đĩ
ta cịn cĩ một số loại hệ phương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Dạng: 1 1 1
2 2 2
(*)   
a x b y c
a x b y c
 Cách giải: Cơng thức Crammer
Đặt 1 1
2 2
 a bD a b ;
1 1
2 2
x
c bD c b ;
1 1
2 2
y
a cD a c
- Nếu 0D : hệ (*) cĩ nghiệm duy nhất
  
x
y
Dx D
Dy D
- Nếu 0D và 0xD hay 0yD : hệ (*) vơ nghiệm.
- Nếu 0  x yD D D : hệ (*) cĩ hai trường hợp xảy ra: hoặc vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm.
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.
 Dạng: ( , ) 0 (*)( , ) 0
 
f x y
g x y trong đĩ khi hốn vị vai trị của x và y cho nhau, từng phương trình của
hệ khơng thay đổi.
 Cách giải:
Đặt ;  S x y P xy
Giải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 2 0  X SX P
Điều kiện để phương trình trên cĩ nghiệm là 2 4 0   S P
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 4
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
 Dạng: ( , ) 0 (1) (*)( , ) 0 (2)
 
f x y
f y x trong đĩ khi hốn vị vai trị của x và y cho nhau,thì phương
trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
 Cách giải: Cĩ 2 cách
Cách 1:
( , ) ( , ) 0
( , ) 0
  
f x y f y x
f y x
Cách 2:
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
   
f x y f y x
f x y f y x
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP .
 Dạng: Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
 Cách giải:
- Xét 0x , thế vào hệ tìm y.
- Xét 0x , đặt y tx , thế vào hệ tìm t, sau đĩ suy ra x và y.
D. LƯỢNG GIÁC.
I. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC.
1. Các cung liên quan đặc biệt
1.1 Hai cung đối nhau: ( và - )
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
 
 
 
 
 
  
  
  
1.3 Hai cung phụ nhau: ( và
2

 )
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
 
   
 
   
            
            
1.2 Hai cung bù nhau: ( và   )
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
  
  
  
  
 
  
  
  
1.4 Hai cung hơn, kém  : ( và   )
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
  
  
  
  
  
  
 
 
1.5 Cung hơn kém
2
 :
cos sin ; sin cos ;
2 2
              x x x x
Ghi nhớ: ‘ cos đối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém  tan, cot ‘.
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 5
2. Các cơng thức lượng giác cơ bản
2 2sin cos 1  x x 221 1 tancos   xx
2
2
1 1 cot
sin
  xx tan .cot 1 x x
sin
tan
cos
 xx x
cos
cot
sin
 xx x
3. Cơng thức cộng
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
  
 
 


a b a b a b
a b a b a b
a ba b a b
4. Cơng thức nhân
4.1 Cơng thức nhân đơi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 t ana
t an2
1 tan

     
 
a a a
a a a a a
a a
4.2 Cơng thức nhân ba
3
3
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
t an3
1 3tan
 
 
 
a a a
a a a
a aa a
5. Cơng thức hạ bậc
2 2
3 3
1 cos 2 1 cos 2
sin cos
2 2
3sin s in3 3cos cos3
sin cos
4 4
  
  
a aa a
a a a aa a
6. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
  
   
  
  
a b a ba b
a b a ba b
a b a ba b
a b a ba b
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 6
7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
 
 
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
   
    
   
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Kiến thức cơ bản
2
sin sin
2

 
      
u v ku v u v k
2
cos cos
2


      
u v ku v u v k
tan tan 2   u v u v k
cot cot 2   u v u v k
Trường hợp đặc biệt:
sin 0   u u k cos 0
2

   u u k
sin 1 2
2

   u u k cos 1 2  u u k
sin 1 2
2

     u u k cos 1 2     u u k
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Kiến thức cơ bản
 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác là phương trình cĩ dạng:
2 0  at bt c (1) trong đĩ t là một trong các hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu.
 Cách giải: Đặt t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chú ý: sin ; cos 1u u
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN u VÀ COSu
Kiến thức cơ bản
Dạng : sin cos a u b u c (1) trong đó 2 2 0 a b
Điều kiện cĩ nghiệm: 2 2 2 a b c
Cách giải:
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 7
Chia hai vế của PT cho 2 2a b ,
(1) 
2 2 2 2 2 2
sin cos   
a b cu u
a b a b a b
sin .cos cos .sin sin    u u
sin( ) sin   u
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU
Kiến thức cơ bản
Dạng tổng quát:
2 2sin sin cos cos  a u b u u c u d (2)
Cách giải:
B1: Xét cos 0u . Kiểm tra 2

 u k cĩ thỏa phương trình (2) khơng ?
B2: Xét cos 0u . Chia 2 vế phương trình (2) cho 2cos u . Ta được phương trình mới dạng:
2tan tan 0  a u b u c .
*Chú ý: Nếu phương trình lượng giác cĩ bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo sinu và cosu thì ta
cũng giải bẳng phương pháp trên.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG
Dạng tổng quát:
 sin cos sin cos 0   a u u b u u c (3)
Cách giải:
Đặt t = sin cos 2 sin( ) (*)
4
  x x x (Điều kiện: 2t )
2 1
sin cos
2
   tx x .
Thế vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
Một số cơng thức quan trọng
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
               u u u u
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
                u u u u
 21 s in2 sin cos   x x x
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 8
E. CƠNG THỨC ĐẠO HÀM.
1. Quy tắc cơ bản.
   c ’ 0  ' ' '  u v u v
 '. ' ' u v u v v u ' 2' '    
u u v v u
v v
2. Bảng cơng thức tính đạo hàm.
 '. k x k  '. . 'k u k u
1( ) ' . n nx n x 1( ) ' . .( ) 'n nu n u u
2
1 1( ) '  x x 2
1 ( ) '( ) '   uu u
1( ) '
2
x x
'( ) '
2
 uu u
 'sin cosx x    ' 'sin cos .u u u
 'cos sin x x    ' 'cos sin . u u u
2
2
1(tan ) ' 1 tan
cos
  x x x
2
2
'(tan ) ' (1 tan ). '
cos
   uu u u u
2
2
1(cot ) ' (1 cot )
sin
    x x x
2
2
'(cot ) ' (1 cot ). '
sin
     uu u u u
( ) ' x xe e ( ) ' . 'u ue e u
( ) ' .lnx xa a a ( ) ' .ln . 'u ua a a u
1(ln ) ' x x
'(ln ) '  uu u
1(log ) '
.ln
a x x a
'(log ) '
.ln
a uu u a
*Đặc biệt :
 2' ( )
   
a b
c dax by ycx d cx d

1 1 1 1 1 12
2
2 2 2 2 2 21 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
' ( )
       
a b a c b cx xa b a c b ca x b x cy ya x b x c a x b x c
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 9
F. CƠNG THỨC MŨ – LOGARIT.
STT CƠNG THỨC MŨ
1.
 thua so
. ...n
n
a aa a
2.
1 a a a
3.
0 1a 0 a
4.
1 n na a
5. 
m
n mna a
6.
1 1  
m
n
m n m
n
a
aa
7. . m n m na a a
8. 
m
m n
n
a aa
9. .( ) ( ) m n n m m na a a
10. ( . ) .n n nab a b
11. ( ) 
n
n
n
a a
b b
12. log  M aa N M N
STT CƠNG THỨC LOGARIT
1 log 1 0a
2 log 1a a
3 log Ma a M
4 log aNa N
5 1 2 1 2log ( . ) log log a a aN N N N
6 1 1 2
2
log ( ) log log a a aN N NN
7 log .log a aN N
8 2log 2.loga aN N
9 log log .loga a bN b N
10
loglog
log
 ab
a
NN b
11
1log
log
a
b
b a
12
1log log

 aa N N
13 log c log ab ba = c
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 10
G.CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM.
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1.  dx x C
2.  kdx kx C
3.  1 1
1

   
n
n xx dx C nn
4.  0ln1  xCxdxx
5. 2
1 1   dx Cx x
6.   1
1 1
1 
   n ndx Cx n x
7.   x xe dx e C
8.  0 1
ln
    xx aa dx C aa
9. cos sin  xdx x C
10. sin cos   xdx x C
11. 22
1 (1 tan ) tan
cos
    dx x dx x Cx
12. 22
1 (1 cot ) cot
sin
     dx x dx x Cx
13. 1
1 1 1
1 
    n ndx cx n x
14. 1
2
  dx x cx
15.  1f(ax + b)dx = F(ax + b) + Ca
16.
     
1
1 1
1

 

    ax bax b dx Ca
17.  1 1 ln 0    dx ax b C xax b a
18. 1   ax b ax be dx e Ca
19.    1cos sin    ax b dx ax b Ca
20.    1sin cos     ax b dx ax b Ca
21.    2
1 1
tan
cos
   dx ax b Cax b a
22.    2
1 1
cot
sin
    dx ax b Cax b a
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 11
H.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.
Cho vectơ  ; ;u x y z ;  '; '; 'v x y z
và hai điểm  ; ;A A AA x y z ;  ; ;B B BB x y z .
1.  '; '; '     u v x x y y z z
2.  . ; ;k u kx ky kz
3. Điều kiện bằng nhau của hai vectơ:
'
'
'
 
    
x x
u v y y
z z
4.
u cùng phương v 
' ' '
 x y zx y z
5.
u cùng phương v  , 0   
  u v
6. Tích vơ hướng của hai vectơ: . ' ' '   u v xx yy zz
7. Độ dài của một vectơ :
2 2 2  u x y z
8. Vectơ tạo bởi 2 điểm A, B:
 ; ;    B A B A B AAB x x y y z z
9. Độ dài đoạn thẳng AB:
     2 2 2       B A B A B AAB AB x x y y z z
10. Góc giữa hai vectơ :
2 2 2 2 2 2
. ' ' '
cos
.
. ' ' '

      
 
 u v xx yy zzu v x y z x y z  00 180 
11. Điều kiện vuông góc của hai vactơ:
. 0 ' ' ' 0         u v u v xx yy zz
12. M là trung điểm của đoạn AB 
2
2
2
     
A B
M
A B
M
A B
M
x xx
y yy
z zz
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 12
13. G là trọng tâm tam giác ABC 
1 ( )
3
1 ( )
3
1 ( )
3
         
G A B C
G A B C
G A B C
x x x x
y y y y
z z z z
14. G là trọng tâm tứ diện ABCD 
1 ( )
4
1 ( )
4
1 ( )
4
            
G A B C D
G A B C D
G A B C D
x x x x x
y y y y y
z z z z z
15. Tích CÓ HƯỚNG của hai vectơ:
 , ; ;
' ' ' ' ' '
    
  y z z x x yu v y z z x x y
16. Tính chất quan trọng :
 ,   u v u và  ,   u v v
17. Diện tích tam giác ABC : 1 ,
2
   
 
ABCS AB AC
18. Diện tích hình bình hành ABCD: 2 ,     
 
hbhABCD ABCS S AB AC
19. Thể tích tứ diện ABCD : ABCD
1V AB , AC .AD
6
   
  
20. Chiều cao AH của tứ diện ABCD: ABCD3.V


BCD
AH S
21. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ : V [AB, AD ].AA’   
22. Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác  , AB AC không cùng phương
23. Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng  ABCD là tứ diện  , . 0   
  AB AC AD
24. Điều kiện để ABCD là hình bình hành   AB DC
25. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:  
2 2 2
, ( )     
o o oAx By Cz Dd M
A B C
26. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
0 ,( , )
  
 
 
M M a
d M
a
27. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
, .
( , ')
,
     
  
 
a b MN
d d d
a b
28. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
.
sin
.
 
 
 nan a
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 13
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY.
 Diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy:
   1 2 1 2 1 2 2 11; , ; 2    
 
ABCAB a a AC b b S a b a b
1. Đường thẳng.
a. Các dạng phương trình đường thẳng:
- Phương trình tổng quát:  2 20 0    Ax By Cz A B
( Vec tơ pháp tuyến  ;n A B , Vec tơ chỉ phương  ; a B A hay  ; a B A )
- Phương trình tham số:  0 1
0 2
    
x x a t ty y a t
( Vec tơ chỉ phương  1 2;a a a và đi qua điểm  0 0,M x y )
- Phương trình chính tắc: 0 0
1 2
 x x y ya a
- Phương trình đoạn chắn: 1 x ya b
( Đi qua hai điểm    ; 0 , 0;A a B b )
b. Gĩc giữa hai đường thẳng.
Gọi 1 2
 
n và n là hai VTPT của hai đường thẳng 1 2 và . Khi đĩ:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2 2 2
1 2 1 21 2
| . | | |
cos( , ) cos( , )
.| || |
 
 
 
      
n n a a bbn n
a a b bn n
c. Khoảng cách từ một điểm  ;M MM x y đến một đường thẳng : 0  Ax By C là:
 
2 2
,
   
M MAx By Cd M
A B
2. Đường trịn.
Các dạng phương trình đường trịn:
- Dạng 1. Phương trình đường trịn (C) cĩ tâm  ;I a b và bán kính R là:
     2 2 2:    C x a y b R
- Dạng 2. Phương trình dạng: 2 2 2 2 0    x y ax by c với điều kiện 2 2 0  a b c là phương trình
đường trịn (C) cĩ tâm  ;I a b và bán kính 2 2  R a b c .
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 14
3. Elip.
- Phương trình chính tắc của Elip (E):
2 2
2 2 1 x ya b   2 2 2;  a b c a b
- Tiêu điểm:    1 2;0 , ;0F c F c
- Đỉnh trục lớn :    1 2;0 , ;0A a A a
- Đỉnh trục bé:    1 20; , 0;B b B b
- Tâm sai: 1 ce a
- Phương trình đường chuẩn:  ax e
- Điều kiện tiếp xúc của (E) và : 0   Ax By C là: 2 2 2 2 2 A a B b C
4. Hypebol.
- Phương trình chính tắc:
2 2
2 2 1 x ya b ,
2 2 2 c a b
- Tiêu điểm    1 2;0 , ;0F c F c
- Đỉnh trên trục thực    1 2;0 , ;0A a A a .
- Tâm sai:  ce a
- Phương trình đường chuẩn:  ax e
- Điều kiện tiếp xúc của (H) và : 0   Ax By C là: 2 2 2 2 2 A a B b C
5. Parabol.
x
y
F2F1
B 2
B 1
A 2A 1
O
M
y=
b
a
x
y=-
b
a
x
B1
B2
A 2
F2
A 1
F1
O
y
x
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 15
- Phương trình chính tắc: 2 2y px
-Tiêu điểm ;0
2
   
pF
- Phương trình đường chuẩn
2
  px
- Điều kiện tiếp xúc của (P) và : 0   Ax By C là: 22 AC B p
B2
F2
y
xO
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 16
J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
I . CÁC HÌNH CƠ BẢN
1/ Hình chóp
a/ Hình chóp thường:
b/ Hình chóp đều :
* Hình chóp tam giác đều (Tứ diện đều)
* Hình chóp tứ giác đều
A
Hình chóp tam giác S.ABC
(Tứ diện S.ABC) Hình chóp tứ giác S.ABCD
C
C
I
*Tính chất:
-Đáy là tam giác đều
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâmABC)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích  đều :
2 3
4
 canhS
-Đường cao  đều: 3
2
 canhh
*Tính chất:
-Đáy là hình vuông
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là giao điểm 2
đường chéo)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích hình vuông : S=Cạnh2
-Đường chéo hình vuông: = cạnh 2
S
A
B
C
S
B
D
S
A
B
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 17
2/ Hình lăng trụ
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), ta làm như sau:
*CÁCH 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với HAI đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(α)
( )
, ( )


    
d a
d b d
a b
*CÁCH 2: Sử dụng định lí:’’Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia’’
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
 


 
      
d dc
d c
*CÁCH 3: Sử dụng định lí:’’Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng
cũng sẽ vuông góc với mp đó’’.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
 
  
 
     
c
c
2/ Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một
mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
( )
( )


   
d d aa
Lăng trụ thường Lăng trụ đứng Hình lập phương
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 18
3/ Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
( ) ( ) ( )( )

 

   
d
d
III. CÁC VẤN ĐỀ VỀ GÓC
1/ Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ nào
đó cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b.
 ( , ) ( ', ')a b a b
2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) là góc giữa chính đường thẳng a và hình
chiếu của nó lên mặt phẳng ( )
b) Phương pháp thực hiện.
3/ Góc giữa 2 mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với GIAO
TUYẾN của hai mặt phẳng đó.
b) Phương pháp.
b b’
a
*PP: Gọi  là góc cần tìm.
-B1: Tìm giao điểm O của a và ( )
-B2: Tìm đường vuông góc từ đường thẳng a xuống
mặt phẳng ( )
-B3: OH là hình chiếu của a lên ( )
Vậy ( , )  a OH
*PP: Gọi  là góc cần tìm
-B1: Xác định giao tuyến c của ( ) và ( )
-B2: Tìm đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng.
-B3: Từ chân đường vuông góc, hạ đt vuông góc với gt c tại H.
-B4: Chứng minh đt hạ từ đỉnh đường vuông góc xuống H vuông góc
với gt c.
Suy ra góc  .
a’
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 19
IV. CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mp
Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp ( ) ,ta tìm một đt thỏa: : ( ) tại
 
Qua Aa H
Khi đó : AH là khoảng cách cần tìm
*Lưu ý:
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đt đến
mp
( ) ( , ( )) ,   AB d AB IH I AB
3. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp kia
( ) ( ) (( ), ( )) ( , ( )), ( )        d d A A
( , ( )), ( )  d B B
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nhắc lại: Đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau a, b là đt cắt a, b và đồng thời vuông góc với
2 đt đó.
*TH1: a, b chéo nhau và a b . Khi đó:
Nếu AB cắt ( ) tại I thì
( , ( ))
( , ( ))
d A IA
d B IB



PP:
-B1: Tìm mp ( ) Chứa
tại
 
b
a A
-B2: Từ A kẻ AB b tại B
AB là đoạn vuông góc chung của
a và b
Vậy ( , ) d a b AB
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 20
*TH2: a, b chéo nhau đồng thời có mp ( ) chứa b và song song với a
*TH3: Trường hợp tổng quát
PP
- Dựng mp ( ) vuông góc với a tại O. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên ( )
- Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’. Từ H dựng đt song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đt song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
d(a,b) = AB = OH
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ:
Shình vuông = cạnh 2 Diện tích hình chữ nhật = dài . rộng
Đường chéo hình vuông = cạnh . 2 Shìnhtròn= 2R
Diện tích tam giác thường = 1
2
(cạnh đáy.đường cao) Thể tích khối chóp V = 1
3
(Sđáy  cao)
Diện tích tam giác thường = 1
2
a . b (a, b là 2 cạnh
góc vuông)
Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy  cao
Diện tích tam giác đều =
2 3
4
canh
Thể tích khối cầu V= 34
3
R
PP:
-B1: Lấy M a ,kẻ ( )MH  tại H
-B2: Từ H dựng 'a a , cắt b tại B
-B3: Từ B dựng đt  MH cắt a tại A
AB là đoạn vuông góc chung
Vậy ( , ) ( , ( ))d a b AB MH d M   
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 21
Đường cao tam giác đều = 3
2
canh Diện tích mặt cầu S= 24R
Shình thang =
1
2
(đáy nhỏ + đáy lớn)  cao Thể tích khối nón V= 1
3
(Sđáy  cao)= 213R h
Tam giác ABC vuơng tại A: 2 2 2
1 1 1 AH AB AC
Thể tích khối trụ V= Sđáy  cao = 2R h
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 22
K. SỐ PHỨC
1. Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan
Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức cĩ dạng a bi ; trong đĩ , a b và 2 1 i .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là  .
 Nếu  z a bi thì a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z .
 z gọi là số thực kh i 0a
 z gọi là số thuần ảo khi 0b
Các khái niệm liên quan :
Cho số phức  z a bi . Khi đĩ :
 Mỗi số phức  z a bi được biểu diễn bởi một điểm  ;M a b trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
 2 2  z OM a b gọi là mođun của số phức z .
 Số phức  z a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z .
Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức  z a bi và    z a b i . Khi đĩ:
2. Các phép tốn trên tập hợp số phức
Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
       
       
      
      
      
     
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
Chú ý :
 Các phép tốn : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọ n biểu thức đại số thơng thường
với chú ý rằng 2 1 i .
 Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.
 Cho  z a bi . Khi đĩ : 2 2.  z z a b .
Phép chia hai số phức :
 . 0
.
  z z z zz z z .
Số phức nghịch đảo của z  0z : 1 1 z z
3. Phương trình bậc hai
Căn bậc hai của số thực âm :
Cho a là số thực âm. Khi đĩ a cĩ hai căn bậc hai là : i a và i a .
   
a az z b b
Bảng tĩm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 23
Cách giải phươn