Tóm tắt Giải Tích 12
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Tóm tắt Giải Tích 12, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TĨM TẮT GIẢI TÍCH 12
@.
1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); D=b2-4ac (D’=b’2-ac với b’=b/2)
Thì
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a ; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ D<0 thì f(x) cùng dấu a +
+ +
+ +
3. phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + bx + g) = 0
với b=a+b ; g=b+c
4. các cơng thức về lượng giác, cấp số và lơgarit:
; 1+tg2x=
cấp số cộng: ¸ a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
I. ĐẠO HÀM
Qui Tắc:
(u ± v)’ = u’ ± v’ ;
(u.v)’ = u’v + v’u
(ku)’ = ku’ (k:const)
2. Cơng thức:
(xn)’ = nxn-1
(un)’ = nun-1u’
(sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx
(cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ =
(tgu)’ =
(cotgx)’ =
(cotgu)’ =
(ex)’ = ex
(eu)’ = u’eu
(ax)’ = ax.lna
(au)’ = u’au.lna
(lnx)’ =
(lnu)’ =
(logax)’ =
(logau)’ =
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba : y = ax3+bx2+cx+d:
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc khơng (nếu cĩ)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- để hs tăng trên D
- để hs giảm trên D
- để hs cĩ cực trị trên D Ûy’=0 cĩ 2 n0 pb
- để hs khơng cĩ cực trị Ûy’=0 VN hoặc cĩ nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau Û ax3+bx2+cx+d=0 cĩ 3 nghiệm lập thành csc Û y’=0 cĩ 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.
2. Hàm trùng phương : y = ax4+bx2+c:
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs cĩ 3 (hoặc 1) cực trị trên D Û y’=0 cĩ 3 n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs cĩ điểm uốn Û y’’=0 cĩ 2 n0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb Û D>0 ; P>0 ; S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc Û D>0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.
3. Hàm nhất biến
Miền xác định D=R\
Tính (>0, <0)
TCĐ vì
TCN vì
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
4. Hàm hữu tỷ chia bằng Hoocner
Miền xác định D=R\
Tính y’=
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc khơng cĩ.
TCĐ vì
TCX vì
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- cĩ 2 cực trị hoặc khơng Û y’= 0 cĩ 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là và đĩ cũng là đt qua 2 điểm cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb Û ax2+bx+c=0 cĩ 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KSHS:
1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) Ỵ y=f(x)
tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt cĩ hệ số gĩc k cho trước
ta cĩ: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đĩ ta cĩ pttt là: y = k(x-x0)+y0
pttt // y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = a
pttt ^y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)
ptđt d qua M cĩ hệ số gĩc k là: y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau cĩ nghiệm:
thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay
vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y = g(x)
+ ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là cĩ mấy giao điểm.
+ bài tốn ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đĩ biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta cĩ: từ đĩ tìm điểm tiếp xúc x
3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’
a/ g(x) = ax2+bx+c ³ 0 trong (a,+¥) Û a>0 ; ; g(a)³0.
b/ g(x) = ax2+bx+c £ 0 trong (a,+¥) Û a<0 ; ; g(a)£0.
c/ g(x) = ax2+bx+c ³ 0 trong (a,b) Û ag(a)£0 ; ag(b)£0
{áp dụng cho dạng cĩ m2}
d/ trong g(x) cĩ chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm cĩ mxđ D=R\{x0} thì
tăng trên (a,+¥)Û y’³0 ; x0£a
giảm trên (a,+¥)Û y’£0 ; x0£a
4. Cực trị:
* y = f(x) cĩ cực trị Û y’= 0 cĩ nghiệm và đổi dấu qua điểm đĩ.(y’=0;y”¹0)
* y=f(x) cĩ cực đại tại x0 Û
* y=f(x) cĩ cực tiểu tại x0Û
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
iTập xác định D = R
Tính y/
Để hàm số cĩ cực trị thì y/ = 0 cĩ hai n pb
2. T.Hợp 2: Hàm số
Tập xác định
Tính
Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 cĩ hai nghiệm pb thuộc D
5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b) Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
KL: ,
b. Trên [a;b] Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
Chọn số nhỏ nhất m , KL:
III. Hàm sớ mũ và logarit:
Cơng thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nỴR ta cĩ:
anam =an+m ; ; (=a-m ; a0=1 ; a-1=) ; (an)m =anm
(ab)n=anbn ; ; .
Cơng thức logarit: logab = cÛac=b ( 00)
Với 00 ; aỴR ta cĩ: loga(x1x2)=logax1+logax2 ;
loga= logax1-logax2;
; logaxa=a logax ; ; (logaax=x);
logax=; (logab=) ; logba.logax=logbx ; alogbx=xlogba.
Phương trình mũ- lơgarít :
* Dạng ax= b ( a> 0 , )
b0 : pt vơ nghiệm
b>0 :
* Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x) Û f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa…
* Dạng ( a> 0 , )
Điều kiện : x > 0 ;
logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ; mũ hĩa…
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng ax > b ( a> 0 , ) ; b0 : Bpt cĩ tập nghiệm R
b>0 : , khi a>1
, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa…
* Dạng ( a> 0 , , x>0 )
, khi a >1
, khi 0 < x < 1
Đặt ẩn phụ; mũ hĩa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
F ,
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.
Phương pháp đổi biến số :
P.Pháp: Đặt : t =
Đổi cận:
Do đĩ:
Các dạng đặc biệt cơ bản:
P.Pháp: Đặt:
Đổi cận:
2. Tính
P.Pháp: Đặt
Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Cĩ dạng: A=
Trong đĩ P(x)là hàm đa thức
Phương pháp: Đặt u = P(x) du = P(x).dx
dv = .dx v = ...
Áp dụng cơng thức tích phân từng phần A =
Loại 2: B =
Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b)
dv = P(x).dx v = ...
Áp dụng: B =
Dạng :
Hay
Nếu n chẵn:
Áp dụng cơng thức ;
2. Nếu n lẻ:
Đặt (Đổi thành Cosx )
Dạng : Hay
PP:Đặt làm thừa số
Thay
IV. Diện tích hình phẳng:
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
i DTHP cần tìm là: (a < b)
Hồnh độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
SNếu p.trình f(x) = 0 vơ nghiệm Hoặc cĩ nghiệm khơng thuộc đoạn thì:
SNếu p.trình f(x) = 0 cĩ nghiệm thuộc đoạn . Giả sử x = , x = thì
++
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hồnh:
P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hồnh là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (c): y = f(x) và(c): y = g(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp
DTHP cần tìm là:
HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
Thể tích vật thể:
Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể cĩ thể tích:
Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể cĩ thể tích: .
.............................................................................................................................................................................
IV. SỐ PHỨC:
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,bỴR
Modun của số phức :
Số phức liên hợp của z = a + bi là ;
với mọi , .
; ; ;
z là số thực ; z là số ảo
a+ bi = c + di
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
Ta cĩ: .
.
; .
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là :
Xét phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;) Đặt
Nếu = 0 thì phương trình cĩ một nghiệm kép(thực) : x =
Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực :
Nếu < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức :
? Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai ()
cĩ hai nghiệm thì : và .
F Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số cĩ tổng và thì là nghiệm của phương trình :.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUƠNG
. sin = (ĐỐI chia HUYỀN)
. tan = (ĐỐI chia KỀ)
cos = (KỀ chia HUYỀN)
. cot = (KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)
=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH
5. AB.AC = BC.AH
6.
III. ĐỊNH LÍ CƠSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
2. b2 = a2 + c2 – 2accosB
3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a) ; b)
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S = b) S = (Cơng thức Hê-rơng)
c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S =
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuơng: a) S = ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng)
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuơng cân (nửa hình vuơng):
a) S = a2 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau)
b) Cạnh huyền bằng a
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = d) S =
6. Tam giác cân:
a) S = (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
9. Hình vuơng: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường trịn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn)
b) S = R2 (R: bán kính đường trịn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường trịn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Cĩ 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau
2. Hình chĩp đều: Cĩ đáy là đa giác đều .Cĩ các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuơng gĩc với mp(): a) Đt d vuơng gĩc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là: d ()
b) d ()
c) Đt d vuơng gĩc với mp() thì d vuơng gĩc với mọi đt nằm trong mp()
4. Gĩc giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad
Nếu thì gĩc giữa d và () là hay =
5. Gĩc giữa 2 mp() và mp():
Nếu
thì gĩc giữa () và () là hay =
Khoảng cách từ điểm A đến mp():
Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ())
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
Thể tích khối chĩp: V = (diện tích đáy là đa giác)
Tỉ số thể tích của khối chĩp:
Diện tích xq của hình nĩn trịn xoay: Sxq = (R: bk đường trịn; l: đường sinh
Thể tích của khối nĩn trịn xoay: V = (diện tích đáy là đường trịn)
6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay:
Sxq = 2 (R: bk đường trịn; l: đường sinh)
Thể tích của khối trụ trịn xoay: V = Bh = h ( h: chiều cao khối trụ)
Diện tích của mặt cầu: S = 4 (R: bk mặt cầu )
Thể tích của khối nĩn trịn xoay:
V = (R: bán kính mặt cầu)
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN
I. CƠNG THỨC VECTƠ:
À. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho
và
Ta cĩ:
Tích cĩ hướng của hai vectơ và là
cùng phương
hay
, , đồng phẳng
Ứng dụng của vectơ:
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog khơng gian Oxyz cho ;
G là trọng tâm , ta cĩ:
G là trọng tâm tứ diện ABCD
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta cĩ:
,
I là trung điểm của đoạn AB thì:
III. MẶT PHẲNG:
Giả sử mp cĩ cặp VTCP là : ;
Nên cĩ VTPT là:
Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng: Ax + By + Cz + D = 0
Với ; trong đĩ là VTPT của mp
Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
(Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
(Oxz) : y = 0
Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:
P.tr của chùm mp xác định bởi và là:
với
Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
Tìm VTPT và điểm đi qua
dạng:
Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
Tính
Mp (ABC) cĩ VTPT là và qua A
Kết luận.
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp đi qua điểm A và vuơng gĩc BC
Mp BC. Nên cĩ VTPT là BC qua A
Chú ý:
Trục Ox chứa
Trục Oy chứa
Trục Oz chứa
Vấn Đề 4: Viết phương tình mp là mặt phẳng trung trực của AB.
Mp AB. Nên cĩ VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB
Kết luận.
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp đi qua điểm và song song với mặt phẳng
. Nên phương trình cĩ dạng: Ax + By + Cz + D= 0
Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuơng gĩc với mp (Q)
Mp (P) cĩ cặp VTCP là: và VTPT của (Q) là
Mp (P) cĩ VTPT là và qua A
Kết luận.
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp đi qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
* Phương trình mp là:
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp đi qua điểm M0 và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
(P) cĩ VTPT là
(Q) cĩ VTPT là
Mp cĩ VTPT là và qua Mo
Kết luận.
Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
Xác định tâm I của mặt cầu (S)
Mặt phẳng : Mp tiếp diện cĩ VTPT :
Viết phương trình tổng quát.
IV. ĐƯỜNG THẲNG:
J Phương trình đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng:
với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm cĩ VTCP là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M0 cĩ VTCP: là Với
S Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
J Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng quát.
P.Pháp: cĩ VTCP là :
J Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng :
Cần biết VTCP và điểm
Viết phương trình tham số theo cơng thức (2)
Viết phương trình chính tắc theo cơng thức (3)
Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta cĩ phương trình tổng quát:
Rút gọn về dạng (1)
S Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:
VTCP bằng vấn đề 11
Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đĩ.Giải hệ tìm x, y => z
Cĩ điểm thuộc đường thẳng
Kết luận.
J Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng đi qua điểm và vuơng gĩc với mặt phẳng
i Mp cĩ VTPT là
Đường thẳng đi qua điểm M0 và cĩ VTCP là
Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát
J Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp
Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp
Gọi là mặt phẳng chứa d và
Nên cĩ cặp VTCP là
VTCP của d là và là VTPT của mặt phẳng
Mp cĩ VTPT
Mp đi qua điểm M0 d
Viết phương trình tổng quát của Mp
Phương trình đường thẳng d/:
J Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và vuơng gĩc với hai đường và
cĩ VTCP
cĩ VTCP
d vuơng gĩc với và . Nên d cĩ VTCP là
J Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường và .
Thay toạ độ A vào phương trình và
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa
P.tr đường thẳng d:
J Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường và .
Gọi
Gọi
Đường thẳng chính là đường thẳng AB
J Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường và .
Gọi (P) là mặt phẳng chứa và (P) // d1
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và (Q) // d1
Phương trình đường thẳng d
J Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau và .
Gọi và lần lượt là VTCP của và
Gọi
Gọi (P) là mặt phẳng chứa và cĩ một VTCP là . Nên cĩ VTPT là phương trình mặt phẳng (P)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và cĩ một VTCP là . Nên cĩ VTPT là phương trình mặt phẳng (Q)
Phương trình đường vuơng gĩc chung của và :
J Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuơng gĩc (P) và cắt hai đường thẳng và
Gọi là mặt phẳng chứa và cĩ một VTCP là ( VTPT của (P) )
Gọi là mặt phẳng chứa và cĩ một VTCP là ( VTPT của (P) )
Đường thẳng
J Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vuơng gĩc với đường thẳng và cắt đường thẳng
Gọi là mặt phẳng đi qua M0 và vuơng gĩc
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa
Đường thẳng
J Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và
P.Pháp:
Gọi
Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với . Nên cĩ VTPT là VTCP của
Đường thẳng
V. MẶT CẦU:
Phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (a;b;c) bán kính R là:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
Mặt cầu (S) cĩ phươngtrình :
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0
thì (S) cĩ : Tâm I(a ; b ; c)
Bán kính
J Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu
P.Pháp: Cần:
Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
Bán kính R
Viết phương trình mặt cầu
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
J Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
P.Pháp:
Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu
Bán kính
Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:
Mặt cầu (S) cĩ tâm I và tiếp xúc với . Nên cĩ bán kính
Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Phương trình mặt cầu (S) cĩ dạng : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
A, B, C, D thuộc (S). Ta cĩ hệ phương trình
Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D
Kết luận
J Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C cĩ tâm nằm trên mặt phẳng Oxy
Gọi I ( xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,
Ta cĩ AI2 = BI2 = CI2
Ta cĩ Hpt
Giải Hpt I IA = R
Kết luận
......................................................................................................................................
VI. KHOẢNG CÁCH:
Khoảng cách giữa hai điểm AB :
Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng
: Ax + By + Cz + D = 0 ;
Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
Lấy M0 d
Tìm VTCP của đường thẳng d là :
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và
Gọi và lần lượt là VTCP của và
đi qua điểm M0 , :
VII. GĨC:
Gĩc giữa hai vectơ và : Gọi là gĩc giữa hai vectơ và
2. Gĩc giữa hai đường thẳng (a) và (b) ; Gọi là gĩc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
Đường thẳng (a) và (b) cĩ VTCP lần lượt là : ;
¯ Đặc biệt:
3. Gĩc giữa hai mặt phẳng và
: Ax + By + Cz + D = 0 ; : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Gọi là gĩc giữa hai mặt phẳng và ;
4. Gĩc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng
(d): cĩ VTCP là = (a, b, c) ; : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi là gĩc nhọn giữa (d) và ;
5. Vị trí tương đối giữa mp và mặt cầu (S) cĩ tâm I, bán kính R
Tính d(I, )
Nếu d ( I, ) > R => khơng cắt (S)
Nếu d ( I, ) = R => tiếp xúc (S)
Nếu d ( I, ) cắt (S) theo một đường trịn giao tuyến cĩ bán kính
Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và
Gọi là tâm đường trịn giao tuyến
6. Tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu (S)
* Viết phương trình đường về dạng phương trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t
Nếu ptr () vơ nghiệm => khơng cắt mặt cầu (S)
Nếu ptr () cĩ nghiệm kép => cắt (S) tại một điểm
Nếu ptr () cĩ hai nghiệm => cắt (S) tại hai điểm.
Thế t = ... vào phương trình tham số của => Tọa độ giao điểm
J Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua
Gọi d là đường thẳng đi qua M và . Nên d cĩ VTCP là
Viết phương trình tham số của d
Gọi
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình =>Tọa độ điểm H
Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/
J Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT
Gọi
M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/
Ta cĩ: => M/
ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Để viết pt măt phẳng em cĩ 2 cách cơ bản :
. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và cĩ VTPT =(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) VTPT P = Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và cĩ VTPT P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuơng gĩc với đường thẳng d
- Từ (d) VTCP d = (A;B;C)
- Vì (P) vuơng gĩc với (d) Chọn VTPT P=d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và cĩ vtpt P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT Q ; VTPT R
- Vì (P) (Q) và (R) VTPT P và P R
Chọn P = [Q; R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và cĩ VTPT P = [Q; R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng
- Tính , và = [, ]
- PT mp (P) đi qua A và cĩ VTPT P= = [, ]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
- Tính , vtpt Q và tính [,Q]
- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn P=[,Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT Q của mp (Q); VTCP d của đường thẳng (d).
- Tính [d,Q]
- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT P = [d,Q]
- Từ đĩ viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà
- Mp (P) đi qua I và nhận làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính và [d, ]
- Ptmp (P) đi qua A và cĩ VTPT P =[d, ].
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ () VTCP và tính [d, ]
- PT mp (P) đi qua M và cĩ VTPT = [d, ].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ (Q) VTPT Q và tính [d, Q]
- PT mp (P) đi qua M và cĩ VTPT =[d, Q].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) cĩ dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đĩ D DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta cĩ PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì (d) nằm trong (P) d. P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một gĩc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt()một gĩc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính sin ((P),( )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
- Ta cĩ : d(A,(P)) = AK AH
(tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên)
Do đĩ d(A(P)) max AK = AH KH
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) cĩ dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đĩ D' DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= Rtìm được D'
- Từ đĩ ta cĩ Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn(C)File đính kèm:
CONG THUC TOAN 12.doc
