Tóm tắt lý thuyết và một số bài tập tham khảo ôn tập học kỳ I ban cơ bản Toán 12

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO ÔN TẬP HỌC KỲ I BAN CƠ BẢN
Hình chóp :
 Định nghĩa : 
Cho đa giác và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó . Hình gồm n tam giác và đa giác là hình chóp S. .
 • Tứ diện là hình chóp tam giác . 
 • Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau 
 Hình chóp tứ giác S.ABCD . 
 Hình chóp đều :
 • Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các
 cạnh bên bằng nhau .
 • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và 
 đường cao của nó qua tâm của đáy ( tâm đường tròn ngoại
 tiếp , nội tiếp )
 • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và
 các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau .
 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
 Khối chóp :
Khối chóp là khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp, kể cả hình chóp đó . Ta có khối chóp 
n-giác , khối tứ diện , khối chóp n-giác đều ...
Thể tích khối chóp : 
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối lăng trụ: 
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp: 
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp chữ nhật: 
Với a, b, c lần lượt là ba kích thước( chiều dài, chiều rộng, chiều cao) của nó
Một số dạng toán thường gặp:
Tính thể tích khối chop
Dùng cách tính thể tích để giải một số bài toán hình học( tính khoảng cách từ 1 điểm đén mặt phẳng,)
Tính tỉ số thể tích
Mặt nón, hình nón, khối nón:
Diện tích xung quanh hình nón: 
Với r: bán kính của hình nón
l: độ dài đường sinh của hình nón
Thể tích khối nón: 
Với B là diện tích đáy
h: là chiều cao
Diện tích xung quanh của hình trụ: 
Với r bán kính của hình trụ
l: độ dài đường sinh
Thể tích khối trụ: 
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Diện tích mặt cầu: 
Với r: bán kính mặt cầu
Thể tích khối cầu: 
Các dạng toán thường gặp:
Chứng minh đường thẳng d luôn thuộc một mặt nón hay mặt trụ tròn xoay xác định
Tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và thể tích của khối nón, khối trụ
Giải các bài toán tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối trụ, khối nón
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
Sau đây là một số bài tập tham khảo:
BÀI TẬP
Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a .
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp .
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh bên SB = . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng nhau và bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 900. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC .
Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vuông góc với (ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) .
Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a . Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC . Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ .
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc mp(ABC) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích khối chóp A.BCMN.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ A đến (SBC) biết SA =.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm CD . Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền BC = a , SA vuông góc (ABC) và góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a , AC = b , AD = c và các góc BAC , CAD , DAB đều bằng 600.
Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC .
Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a , BC = b . Hai mp(BCD) và mp(ABC) vuông góc nhau và góc BDC là 900. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a , b .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB =a , BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a .
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc mp(ABC) . Tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC là 1200. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy . Tam giác ABC cân ở A và có đường cao AD = a . Mặt bên SBC là tam giác đều . Cạnh SB tạo với đáy góc 600 . Chứng minh SB2 = SA2 + AD2 + BD2 và tính thể tích khối chóp S.ABC .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a , cạnh bên . Tính khoảng cách từ mỗi đỉnh của đáy đến mặt bên đối diện và tính thể tích khối chóp S.ABC .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a , SA vuông góc với (ABCD) và SA = a . Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc SD . Tính thể tích khối chóp có đỉnh là S và đáy là thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD .
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD) , SA = a , đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD là 1200 . Tính thể tích khối chóp S.BCD suy ra khoảng cách từ D đến (SBC) .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB , SC . Biết (AMN) vuông góc (SBC) . Tính theo a diện tích tam giác AMN .
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD .
29. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng
 (ABC). AB = a, BC = avà SA = a. Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K.
 Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
30. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc 
 ACB = 600, BC = a, SA = a . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) 
 vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. 
BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = và SA = 3a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh SA vuông góc với BC
Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a
Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC= a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SA bằng .
Tính thể tích của khối chóp S. ABCD
Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD
Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a, AB =BC=. Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mp vuông góc nhau . Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam gíac vuông cân tại A và hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA hợp với đáy góc . Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a, SB =SD. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết SA =2a, AB = a, BC =3a. 
Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 10: Cho khối chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B , Cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a . 
Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy (ABCD) là 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD : bài 12:
Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:
Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 , A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
HD:
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300. 
Chứng minh tam giác vuông tại A
Tính độ dài đoạn AC’
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD: 
Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần . 
a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V
b) Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V
c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V
d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’.
HD
MẶT CẦU
Câu1: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. OA = a, OB = b, OC = c. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC.
 Câu2: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA ^ (ABC); SA = . X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC.
 Câu3: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu ABCD, c¹nh ®¸y AB = a, c¹nh bªn SA = a. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
 Câu4: Cho h×nh chãp S.ABCD. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = 2a, AD = a, SA ^ (ABCD); SA = 3a. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
 Câu5: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A, BC = 2a. c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = b . T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
 Câu6: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
 Câu7: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (BCD). 
 a) TÝnh AH.
 b) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
 Câu8: Cho tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B, AB = a, SA = a, SA ^ (ABC). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn.
 Câu9: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) dùng tõ t©m O cña h×nh vu«ng lÊy mét ®iÓm S sao cho OS = . X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD.
 Câu10: Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng vµ gãc xOy = 900 gãc yOz = 600 , gãc zOx = 120. Trªn Ox, Oy, Oz lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a.
 a) CM: DABC vu«ng t¹i B.
 b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. CM: OI ^ (ABC).
 c) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC16) Cho DABC c©n cã gãc BAC = 1200 vµ ®­êng cao AH = a. Trªn ®­êng th¼ng D vu«ng gãc (ABC) t¹i A lÊy hai ®iÓm I, J ë hai bªn ®iÓm A sao cho DIBC ®Òu vµ DJBC vu«ng c©n.
 a) TÝnh c¸c c¹nh cña DABC.
 b) TÝnh AI, AJ vµ CM: DBIJ, DCIJ lµ tam gi¸c vu«ng. 
 c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diÖn IJBC, IABC.
 Câu11: Cho DABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Tõ M dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho DSAB ®Òu.
 a) Dùng trôc cña c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB.
 b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn SABC.
Câu12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D; AB = AD = a; CD = 2a; SD ^ (ABCD). Từ trung điểm E của CD, kẻ trong mặt phẳng đường vuông góc với SC cắt SC tại K. Chứng minh rằng sáu điểm S, A, D, E, K, B ở trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó. Biết SD = h
Câu13: Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), (SAB) ^ (SBC). Biết SB = a, = a (0 < a < 900). Chứng minh rằng: BC ^ SB. Từ đó xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC 
Câu14: Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu15: Mặt cầu tâm O, bán kính R = 13dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 6dm, BC = 8dm, AC = 10dm. Tính khoảng cách từ O đến (P)
Câu16: Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. Kẻ các đường cao AH, AK lần lượt của tam giác SAB, SAC. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K nằm trên một mặt cầu. Biết AB = 10cm, BC = 24cm, xác định tâm và bán kính mặt cầu đó 
MẶT TRỤ
Câu1: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đó
Câu2: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO’AB bằng 8cm3. Tính chiều cao của hình trụ, suy ra thể tích của hình trụ. 
Câu3: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB 
MẶT NÓN 
Câu1: Cho hình chóp D.ABC có góc = a (a < 900) và các cạnh bên DA, DB, DC tạo với mặt đáy (ABC) các góc nhọn bằng nhau
Chứng minh rằng chân đường cao DH của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính AH theo a biết AC = a
Tính tỉ số thể tích hình chóp D.ABC và thể tích khối nón đỉnh D ngoại tiếp hình chóp đó.
Câu2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’D’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Tính thể tích khối nón có đỉnh O’ và đáy (T).
Câu3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABC . Tính thể tích khối nón có đỉnh O’ và đáy (T).
Câu4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (T).