Tổng hợp các đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm 2011-2012

Người tổng hợp:Nguyễn Huy Thịnh 
TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI HSG LỚP 
9 NĂM 2011-2012 
www.VNMATH.com
Lời nói đầu: 
Chào tất cả các bạn! Mình là Nguyễn Huy Thịnh học sinh lớp 8/1 Trường THCS Tân Xuân.Nay 
mình quyết định tổng hợp lại tất cả các đề thi HSG lớp 9 (năm 2011-2012) để cho các bạn ôn thi 
tuyển sinh lớp 10 và chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp 9 của tỉnh mình.Sau đây là hơn 30 đề 
thi học sinh giỏi lớp 9 được mình tổng hợp trên VMF (diễn đàn toán học).Mình mong nó sẽ giúp 
các bạn phần nào về ôn tập HSG 
 Người biên soạn 
Nguyễn Huy Thịnh 
www.VNMATH.com
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012 
MÔN: TOÁN 
NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012 
THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (4,0 điểm) 
Rút gọn biểu thức: 
   
3 32
2
2 4 2 2 
4
4
x x x
A
x
     
  
 
với 2 2x   . 
Bài 2: (6,0 điểm) 
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho 3 m là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để: 
www.VNMATH.com
 3 2 3 0a m b m c   
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa 
mãn: 
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. 
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị 
còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm. 
Bài 3: (4,0 điểm) 
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: 
 | 10 | | 11| | 101| | 990 | | 1000 | 2012x x x x x          
2) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên thành 6 
phần diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên. 
Bài 4: (4,0 điểm) 
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn 
đường kính BC cắt AB,AC thứ tự tại M,N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I,K. Chứng minh 
tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. 
2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất. 
Bài 5: (2,0 điểm) 
Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có 3 điểm trong 51 điểm đã 
cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1. 
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 
Năm học 2011-2012 
______________________________________ 
Môn thi:Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) 
______________________________________ 
www.VNMATH.com
 Bài 1. (2,0 điểm) 
a) Cho biểu thức: 
2 1 1 2 1
. 1
1
12
x x
A
xx x x
    
          
 với 0; 1x x  . Rút gọn biểu thức A 
và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên. 
b) Cho biểu thức: 
    1 2 1 2 1 2 2 1 M x x x x x x x x x x x x                 
Với x là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh M cũng là số tự nhiên. 
Bài 2. (2,0 điểm) 
a) Tìm x biết: 24 16 10x x    
b) Giải hệ phương trình: 
9
4
1
x xy y
y yz z
z zx x
  

  
   
Bài 3. (2,0 điểm) 
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có (0;1); (0;4); (6;4)A B C và (4;1)D . Gọi d là 
đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt tại M,N sao cho đường thẳng d chia tứ giác 
ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng 
5
3
m
y mx  (với 0m  ). 
a) Tìm tọa độ của M và N 
b)Tìm toạn độ điểm Q trên d sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ Q 
đến Oy. 
Bài 4. (2,0 điểm) 
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên các cạnh 
www.VNMATH.com
AB,AC lần lượt lấy hai điểm D,E sao cho 60oDHE  . Lấy M bất kì trên cung nhỏ AB. 
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc , ,BAC BDE DEC đồng quy. 
b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị. Chứng minh: 
4
3
MA MB  
Bài 5. (1,0 điểm) 
Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A. Vẽ đường thẳng d là trung trực 
của đoạn thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và d. Chứng minh E nằm ngoài tam giác ABC. 
Bài 6. (1,0 điểm) 
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng: 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     
*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi. 
----------------------HẾT---------------------- 
Đề thi HSG vòng 2 quận Hà Đông - Hà Nội 
Bài 1: 
a)Giải pt: 2 2 2 32( 1) 7( 1) 13( 1)x x x x      
b)Cho pt : 2 2( 1) 3 0mx m x m     
www.VNMATH.com
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x mà 
2 2
1 2x x =3 
Bài 2: 
a)Tìm x,y,z thuộc N* sao cho xyz-x-y-z=5 
b)Giải hệ: 
1
2 (1 ) 3
1
2 (1 ) 1
x
x y
y
x y

  

  
 
Bài 3: Cho abc=2012, a,b,c >0 
Tìm max: 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b abc b c abc c a abc
 
     
Bài 4: Cho đường tròn (O) .Dây BC cố định , A chuyển động trên đường tròn sao cho tam giác 
ABC có ba góc nhọn.Kẻ các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H 
a) CMR: 2 2 2 1cos A cos B cos C   
b)Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEH max 
c)CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua 1 điểm cố định 
d) CM: 2 2 24BC AD EF  
Đề thi HSG toán 9 tỉnh Yên Bái năm học 2011-2012 
www.VNMATH.com
 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao để) 
Câu 1: 
Tìm hai số x,y nguyên thoả mãn 2 7 2 15x xy x y    
Câu 2: 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2
1 1 3
1
( )(1 ) 6
x y
x y
x y
xy

   

   

Câu 3: 
Cho hình thang ABCD(AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua M 
kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạch BC, AD lần lượt 
tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ. 
a. Chứng minh rằng: FH=HE 
b. Cho AB=2CD. Chứng minh rằng: EJ=JI=IF 
Câu 4: 
Cho đường tròn O và một dây cung $AB(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại A và B của đường 
tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính $OC(D\neq A,B)$. Dây cung 
CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). 
a. Chứng minh: BED DAE 
b. Chứng minh: 2 .DE DA DB 
Câu 5: 
Cho 
1 1 1 1
... ... , ( ;1 2012)
1.2012 2.2011 (2012 1) 2012.1
S k k
k k
        
 
So sánh S và 
4024
2013
Câu 6: 
Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn xyz=1. 
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011-2012 
www.VNMATH.com
Bài 1a) Rút gọn biểu thức 5 3 29 12 5   
b) Tìm các số nguyên a,b sao cho 
3 2
7 20 3
3 3a b a b
  
 
Bài 2a) Giải phương trình 2 12 1 36x x x    
b) Giải hệ phương trình 
( 1)( 1) 10
( )( 1) 3
x y
x y xy
  

  


Bài 3Cho ba số m,n,p thỏa mãn: 
2 2 2
2 2
2 2 2
2
m m m
m n
n n p
     và 
2 2 2 2
2 2
4
p p n n
n m p

   
Tính 2 3 4Q m m p   
Bài 4Cho tam giác ABC có B nhọn, trên cung nhỏ AC của (ABC) lấy D khác A. K và H là hình 
chiếu của D trên các đường thẳng BC,AB. I là giao điểm KH và AC. 
a.CM DI vuông góc với AC và HK < AC 
b.E là trung điểm AB . (HDE) cắt IK tại F . CM IF=FK 
Bài 5Cho hai số thực x,y khác 0 sao cho 2 2( 1)x y xy x y    Tìm max của 
3 3
1 1
A
x y
  
Đề thi chọn HSG tham dự kì thi cấp TP Hà Nội 
www.VNMATH.com
 Bài 1(6đ): 
a) Cho : A= 
1 1 1 1
1.2.3........2011.2012(1 ....... )
2 3 2011 2012
     
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013 
b) Tìm x thỏa mãn: 
3 2 3 2 3 33 2011 3 7 2012 6 2013 2012x x x x x        
Bài 2 ( 3đ) 
Giải hệ 2 2
2 2 2
2 5 2013
10 25 0
5 4 4 4 0
x y z t
z zt t
x y z xy zy
   

  
     
Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM: 
a)
2 2 2 2( )a b c a b c
x y z x y z
 
  
 
b)Cho xy+yz+xz=671 CM: 
2 2 2
1
2013 2013 2013
y z x
y xz z xy x yz x y z
  
       
Bài 4(5đ): 
Cho đường tròn ( O,R) . Từ điểm S ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến SM, SN tới đường tròn( 
M,N là hai tiếp điểm), đường thẳng d qua S cắt đường tròn (O,R) tại A và B ( M thuộc cung lớn 
AB). Qua A kẻ đường thẳng Ax // SM. Đường thẳng Ax cắt MN tại E, cắt MB tại C. Đường 
thẳng MN cắt AB tại K . Gọi I là trung điểm AB 
a) CM: IS là phân giác MIN 
b) CM:
SA SK
SI SB
 
c)CM: MA,SC,BE đồng quy tại 1 điểm 
Bài 5(2đ): Trong 1 cuộc hội nghị có 100 đại biểu, trong đó mỗi người quen với ít nhất 67 người 
khác. CMR: trong hội nghị đó có ít nhất 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại. 
www.VNMATH.com
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 THÁI BÌNH 
 ____________ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1: (3,0 điểm) 
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo 
diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. 
Câu 2: (3,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
2 21 (1 ) 1 1 (1 ) 1P x x x x x x          với [ 1;1]x  
Tính giá trị biểu thức P với 
1
2012
x

 . 
Câu 3: (3,0 điểm) 
Tìm số thực x, y thỏa mãn: 
2 2 2 2 2 3 3( 1) 16 2 9 8 8x y x x x y x y xy        
Câu 4: (3,0 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): 2y x và hai điểm A(-1;1). B(3;9) nằm trên (P). 
Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ($-1<m<3$). Tìm m để diện tích tam giác 
ABM lớn nhất. 
Câu 5: (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên 
các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P. 
a) Chứng minh: 2
AI BI CI
AN BN CN
   . 
b) Chứng minh: 
2
1 1 1 4
. . . 3( )AM BN BN CP CP AM R OI
  

. 
Câu 6: (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp (O;R). Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ O đến các cạnh 
BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$. 
Câu 7: (2,0 điểm) 
www.VNMATH.com
Cho x,y thỏa mãn ,x y R và 
1
0 ,
2
x y  . Chứng minh rằng 
2 2
1 1 3
yx
y x
 
 
. 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh An Giang năm học 2011 - 2012 
Bài 1. (3 điểm) 
Rút gọn biểu thức sau:  3 33 2 31 12 3 3 : 5 2 7 5 2 7A          
 
Bài 2. (3 điểm) 
Chứng minh rằng nếu hai phương trình 2 20; 3 3 0x bx c x bx c      có nghiệm thì phương 
trình 
2 2 2 0x bx c   có nghiệm. 
Bài 3. (4 điểm) 
Cho hệ phương trình 
   1 1 37
2 3 1
m x m y m
x y m
     

  
(m là tham số) 
a. Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
b. Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm x,y nguyên và x+y bé nhất. 
Bài 4. (4 điểm) 
a.Chứng minh rằng với mọi số thực a,b thì 
44 4
2 2
a b a b  
  
 
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào. 
b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:   4 28 12P x x x x    
Bài 5. (6 điểm) 
Gọi A',B',C' lần lượt là trung điểm của các cung BC,CA,AB không chứa các điểm A,B,C của 
www.VNMATH.com
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. BC cắt A'C' và A'B' tại M và N; CA cắt A'B' và B'C' tại P 
và Q; AB cắt B'C’ và A'C' tại R và S. 
a. Chứng tỏ rằng AA',BB',CC' đồng quy tại I. 
b. Chứng minh rằng IQAR là hình thoi. 
c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để MN=PQ=RS. 
-------------HẾT------------- 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Long năm học 2011 - 2012 
Bài 1. (2 điểm) 
Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 
và số dư là 3. 
Bài 2. (6 điểm) 
Giải các phương trình sau: 
a.  3 3 7 8x x   
b. 1 4 1 3x x    
c. 2 2 1 5x x    
Bài 3. (3 điểm) 
www.VNMATH.com
Cho Parabol 2( ) : 2P y x . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ bằng 1, điểm B có hoành độ bằng 2. 
Tìm m và n để đường thẳng   :d y mx n  tiếp xúc với parabol ( )P và song song với đường 
thẳng AB. 
Bài 4. (3 điểm) 
Cho phương trình bậc hai  2 2 1 2 10 0x m x m     , với m là tham số thực. 
a.Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x 
b. Tìm m để biểu thức 2 21 2 1 26P x x x x   đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 5. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A. Các cạnh AB,BC,CA lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại 
D,E,F. 
a. Chứng minh DF//BC và ba điểm A,O,E thẳng hàng, với O là tâm của đường tròn (O). 
b. Gọi giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. 
Chứng minh tam giác BFC đồng dạng với tam giác DNB và N là trung điểm của BE. 
c. Gọi (O') là đường tròn qua ba điểm B,O,C. Chứng minh AB,AC là các tiếp tuyến của đường 
tròn (O'). 
Bài 6. (2 điểm) 
Cho tam giác ABC có , ,BC a AC b AB c   . Gọi , ,a b ch h h lần lượt là các đường cao ứng với 
các cạnh a,b,c. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết 9a b ch h h r   , với r là bán kính 
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
-------------HẾT------------- 
www.VNMATH.com
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2011 - 2012 
Bài 1. (4,0 điểm) 
1. Giải hệ phương trình. 
3 2
3 2
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x
    

   
2. Cho phương trình: 4 22 2 1 0(1)x mx m    
a. Tìm m để (1) có 4 nghiệm 1 2 3 4, , ,x x x x thoả 
1 2 3 4
4 3 3 2 2 1
x x x x
x x x x x x
  

    
b. Giải phương trình (1) với m tìm được ở câu a. 
Bài 2. (4,0 điểm) 
Cho 2( ) : ;( ) :P y x d y x m   . Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao 
cho: tam giác OAB là tam giác vuông. 
Bài 3. (4,0 điểm) 
1. Cho 4 số a, b, c, d thoả điều kiện 2a b c d    . Chứng minh: 2 2 2 2 1a b c d    
2. Cho và 3 2 23 3 ( 1) ( 1) 0a a a m m      . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$. 
Bài 4. (3,0 điểm) 
www.VNMATH.com
Chứng minh rằng: 2 2 2 2
2 ( 1)(2 1)
2 4 6 ... (2 ) ; , 1
3
n n n
n n n
 
      
Bài 5. (5,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn , ,BAC ACB CBA theo thứ tự cắt các 
cạnh đối tại các điểm M, P, N. Đặt , , ;a BC b CA c AB   ,MNP ABCS S  theo thứ tự là diện tích 
của tam giác MNP và ABC. 
1. Chứng minh rằng: 
   
2MNP
ABC
S abc
S a b b c c a



  
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của MNP
ABC
S
S


-------------HẾT------------- 
* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - 2012 
Bài 1. (4 điểm) 
Cho biểu thức: 
4 8 1 2
:
42 2
x x x
P
xx x x x
   
            
a. Rút gọn P 
b. Tìm m để với mọi giá trị 9x  ta có  3 1 m x P x   
Bài 2. (3 điểm) 
Cho 1abc  và 3 36a  . Chứng minh rằng: 
2
2 2
3
a
b c ab bc ca     
Bài 3. (4 điểm) 
Cho phương trình bậc hai:    2 22 2 7 0 1x m m x m     , (m là tham số) 
a. Giải phương trình (1) khi m = 1 
www.VNMATH.com
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2;x x thỏa mãn:  1 2 1 22 4x x x x   
Bài 4. (6 điểm) 
Cho tam giác ABC có 5 ; 4 ; 3BC a CA a AB a   , đường trung trực của đoạn AC cắt đường 
phân giác trong của góc BAC tại K. 
a. Chứng minh tam giác ABC vuông. 
b. Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường 
tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 
c. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC 
Bài 5. (3 điểm) 
Cho a,b,c là các số nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn: 
2 2
2 2
a a b
c c b



. Chứng minh rằng 
2 2 2a b c  không thể là một số nguyên tố. 
-------------HẾT------------- 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hải Dương năm học 2011-2012 
Bài 1. (2,5 điểm) 
1. Rút gọn biểu thức: 
 
2 2
2
5 6 3 6 8
3 12 3 6 8
x x x x
A
x x x x
    

    
2. Phân tích thành nhân tử:  
33 3 3a b c a b c     
3. Tìm x biết    
3 32 62 1 1x x x x      
Bài 2. (2,0 điểm) 
1. Giải hệ phương trình: 
2 2
2
2 0
3 3
x xy y
xy y x
   

  
2. Giải phương trình:  
3
33
3 16
2
x
x
x
 
   
 
Bài 3. (2,0 điểm) 
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 28 23 16 44 16 1180 0x y x y xy      
www.VNMATH.com
2. Cho n là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của 22n . Chứng minh rằng 2n m 
không là số chính phương. 
Bài 4. (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là 
hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM,ON lấy lần lượt các điểm M' và N' sao 
cho 
2. .OM OM ON ON R   . 
1. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,M',N' thuộc một đường tròn. 
2. Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M' thuộc một đường tròn cố 
định. 
3. Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO+MA 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 5. (0,5 điểm) 
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O;r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ 
nhất. 
-------HẾT------- 
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
THCS 
 NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011-2012 
 Môn: Toán 
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: 
1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện: 
2 2 2a b b c c a     
 Chứng minh rằng: ( 1)( 1)( 1) 1a b b c c a        
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1ab bc ca   
 Chứng minh rằng: 
2
2 2
( ) 1
1
1 1
b c a
b c
 

  
www.VNMATH.com
 Câu 2: 
1) Giải hệ phương trình 
2 23 8 5
( 3) ( 8) 13
y x x y
x x y y
    

   
2) Giải phương trình: 21 3 3 4 2x x x x      
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức: 
 2012 2013 2014x y z  
Câu 4: Cho đường tròn (O), AB là đường kính của (O). Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác 
O; Q khác B). Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D 
khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B). Gọi G là giao điểm của các đường 
thẳng CD và AP. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS. Gọi K là trung điểm của 
đoạn thẳng AQ. 
 1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD 
 2) Chứng minh rằng EP=EQ=EG 
 3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD 
Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 
2 2 2 3a b c   
Chứng minh rằng: 
3 3 3
1 1 1
1
1 8 1 8 1 8a b c
  
  
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2011 - 2012 
Bài 1. (3 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số 
nguyên dương nào đó. 
Bài 2. (4 điểm) 
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình 22 1 0x x   . không giải phương trình, hãy tính 
giá trị của biểu thức: 
4 2
2 3
2(2 2 3) 2 
a
A
a a a


  
Bài 3. (4 điểm) 
a. Giải phương trình: 28 1 1 3x x x    
b. Giải hệ phương trình: 
2 2
2
2 1
2
x y
xy x
  

 
Bài 4. (7 điểm) 
Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB 
www.VNMATH.com
tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB (D không 
trùng A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với 
đường tròn O;R). 
a. Giả sử H là giao điểm của các đường thẳng OM với AB. Chứng minh rằng 
. .MH MO MC MD , từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố 
định. 
b. Chứng minh rằng nếu AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng 
tâm G của tam giác MAB. 
c. Kẻ đường kính BK của đường tròn (O;R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. 
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết 2OM R . 
Bài 5. (2 điểm) 
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: 3abc a b ab   . Chứng minh rằng: 
3 
1 1
1
ab b a
a b bc c ca c
  
     
-------------HẾT------------- 
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP TỈNH, BÀ RỊA VŨNG TÀU 2012 
Câu 1. (3,0 điểm) 
Giải các phương trình: 
1. 2 2( 1) 0x y x y     ( x, y là ẩn ) 
2. 2 26 1 6 0x x    . 
Câu 2. (4,0 điểm) 
Rút gọn biểu thức: 
1. 
6 2 2 6 2 2
2 4 2 3 2 4 2 3
A
 
 
   
2. 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20
B
x x x x x x x x x x
    
        
Câu 3. (4,0 điểm) 
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 3n+5 chia hết cho n-7 
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2( 1) 4 (1 )x x x y y    (với x, y là ẩn). 
www.VNMATH.com
Câu 4. (2,0 điểm) 
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh: 2 2 2 2( )ab bc ca a b c ab bc ca        
Câu 5. (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CE vuông góc với nhau. Gọi P là một điểm di 
động trên cung nhỏ AE (P khác A và E). CP cắt OA tại M và BP cắt OE tại N. 
1. Chứng minh tam giác CAM đồng dạng với tam giác CPA và 
.
.
OM PE OC
MA AP CA
 . 
2. Chứng minh .
OM ON
MA NE
 là một hằng số. 
Câu 6. (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC đều có đường cao AH (H thuộc BC). M là điểm di động trên cạnh BC(M 
khác B và C). 
Dựng MP vuông góc với AB tại P và MQ vuông góc với AC tại Q, AM cắt đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC tại D (D $khác A). 
1. Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp trong một đường tròn. 
2. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ, chứng minh H vuông góc với PQ. 
3. Khi $M$ di động trên cạnh BC (M khác B và C), tìm tập hợp trung điểm E của đoạn AD. 
------- Hết ------- 
Đề thi học sinh giỏi TP.HCM cấp THCS năm học 2011 - 2012 
Bài 1: (4 điểm) 
Cho phương trình 2 2( 2) 3 0mx m x m     (x là ẩn số) 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
nghiệm dương. 
Bài 2: (4 điểm) 
Giải các phương trình: 
a) 
4
2 0
2
x x
x
   

b) 1 2x x x    
Bài 3: (4 điểm) 
a) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    với a, b, c, d là các số thực. 
b) Cho 1, 1a b  . Chứng minh rằng: 1 1a b b a ab    
Bài 4: (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3A x y z   biết x,y,z không âm và thỏa hệ phương trình: 
www.VNMATH.com
2 4 3 8
3 3 2
x y z
x y z
  

  
Bài 5: (2 điểm) 
Chứng minh rằng phương trình 2 3 24 4 8 2 4x x y z    không có nghiệm nguyên. 
Bài 6: (4 điểm) 
Cho đường tròn (O) đường kính AB, bán kính R. Tiếp tuyến tại M bất kì thuộc đường tròn (O) 
cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B lần lượt tại C và D. 
a) Chứng minh rằng: 2.AC BD R 
b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. 
Chứng minh IJ song song với AB. 
c) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất. 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ninh 2011-2012 
Câu 1 (2đ): cho 3 31 2 4x    , chứng minh rằng P= 3 23 3 3x x x   là một số chính phương. 
Câu 2 (6đ): 
 Giải hệ phương trình: 
 
2 24 5
4 2 7
x y
xy x y
  

  
 Giải phương trình 
2 2 2
2 1 1 6 9 9
4
x y z
x y z
  
   
Câu 3 (3đ) Tìm tham số m để tập nghiệm phương trình sau có đúng một phần tử: 
2 2 (2 5) 1
0
1
m x m x
x
  


Câu 4 (7đ) 
 Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy M khác A. Qua M kẻ tiếp 
tuyến MC, MD với đường tròn (O') ( C,D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường thẳng AC 
cắt (O) tai P khác A, đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A. Đường thẳng CD cắt PQ tại K. 
Chứng minh: 
 Tam giác BCD đồng dạng với tam giác BPQ 
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. 
 K là trung điểm PQ 
www.VNMATH.com
Câu 5 (2đ)Với a,b,c là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức: 
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a
     
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2011-2012 
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
CÂU 1: (5đ) 
 Cho biểu thức : 
2 3 2 4
1 2
a a a a a
P
a a a a
  
  
  
 1. Rút gọn P. 
 2. Tìm GT nhỏ nhất của P. 
CÂU 2: (5đ) 
 Giải các phương trình sau: 
 1. 
3 2 3 3 3 22 2 3 1 3 1 2x x x x x x        
 2. 4 4 2 2 2 22 4 7 5 0x y x y x y      ; (với x;y nguyên) 
CÂU 3: (4đ) 
 Cho đường tròn  ;O R . Đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn ( )O tại hai điểm A 
và B . Từ một điểm M tuỳ ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến 
MN và MP với đường tròn (O), ( N,P là hai tiếp điểm). 
 1. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác $MNOP$ là hình vuông. 
 2. CMR tâm của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, P$ luôn chạy trên đường thẳng cố định khi 
M di chuyển trên đường thẳng d . 
.CÂU 4:(4đ) 
www.VNMATH.com
 1. a) Tìm Max của : 29y x x  
 b) GT $x, y, z$ là những số dương thoả mãn đk: 1xyz  . 
 Tìm min:  
     3 3 3
1 1 1
f x
x y z y x z z x y
  
  
. 
 2. Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn: 1a b c   ; 2 2 2 3 3 31; 1a b c a b c      . 
 CMR: 
2 1 2 1 2 1 1n n na b c     với *n . 
CÂU 5: (2đ) 
 Cho ABC thay đổi có 6AB  và 2AC BC . Tìm giá trị lớn nhất của ABCS . 
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012 
Ngày thi: 29/03/2012 
Thời gian: 150' 
Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho 6 5 18 2x y xy   
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N: 
5 4 3 27 5
120 12 24 12 5
a a a a a
A      
Bài 2: a) Giải phương trình: 
24 1 5 14x x x 