Tổng hợp các đề thi và đáp án vào lớp 10 môn Toán chuyên Lam Sơn ,Thanh Hóa từ 2009 đến 2013

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 	KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC 2012 - 2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Môn thi : TOÁN
(Đề gồm có 01 trang)	 (Môn chung cho tất cảc thí sinh)
Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012
Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :
, (Với a > 0 , a ¹1)
1. Chứng minh rằng : 
2. Tìm giá trị của a để P = a
Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đờng thẳng (d) : y = 2x + 3
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt 
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
1. Giải phơng trình khi m = 4
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đờng thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng:
1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
2. Tam giác COD là tam giác cân
3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O)
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : 
Chứng minh rằng : 
------------------------ Hết ------------------------
BÀI GIẢI
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
1. Chứng minh rằng : 
 (ĐPCM)
1.0
2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a 
=> .
Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm
a1 = -1 < 0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại
a2 = (Thoả mãn điều kiện)
Vậy a = 2 thì P = a
1.0
2
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình
x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = -1 và x2 = 
Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1)
Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B (3; 9)
Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B
1.0
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)
Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ
Theo công thức cộng diện tích ta có:
S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
 = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)
1.0
3
1. Khi m = 4, ta có phương trình 
x2 + 8x + 12 = 0 có D’ = 16 – 12 = 4 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6
1.0
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0
=> 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2
Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1.0
4
1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng:
Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Þ MC ^ MO (1)
Xét đường tròn (I) : Ta có Þ MC ^ MD (2)
Từ (1) và (2) => MO // MD Þ MO và MD trùng nhau 
Þ O, M, D thẳng hàng
1.0
2. Tam giác COD là tam giác cân
CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) Þ CA ^AB(3)
Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại C Þ CA ^ CD(4)
Từ (3) và (4) Þ CD // AB => (*)
 ( Hai góc so le trong) 
CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) Þ (**)
Từ (*) và (**) Þ Þ Tam giác COD cân tại D
1.0
3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn (O)
* Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H. Þ H Î (I) (Bài toán quỹ tích)
DH kéo dài cắt AB tại K.
Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn (I)
=>
Ta có tứ giác NHOK nội tiếp
Vì có ( Cùng bù với góc DHN) Þ (5)
* Ta có : (Cùng chắn cung NH của đường tròn (I))
Þ DDHN DCOB (g.g)
 Mà 
 ÞDNHO DDHC (c.g.c)
Þ Mà (5) Þ, Þ NK ^ AB Þ NK // AC Þ K là trung điểm của OA cố định Þ (ĐPCM)
1.0
5
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : 
Chứng minh rằng : 
* C/M bổ đề: và . 
Thật vậy
(Đúng) Þ ĐPCM
Áp dụng 2 lần , ta có: 
* Ta có : , tương tự Ta có:  Þ
Ta chứng minh 
* Áp dụng Bổ đề trên ta có:
 Þ 
* Mà:
Từ (3) và (4) Þ (2)
Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
1.0
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 	 KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC 2012 - 2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Môn thi : TOÁN
 (Đề gồm có 1 trang) (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)
 Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi : 18 tháng 6 năm 2012
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm các giá trị của x để 
Câu 2 (2,0 điểm )
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2/ Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
a) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : . Chứng minh rằng :
---------- Hết ----------
Họ tên thí sinh .. Số báo danh: 
Chữ ký giám thị 1:  Chữ ký giám thị 2: 
Bài giải
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
 (ĐK: x ³ 0, x ¹ 4, x ¹ 9 )
A =  = 
2/ Tìm các giá trị của x để 
Kết hợp với ĐK Þ 
Câu 2 (2,0 điểm )
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
M Î(P) Þ  Þ a = 2 Þ y = 2x2
M Î (d) Þ  Þ b = 1 Þ y = x + 1
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1 Û 2x2 - x - 1 = 0 
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
Û
2/ Giải hệ phương trình: (ĐK: x ³ 1; y ³ 1)
(2) Û x + y = xy (3)
Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có: 
Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ: 
Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0
Þ x = 2; y = 2
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
ÐA1 = ÐO1 và ÐA1 = ÐA2 Þ ÐA2 = ÐO1 Þ DMAO cân Þ MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
a) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có  Þ AB + AC - BC =  = 2.AP (không đổi)
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được Þ ÐP1 = ÐC1 
 mà ÐP1 = ÐQ1 Þ ÐC1 = ÐQ1 Þ PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : . Chứng minh rằng :
* Ta có:
* 
Vì : y > 0 ; x > 0 Þ 2x - 1 > 0 Þ x > 1/2 Thay y =  vào 
Ta có: (1)
Vì 2x - 1 > 0 Þ (1) Û 
 Mà 
Vậy 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
 ĐỀ CHÍNH THỨC
	 MÔN : TOÁN 
 (dùng chung cho thí sinh thi vào chuyên tin)
 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011
Câu I (2,5 điểm)
1. Giải phơng trình: 
2. Chứng minh rằng: 
Câu II: (2 điểm) Giải phơng trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: 
Câu IV : (3 điểm)
	Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I. CMR :
Tam giác DIE vuông
Đờng thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
 --------------- Hết---------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ............................................ Số báo danh....................
Chữ ký giám thị 1: ............................................ chữ ký giám thị 2:............................ 
GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 
VÀO CHUYÊN TIN LAM SƠN 2011 – 2012
Câu 1 :
a)Giải phơng trình 
Û 
Û 
Û 
Đặt t = x2 (t0)
Ta có phơng trình; t2 + 12t – 13 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)
 t1=1 x2 = 1x= ± 1
b)Chứng minh rằng: 
VT 	= 
 	= 
= = VP
Vậy : (đpcm)
Câu 2: 
Giải phơng trình : (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
C1. 
* Với x = 0 không phải là nghiệm phơng trình 
* Với x ≠ 0 , chia hai vế phơng trình cho x2 ta có phơng trình : 
Đặt t = 
ta có phơng trình : (t +2)(t – 2) = 12 t2 – 4 =12 t2 = 16t = ± 4
Với t = 4 ta có phơng trình ;
x2- x - 6 = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3 ; x2= -2
Với t = - 4 ta có phơng trình 
x2+7x -6 =0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1=
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (x, y)
(x-1)(x+1-y)-(x-1)(2y2-1)=1
(x-1)(x+1-y-2y2+1)=1
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là : (2,1) ; (0 ;1)
Câu 4 :
a) 
Điểm M t/m MD = BD, ME = CE
Dựng đường trũn tõm (O) đường trũn đi qua M, B và C. 
ị D DBO = D DMO (ccc) ị Tia DO là p/g gúc BDM. Tg tự EO là tia p/g gúc CEM. ị O là tõm đường trũn bàng tiếp D ADE. ị (O) tiếp xỳc với AB, AC và DE tại B, C và M. ị OB ^ AB, OC ^ AC, OM ^ DE.
éDOE = éECI ( cựng bằng ẵ cung BC). suy ra tứ giỏc IOCE nội tiếp . 
Mà gúc ECO = 900 nờn gúc EIO = 900
 Vậy gúc DIE vuụng.
b) Áp dụng phần a) ta luụn cú DI đi qua điểm cố định là O Tõm đường trũn tiếp xỳc với AB ,AC tại B và C 
Câu 5:
C2. Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
* Ta có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
a2 + b2 ≥ 2ab Û (a + b)2 ≥ 4ab Û 
 dấu bằng Û a = b = ½ 	(1)
* Ta lại có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Þ (a2 + b2 – 2ab)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥ 0
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3
Û (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û [(a + b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û thay a + b = 1 ta có :
Û dấu bằng Û a = b = ½	(2)
* Ta lại có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a2 + b2 ≥ 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 
thay a + b = 1 ta có: 2(a2 + b2) ≥ 1 Û a2 + b2 ≥ ½ dấu bằng Û a = b = ½ (3)
Tương tự : (a2 – b2)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a4 + b4 ≥ 2a2b2 Û 2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2 
Û a4 + b4 ≥ dấu bằng Û a = b = ½	(4)
Cộng vế (1), (2), (4) ta có T ≥ 64 + 6.4 + 2011.
Û dấu bằng Û a = b = ½
C2. Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
Áp dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxiki
 T 
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = ½
Hết
SỞ GD & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN - ĐỀ CHUNG
 THANH HOÁ Năm học 2011-2012
 Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài: 120 phút
 Ngày thi 19 tháng 6 năm 2011
Câu 1: (2.0đ)
Cho biểu thức: 
1/ Rút gọn biểu thức (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
2/ Chứng minh 
Câu 2: (2.0đ)
Cho parabol (P) y = và đường thẳng y = mx –m + 2 (m là tham số)
1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4.
2, Chứng minh với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm.
Câu 3: (2.0đ)
1, GHPT 
2, GPT: 
Câu 4: (3.0đ)
Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB. ( C ≠ A, C ≠ B). Trên nữa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I ≠ A. Đường thẳng vuộng góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đương kính CI cắt IK tại P.
1, CM: 
	a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn.
b, D APB vuông tại P.
2, A, I, B cố định . XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? 
Câu 5: (1.0đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết 
Hướng dẫn giải đề thi
Câu 1: 
1/ Rút gọn biểu thức:
 (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
A= 
 =
 = = 
 = = 
2/ Chứng minh 
Ta có: = 
Do với "x Û Û 
Vậy (với "x t/m điều kiện)
Câu 2: 
Cho parabol (P) y = và đường thẳng y = mx –m + 2
1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4.
(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4 Û pt (*) có nghiệm x = 4
Û 
2, (*)
Pt có D’ = m2 – 2m + 4 = (m – 1)2 + 3 ≥ 3 > 0 "m
Câu 3: 
1, GHPT
 ĐK: x, y ≠ 0. Đặt , Ta có HPT:
Với u = 3 => 
 v = 2 =>
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất: 
2, 
ĐK : 
C1, 
 . Đặt : t = , t > 0
=> 
Thay (1) vào (2) ta có:
Do t > 0 => 
=> 
C2,
Nếu x PT VN.
Nếu x > 3 
Ta có : (BĐT Cosi)
Mà: (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có => 
Dấu bằng xảy ra Û (1) và (2) xảy ra dấu bằng Û 
Vậy nghiệm của PT là: x = 
Câu 4: 
1, CM: 
	a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn.
Gọi O là tâm của đường tròn đường tròn đương kính IC Þ O là TĐ của IC
ÐIPC nt chắn nữa đường tròn (O) Þ ÐIPC = 1v Þ ÐCPK = 1v, ÐCBK = 1v (gt) Þ hai điểm P và B cùng thuộc đường tròn đường kính CK tâm O’ là trung điểm của BP 
 Þ CPKB nt (O’)
b, ÐAPC = ÐAIC (nt chắn cung AC)
 ÐAIC = ÐKCB (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Þ ÐAPC = ÐKCB
 ÐCPB = ÐCKB (nt chắn cung BC)
Cộng vế ta có: ÐAPC + ÐCPB = ÐKCB + ÐCKB = 1v
 Û ÐAPB = 1v Þ D APB vuông tại P.
2, A, I, B cố định . XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? 
S
D CBK D IAC Þ 
Áp dụng BĐT: (AC – BC)2 ≥ 0 Û AC2 + BC2 - 2 AC. BC ≥ 0
 Û AC2 + BC2 + 2 AC. BC ≥ 4 AC. BC
 Û (AC + BC)2 ≥ 4 AC. BC
 Û AC . BC ≤ 
Dấu bằng Û AC = BC hay C là trung điểm của AB.
Khi đó 
Câu 5: 
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết 
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab)
 = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 
vì a ; b ; c > 0 nên và áp dụng cosi ta có 2.dấu (=) Û a + c = b + c a = b 
hay 
 (1) dấu bằng Û a = b
Tương tự: (2) dấu bằng Û b = c 
 (3) dấu bằng Û a = c 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có 
: P=(++)
 P 
 =
 P=≤ 1 dấu bằng Û a = b = c = 
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
 ĐỀ CHÍNH THỨC
	 MÔN : TOÁN 
 (dùng chung cho thí sinh thi vào chuyên tin)
 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011
Câu I (2,5 điểm)
1. Giải phơng trình: 
2. Chứng minh rằng: 
Câu II: (2 điểm) Giải phơng trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: 
Câu IV : (3 điểm)
	Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I. CMR :
Tam giác DIE vuông
Đờng thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
 --------------- Hết---------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ............................................ Số báo danh....................
Chữ ký giám thị 1: ............................................ chữ ký giám thị 2:............................ 
GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 
VÀO CHUYÊN TIN LAM SƠN 2011 – 2012
Câu 1 :
a)Giải phơng trình 
Û 
Û 
Û 
Đặt t = x2 (t0)
Ta có phơng trình; t2 + 12t – 13 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)
 t1=1 x2 = 1x= ± 1
b)Chứng minh rằng: 
VT 	= 
 	= 
= = VP
Vậy : (đpcm)
Câu 2: 
Giải phơng trình : (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
C1. 
* Với x = 0 không phải là nghiệm phơng trình 
* Với x ≠ 0 , chia hai vế phơng trình cho x2 ta có phơng trình : 
Đặt t = 
ta có phơng trình : (t +2)(t – 2) = 12 t2 – 4 =12 t2 = 16t = ± 4
Với t = 4 ta có phơng trình ;
x2- x - 6 = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3 ; x2= -2
Với t = - 4 ta có phơng trình 
x2+7x -6 =0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1=
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (x, y)
(x-1)(x+1-y)-(x-1)(2y2-1)=1
(x-1)(x+1-y-2y2+1)=1
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là : (2,1) ; (0 ;1)
Câu 4 :
a) 
Điểm M t/m MD = BD, ME = CE
Dựng đường trũn tõm (O) đường trũn đi qua M, B và C. 
ị D DBO = D DMO (ccc) ị Tia DO là p/g gúc BDM. Tg tự EO là tia p/g gúc CEM. ị O là tõm đường trũn bàng tiếp D ADE. ị (O) tiếp xỳc với AB, AC và DE tại B, C và M. ị OB ^ AB, OC ^ AC, OM ^ DE.
éDOE = éECI ( cựng bằng ẵ cung BC). suy ra tứ giỏc IOCE nội tiếp . 
Mà gúc ECO = 900 nờn gúc EIO = 900
 Vậy gúc DIE vuụng.
b) Áp dụng phần a) ta luụn cú DI đi qua điểm cố định là O Tõm đường trũn tiếp xỳc với AB ,AC tại B và C 
Câu 5:
C2. Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
* Ta có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
a2 + b2 ≥ 2ab Û (a + b)2 ≥ 4ab Û 
 dấu bằng Û a = b = ½ 	(1)
* Ta lại có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Þ (a2 + b2 – 2ab)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥ 0
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3
Û (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û [(a + b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û thay a + b = 1 ta có :
Û dấu bằng Û a = b = ½	(2)
* Ta lại có : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a2 + b2 ≥ 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 
thay a + b = 1 ta có: 2(a2 + b2) ≥ 1 Û a2 + b2 ≥ ½ dấu bằng Û a = b = ½ (3)
Tương tự : (a2 – b2)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ½
Û a4 + b4 ≥ 2a2b2 Û 2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2 
Û a4 + b4 ≥ dấu bằng Û a = b = ½	(4)
Cộng vế (1), (2), (4) ta có T ≥ 64 + 6.4 + 2011.
Û dấu bằng Û a = b = ½
C2. Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
Áp dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxiki
 T 
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = ½
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
 Đề chính thức
§Ò thi gåm cã 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2010 - 2011
MÔN: TOÁN 
(DÀNH CHO THÍ SINH THI VÀO LỚP CHUYÊN TOÁN)
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT (KHÔNG KỂ THỜI GIAN GIAO ĐỀ)
NGÀY THI: 20 THÁNG 6 NĂM 2010
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: .
2. Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: .
Câu 2: (2,5 điểm)
1. Cho parabol (P): và đờng thẳng (d): y = -1. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (P). Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng khoảng cách từ M đến đờng thẳng (d).
2. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b + c 16abc. Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình sau (với x > 0, y < 0): 
Câu4: (3,0 điểm)
Tam giác ABC có , đờng trung tuyến BM và đờng phân giác trong CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Gọi H là chân đờng cao hạ từ A của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: HA = HB.
Tính số đo các góc và .
Câu 5: (1,0 điểm)
Ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x. Tìm các số thực x thoả mãn:
.
------------------------------- Hết -------------------------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................................................. Số báo danh: .................................................
Chữ ký giám thị 1: ..................................................................... Chữ ký giám thị 2: ................................................
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Thanh ho¸
kú thi vµo líp 10 thpt chuyªn lam s¬n
n¨m häc: 2010 - 2011
§¸P ¸N §Ò THI CHÝNH THøC
M«n: To¸n 
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo líp chuyªn To¸n)
Ngµy thi: 20 th¸ng 6 n¨m 2010
§¸p ¸n nµy gåm cã 04 trang
Hớng dẫn chung:
* Lời giải nêu trong đáp án, nói chung, là lời giải vắn tắt. Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và chính xác các suy luận thì mới đợc điểm.
* Các câu hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm. Nếu học sinh thừa nhận kết quả của ý trên để giải ý dới thì không chấm điểm ý dới.
* Các cách giải khác với cách nêu trong đáp án này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần (câu) tơng ứng.
* Điểm của toàn bài không làm tròn.
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I
(2,0đ)
1
(1,0đ)
0,5
 (Vì ).
0,25
Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất: x = 5.
0,25
2
(1,0đ)
Với ta có:
0,5
Do đó P là nghiệm của phơng trình: .
Theo ý 1, phơng trình trên có nghiệm duy nhất: 
0,25
Vậy .
0,25
2
(2,5đ)
1
(1,5đ)
Giả sử E(0; y0) là một điểm trên trục tung.
Do M ẻ (P) nên và khoảng cách từ M đến (d) là: ; độ dài (dùng pitago để tính).
0,5
Từ đó: với "x.
0,25
 với "x.
 với "x.
0,25
Yêu cầu bài toán đợc thoả mãn khi: 
Vậy có duy nhất một điểm E thoả mãn bài toán: E(0; 1).
0,5
2
(1,0đ)
Trớc hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với mọi x, y.
Đẳng thức xảy ra khi: x = y
0,25
áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c). Đẳng thức xảy ra khi: a = b + c Û 	(*)
Do a + b + c = 1 nên bất đẳng thức trên suy ra: 1 ≥ 4a(b + c)
Û b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c không âm)
0,5
Nhng lại có (b + c)2 ≥ 4bc. Đẳng thức xảy ra khi: b = c	(**)
Suy ra: b + c ≥ 16abc.
Từ (*) và (**) có: đẳng thức xảy ra khi .
0,25
3
(1,5đ)
Ta có: và 
Suy ra: .
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 
Do đó, hệ đã cho tơng đơng với: 
0,25
Từ (1) và (2) ta có: 	(*)
0,25
Từ (2) có: 
	(**)
0,25
Từ (*) và (**) suy ra: .
0,25
Từ đó, hệ đã cho có 2 nghiệm: và .
0,25
4
(3,0đ)
1
(2,0đ)
Nối HM khi đó MH = MA = MC suy ra:
	.
0,25
Theo giả thiết: .
Do vậy: 	(1).
0,25
Mặt khác: 	(2). 
Từ (1) và (2) có: ị cân tại H ị MH = HB.
0,5
Giả sử khi đó và . 
Vì nên .
0,5
Tam giác AMH cân tại M nên .
Do đó (mâu thuẫn).
0,25
Tơng tự, nếu HA < HB ta cũng gặp điều mâu thuẫn.
Vậy: HA = HB.
0,25
2
(1,0đ)
Từ kết quả ý 1 suy ra vuông cân tại H ị .
0,5
ị .
0,25
Vậy: .
0,25
5
(1,0đ)
Đặt ta có: .
0,25
Mặt khác: 
0,25
Đặt .
0,25
Từ đó ta có: 
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN 
 THANH HOÁ NĂM HỌC 2010-2011
 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010
Câu I: ( 2 điểm ) 
Cho biểu thức: A = 
Rút gọn biểu thức A 
2). Tìm x sao cho A < 2 
Câu II : ( 2 điểm ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 7x + 3 = 0 
Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 -x2 và 2x2 -x1 
 2) Tính giá trị của biểu thức : B = + , 
Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình 
Câu IV : ( 3,5 điểm ) 
Cho hình vuông ABCD trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA . Đường thẳng đi qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H 
Chứng minh rằng : AE = ID 
2) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F ( F A)
Chứng minh : DF.DA = EH . EB 
Câu V : ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là : BC = a ; CA= b ; BA= c
Và chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng : 
 .....Hết ....
Họ và tên thí sinh ....................................................................số báo danh: .......
chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 1 :
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2010-2011
( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010
Câu I: ( 2 điểm ) 
a) ĐK: x>0 ;x 
 A = 
 A = :
 A = :
 A = :
 A = :
 A = :
 A = 
b) với x>0 ;x ta có :
 A 0 
 = > 0 
 Vậy với hoặc thì A<2
Câu II (2đ)
Vì nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Đặt ta có: 
Do đó phương trình bậc hai cần lập là: 
2)Ta có : B2=
Câu III (1,5đ)
ĐK: Đặt ta được hệ:
Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình)
Xét tam giác ABE và tam giác IBE có:
AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung
suy ra tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
suy ra AE = IE (1)
vì ABCD là hình vuông nên góc EDI = 450 suy ra góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vuông ở I)
suy ra tam giác DEI cân tại I suy ra IE =ID (2)
từ (1) và (2) suy ra AE = DI
Vì EA = EI nên đường tròn (E;EA) đi qua I mà EI vuông góc với DI 
suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn (E;EA) 
suy ra gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF)
suy ra tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy ra DA/DI =DI/DF
do đó DF.DA = DI2 
mà DI = IE suy ra DF.DA =IE2 (3)
vì AI là dây chung của đương tròn (E;EA) và đường tròn (B;BA=BI) nên AI vuông góc với BE tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BEI có : IE2 = EH.EB (4)
Từ (3) và (4) suy ra DF.DA =EH.EB
Câu V (1đ)
Trước hết ta chưng minh: với a,b >0 ta có:
Thật vậy(*) (đúng).Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng (*) ta có:
tương tự ta có: 
suy ra 
Hay 
mà (BĐT Cauchy)
Do đó (đpcm)
Dấu “=” xảy ra a=b=c tức là ABC là tam giác đều
SỞ GD VÀ ĐT
 THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT C