Tổng hợp các kiến thức về Phương trình lượng giác

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
	1.CƠNG THỨC CỘNG	 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb	 cos2a = cos2a – sin2a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb	 = 2cos2a –1
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb	= 1 – 2sin2a
 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb	 sin2a = 2.sina.cosa
 tan(a + b) = 	tan2a = 
 tan(a - b) = 
 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC	cos2a = 
	 sin2a = 
 4.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
	cosa + cosb = 2.cos .cos 
 cosa - cosb = -2.sin .sin 
	 sina + sinb = 2.sin .cos 
 sina - sinb = 2.cos .sin 
 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
	6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
rad
-p
-
-
-
-
-
-
-
0
p
độ
-180o
-150o
-135o
-120o
-90o
-60o
-45o
-30o
0
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
sin
0
-
-
-
-1
-
 -
-
0
1
0
cos
-1
-
-
- 
0
1
0
- 
-
-
-1
tan
0
1
||
-
-1
-
0
1
||
-
-1
-
0
cot
||
1
0
-
-1
-
||
1
0
-
-1
-
||
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 1.Phương trình sinx=a.( -1£ a £ 1)
sinx = a Û; k Ỵ Z +sinx = sina Û; k Ỵ Z ( a = sina)
 sinx = 0 Û x = kp; k Ỵ Z
 sinx = 1 Û x = + k2p; k Ỵ Z
 sinx = -1 Û x = -+ k2p; k Ỵ Z
2.Phương trình cosx=a.( -1£ a £ 1)
 cosx = a Û; k Ỵ Z +cosx = cosa Û; k Ỵ Z ( a = cosa)
 cosx = 0 Û x = + kp; k Ỵ Z
 cosx = 1 Û x = k2p; k Ỵ Z
 cosx = -1 Û x = p+ k2p; k Ỵ Z
3.Phương trình tanx=a.
 TXĐ: 
 + +
4.Phương trình cotx=a.
 TXĐ: 
 + +
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ()
 đặt: 
 phương trình trở thành: 
 *Chú ý 
+Phương trình cĩ nghiệm khi 
+Nếu thì:
2.Phương trình : (1)
 +Nếu a = 0: 
 +Nếu c = 0: 
 +Nếu : 
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a) b) 
c) d) 
 Giải.
a) 
 b) 
c) 
 sin = 1 
 d) 
 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 
 Bài 2.Giải các phương trình:
 a) 
b) 
c) 
 sin = - 1 
 d) 
e.
f.
g.
 h. 
 i.
 Bài 3.Giải các phương trình:
 a. 	 b.
 c.
 d.
 e.	 f. 
 g.	 h.
 i.	 j. 
 k.
 Bài 4.Giải các phương trình:
 a.	 b.
 c.	 d.
 e.	 f.
 Bài 5. Giải các phương trình sau :
a) b) 
c) d) 
 Bài giải :
a) 
 b) 
c) 
 Sin = 1 
 d) 
 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 
Bài 6. giải phương trìnhlượng giác :
a) 
b) 
 c) Sin = - 1 
d) 
Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 6(3đ) : Giải Phương trình 
a. 	 b. 
c. cos2x + sinx +1=0
a/ 
b 
 c. 
Câu 7
 a.	 b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 
 c.2 cos2x -3cosx +1 =0 
Đáp án
a 
b 
c. 
câu 8. a. Giải các Phương trình sau:
 b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 
 a/ 
b/ (0,25)
 (0,25)
 (0,25) 
 (0,25) (0
Câu9: Giải các Phương trình sau
 a. 
 b. 
 c. 
 Đs a. 
 b. x=k3600 
 c. 	 
Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình 
	a. tan(x +200) =
 b. sinx + sin2x = cosx + cos3x 
 c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 
DS
 a. x=100 +k1800
 b. 	 c. 
Câu 11(2đ) : Giải Phương trình 
a. 	 b. 
1a) 
1b) 
 (0,25) (0,25*2)
Câu 12(2đ) a. b.sin(2x + ) = - 
Đáp án : a. 
 b. 
Câu 13(2đ) a. b.cos(2x + ) = - c. 2
Đáp án : a. 
 b. 
 c.
 	 h.
Phương trình asinx + bcosx = c
Bài 1. 
Bài 2. 
 , 
Bài 3. 
Bài 4. (1)
 Điều kiện: 
Bài 5. (*)
 	Điều kiện: 
C2 
Bài 6. 
Bài 7. 
Bài 8. 
Bài 9. 
Bài 10. 
Ta cĩ: 
Đặt: 
Phương trình trở thành: 
loại
Bài 11. 
Bài 12. (*) Điều kiện: 
Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 13. 
Bài 14. 
Bài 15. (*) 	 Điều kiện: 
Vậy,phương trình cĩ nghiệm là: 
Bài 16. 
Vậy,phương trình cĩ nghiệm là: 
Bài 17. 
Bài 18. 
Bài 19.Cho phương trình: (*)
a.Tìm m sao cho phương trình cĩ nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.
 a. (*)cĩ nghiệm khi: 
b.Khi m = -1 phương trình trở thành: 
Bài 20. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm
Giải.
 Ta cĩ: 
	 	(**)
 a. khi phương trình trở thành: 
 b.Phương trình cĩ nghiệm khi:
Bài 21.Giải các phương trình:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
g. 	h. 
i. 	j. 
k. 	l. 
m. 	n. 
p. 	q. 
Bài 22. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi m = 1
 b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm
Bài 23. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm
Bài 24. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm.
	PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. (1)
Điều kiện: 
Ta cĩ: 
Bài 2. 
	 (*)
Cách 1: 
Cách 2: 
Cách 3: 
Cách 4: 
Bài 3. 
Bài 4. 	(1)
	Điều kiện: 
Bài 5. 	(*)
	Điều kiện: 
Bài 6. 	(*)
	Điều kiện: 
 Đối chiếu điều kiện phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 7. 
Bài 8. 
Bài 9.	
Bài 10. 	(1)
	Điều kiện:	
 Đặt: phương trình trở thành: 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 11. 	(*)
	Điều kiện: 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 12. 
Bài 13. 	(*)
Bài 14. 	(*)
Ta thấy: 
Thay vào phương trình (*) ta được: 
 khơng thỏa mãn với mọi k
Do đĩ khơng là nghiệm của phương trình nên:
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: ,
Bài 15. 	(1)
 Điều kiện: 
 Ta cĩ: 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: ,
Bài 16. 
Đặt: phương trình trở thành:
Vậy,phương trình cĩ nghiệm: , 
Bài 17. 	(1)
 Điều kiện: 
C2: Đặt: 
Bài 18. 	(1)
 Điều kiện: 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 19. 	(*)
 Điều kiện: 
 Ta cĩ: 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
Bài 20. 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ ĐIỀU KIỆN
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:
1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:
 1.1 Kiến thức cơ sở:
Trong phần này cần sử dụng tốt các cơng thức sau:
	Cơng thức nhân đơi
	Cơng thức hạ bậc
	Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác
Từ đĩ ta cĩ các kết quả cần chú ý sau
;	
;	 
;	 
 1.2 Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)
Giải phương trình	
Lời giải:
	Điều kiện:
Khi đĩ	 
 (do )
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)
Giải phương trình	
Lời giải: 	Điều kiện 
Ta cĩ 	
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải: 	
 Điều kiện	
Khi đĩ 
Đối chiếu với điều kiện ta được	
Vậy phương trình cĩ nghiệm là 
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải: 
 Điều kiện	
Nhận thấy , do đĩ phương trình đã cho trở thành
Đối chiếu điều kiện ta được 
Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ phương trình đã cho trở thành 
Đối chiếu điều kiện ta được 
	Các bài tập tương tự
	1/ ;
	2/ (2003_A);
	3/ (2003_B);
	4/ (2003_D);
	5/ (2004_B).
2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập
 2.1 Kiến thức cơ sở
	+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác.
	;	;
	;	
	+ Các cơng thức về giá trị lượng giác của các cung cĩ liên quan đặc biệt.
 2.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ phương trình đã cho trở thành 
Với thì 
Với thì 
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là 
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)
Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ phương trình đã cho trở thành 
Giả sử , khi đĩ (vơ lí)
Do đĩ phương trình tương đương với 
Vậy phương trình cĩ nghiệm là 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ
 thoả mãn điều kiện, do đĩ ta được
Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vơ lí)
Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.
Giải (2) ta được , 
(với )
Vậy phương trình cĩ nghiệm 
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ 
Giả sử , thay vào (*) ta được (vơ lí)
Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.
Giải (*) ta được 
Ví dụ 5: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
phương trình tương đương với 
+ Đối chiếu điều kiện (1)
Giả sử 	
Do nên 
Lại do nên 
Từ đĩ 	. Suy ra với thoả mãn phương trình
+ Đối chiếu điều kiện (2)
Giả sử 	
Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên khơng tồn tại thoả mãn (3). 
Từ đĩ suy ra điều kiên (2) luơn được thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là 	
Các bài tập tương tự
1/ ;
2/ ;
3/ 
4/ 
5/ 
3. Biểu diễn trên đường trịn lượng giác (ĐTLG)
 3.1 Kiến thức cơ sở
+ Mỗi cung (hoặc gĩc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG 
	 được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.
+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm khơng thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà khơng trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện. 
 3.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)	
Giải phương trình
O
y
x
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ phươngtrình đã cho trở thành 
Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)
Giải phương trình	
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ phương trình đã cho trở thành
o
y
x
Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải phương trình	
Lời giải: Điều kiện 
Khi đĩ 
Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác 
Ta được nghiệm của phương trình là
O
x
y
.
Các bài tập tương tự
1/ ;	
2/ ;	
3/ ;	
4/ ;
5/ (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A).
II. Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế.	
Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy cĩ thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau
	1/ Nếu một bài tốn PTLG cĩ thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?
	Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả. Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả. 
	2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày. Vậy cĩ được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện khơng?
	Với vấn đề này, cĩ thể cho phép học sinh khơng trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nĩi trong phương pháp để cĩ kết luận chính xác. Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nĩi rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là
	3/ Cĩ phương pháp nào cĩ thể áp dụng cho tất cả các bài tốn PTLG cĩ điều kiện khơng? Làm sao biết mỗi bài tốn nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?
	Câu trả lời là khơng cĩ phương pháp nào cĩ thể áp dụng cho tất cả các bài tốn.
	Với những bài tốn khơng áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3. Phương pháp 3 cĩ thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài tốn mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhauthì phương pháp 3 gặp khĩ khăn và gần như khơng thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh. Khi đĩ phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này).
III. Hướng phát triển chuyên đề:
Do thời gian cĩ hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác cĩ điều kiện. Chuyên đề cĩ thể nghiên cứu để mở rộng với các bài tốn giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lơga rít và hàm số dưới dấu căn
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011
[ĐH A02] Tìm :
[ĐH B02] 
[ĐH D02] Tìm : 
[Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc 
[Dự bị 2 ĐH02] 
[Dự bị 3 ĐH02] 
[Dự bị 4 ĐH02] 
[Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : 
a) Giải phương trình với 	b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm.
[Dự bị 6 ĐH02] 
[ĐH A03] 
[ĐH B03] 
[ĐH D03] 
[Dự bị 1 ĐH A03] 
[Dự bị 2 ĐH A03] 
[Dự bị 1 ĐH B03] 
[Dự bị 2 ĐH B03] 
[Dự bị 1 ĐH D03] 
[Dự bị 2 ĐH D03] 
[ĐH B04] 
[ĐH D04] 
[Dự bị 1 ĐH A04] 
[Dự bị 2 ĐH A04] 
[Dự bị 1 ĐH B04] 
[Dự bị 2 ĐH B04] 
[Dự bị 1 ĐH D04] 
[Dự bị 2 ĐH D04] 
[ĐH A05] 
[ĐH B05] 
[ĐH D05] 
[Dự bị 1 ĐH A05] Tìm 
[Dự bị 2 ĐH A05] 
[Dự bị 1 ĐH B05] 
[Dự bị 2 ĐH B05] 
[Dự bị 1 ĐH D05] 
[Dự bị 2 ĐH D05] 
[ĐH A06] 
[ĐH B06] 
[ĐH D06] 
[Dự bị 1 ĐH A06] 
[Dự bị 2 ĐH A06]
[Dự bị 1 ĐH B06] 
[Dự bị 2 ĐH B06] 
[Dự bị 1 ĐH D06] 
[Dự bị 2 ĐH D06] 
[ĐH A07] 
[ĐH B07] 
[ĐH D07] 
[Dự bị 1 ĐH A07] 
[Dự bị 2 ĐH A07] 
[Dự bị 1 ĐH B07] 
[Dự bị 2 ĐH B07] 
[Dự bị 1 ĐH D07] 
[Dự bị 2 ĐH D07] 
[ĐH A08] 
[ĐH B08] 
[ĐH D08] 
[CĐ 08] 
[Dự bị 1 ĐH A08] 
[Dự bị 2 ĐH A08] 
[Dự bị 1 ĐH B08] 
[Dự bị 2 ĐH B08] 
[Dự bị 1 ĐH D08] 
[Dự bị 2 ĐH D08] 
[ĐH A09] 
[ĐH B09] 
[ĐH D09] 
[CĐ 09] 	
[ĐH A10] 
[ĐH B10] 	
[ĐH D10] 	
[ĐH A11] 
[DB A11] 
[ĐH B11] 
[ĐH D11] 
[DB D11] 
--------------------------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
Bài
Hướng dẫn giải
Kết qủa
1
A.2002
Tìm : (1)
Điều kiện : 
(1)
Vì 
Nên nghiệm của phương trình :
2
B.2002
3
D.2002
Tìm : (1)
Ta cĩ : 
(1)
 Vì 
4
DB 1
2002
Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc : (1)
(1)
 (2) với 
Ta cĩ : 
Bài tốn thành : Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 
(2)
Đặt 
Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P)
1
1
o
Khảo sát hàm số : 
BBT 
Phương trình (2) cĩ ít nhất một nghiện trên đoạn 
5
DB 2
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
6
DB 3
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
7
DB 4
2002
 (1)
Điều kiện : 
Ta cĩ : 
(1)
8
DB 5
2002
Cho phương trình : 
a) Giải phương trình với 	
b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm.
Giải.
a)Với , phương trình thành : (1)
vì : 
(1) 
b) 
 (2)
Điều kiện để phương trình (2) cĩ nghiệm :
9
DB 6
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
Vì : 
;
10
A2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
* 
 * 
 ( vơ nghiệm ) 
11
B2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
12
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
So với điều kiện :
Nghiệm của (1) :
13
DB 1
A2003
 Điều kiện : 
14
DB 2
A2003
 Điều kiện : 
15
DB 1
B2003
* ; 
* 
16
DB 2
B2003
 (1)
Điều kiện :
(1)
Vì : 
Nên nghiệm của 
phương trình : 
17
DB 1
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1) 
18
DB 2
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
19
B2004
 Điều kiện : 
20
D2004
21
DB 1
A2004
22
DB 2
A2004
 (1) TXĐ : 
Chú ý : ; 
(1)
 (2)
Đặt : ; ,khi đĩ : 
 (3) ( nhận xét và suy ra : )
(3) 
23
DB 1
B2004
24
DB 2
B2004
 Điều kiện : 
(1) 
25
DB 1
D2004
26
DB 2
D2004
 (1)
Đặt với 
(1) 
Với 
27
A2005
28
B2005
29
D2005
30
DB 1
A2005
Tìm của : 
 (chia 2 vế cho 2)
Vì 
Vì 
31
DB 2
A2005
32
DB1
B2005
33
DB 2
B2005
 (1) 
 Điều kiện : 
(1)
34
DB 1
D2005
 (1) Điều kiện : 
(1) 
35
DB 2
D2005
Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến 
Ta cĩ : 
Nghiệm của (1) : 
36
A2006
 (1) điều kiện : 
(1) 
vì : 
Nghiệm của (1)
37
B2006
 (1) 
Điều kiện : Ta cĩ : 
(1)
38
D2006
39
DB 1
A2006
 (1)
 Ta cĩ 
(1) 
40
DB 2
A2006
41
DB 1
B2006
 (1) 
 điều kiện : 
(1)
42
DB 2
B2006
; 
43
DB 1
D2006
44
DB 2
D2006
45
A2007
46
B2007
47
D2007
48
DB 1
A2007
 (1) điều kiện :
(1) 
49
DB 2
A2007
50
DB 1
B2007
51
DB 2
B2007
 (1) điều kiện :
(1)
52
DB1 
D2007
53
DB1 
D2007
 (1) điều kiện : 
(1)
54
A2008
 (1) 
Điều kiện : và 
(1)
Chú ý : 
(1)
55
B2008
56
D2008
57
CĐ
2008
58
DB 1
A2008
 (1) điều kiện :
(1)
59
DB 2
A2008
60
DB 1
B2008
61
DB 2
B2008
62
DB 1
D2008
63
DB 2
D2008
 (1) điều kiện : 
(1)
64
A2009
 (1) điều kiện : 
(1)
;
65
B2009
66
D2009
67
CĐ
2009