Tự ôn luyện thi ñại học môn Toán - Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit

Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 
Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit 
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. Phương trình lượng giác cơ bản 
 Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn đến phép giải các phương trình 
lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau đây: 
Phương trình ðiều kiện cĩ nghiệm ðưa về dạng Nghiệm 
sinx = m 1m1 ≤≤− sinx = sin α 



pi+α−pi=
pi+α=
2kx
2kx
cosx = m 1m1 ≤≤− cosx = cos α α± + k2 pi 
tgx = m mọi m tgx = tg α α + k pi 
cotgx = m mọi m cotgx = cotg α α + k pi 
 Ở bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên ( Zk ∈ ) . ðơn vị gĩc thường dùng là radian. 
ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các gĩc đặc biệt. ðường 
trịn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
 a) sin3x = 
2
2
; b) sin(2x - 
5
pi ) = 1; c) sin( pix ) = 0. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 a) cos2x = cos
5
pi
; b) cos(3x - 
3
pi ) = cos(x + 
2
pi ); c) cosx = sin(2x + 
4
pi ). 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 0)
3
8
xcos
3
(cos2 =pi−pi . 
Ví dụ 4. Giải phương trình: )xsin3cos()xsincos( pi=pi 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 1)x2(sinxcos 22 =− 
II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22 ≠+ 
 Chia hai vế của phương trình (1) cho 22 ba + , ta được: 
 (1) ⇔ 
222222 ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
 (2) 
 ðặt 
22 ba
a
+
= sin ϕ ; 
22 ba
b
+
 = cos ϕ . 
 Khi đĩ phương trình lượng giác cĩ dạng: cos(x - ϕ ) = 
22 ba
c
+
 (3) 
 Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 222
22
cba1
ba
c ≥+⇔≤
+
 Khi đĩ tồn tại [ ]pi∈α ;0 sao cho 
22 ba
c
cos
+
=α nên ta cĩ: 
 (1) ⇔ α=ϕ− cos)xcos( ⇔ pi+α±ϕ= 2kx ; Zk ∈ 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. 
Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 
a) Giải phương trình với m = - 3 . 
b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22 =++ 
Ví dụ 9. Tìm α để phương trình sau cĩ nghiệm x ∈ IR: 
 2)xsin(xcos3 =α++ 
Ví dụ 10. Giải phương trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=− 
Ví dụ 11. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm 


 pi
∈
2
;0x : 
 cos2x – msin2x = 2m – 1 
Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 
Ví dụ 13. Giải phương trình: 0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos 22 =+−− 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 
III. Phương trình đẳng cấp, phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 
1) Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số 
hạng cĩ tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc đều là số tự nhiên chẵn hoặc đều là số tự 
nhiên lẻ thì phương trình đĩ được gọi là “ đẳng cấp” đối với cosx và sinx. Gọi k là số lớn 
nhất trong các tổng số mũ nĩi trên được gọi là bậc của phương trình. 
 Cách giải: - Xét trường hợp cosx = 0 thử vào phương trình 
- Khi 0xcos ≠ chia hai vế phương trình cho coskx sau đĩ đặt 
ẩn phụ t = tgx. 
Ví dụ 14. Giải phương trình: 2sin3x = cosx 
Ví dụ 15. Giải phương trình: xsin2)
4
x(sin3 =pi+ 
Ví dụ 16. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm: 
 msin2x + cos2x + sin2x +m = 0. 
Ví dụ 17: Tìm m để phương trình sau cĩ đúng hai nghiệm x nằm trong khoảng 




 pipi
−
2
;
2
:
 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0. 
 2) Phương trình đối xứng sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà các số hạng cĩ 
chứa tổng (cosx ± sinx ) hoặc chứa tích cosx.sinx được gọi là phương trình đối xứng đối 
với cosx và sinx. Ví dụ phương trình: 0cxsin.xcosb)xsinx(cosa =++± . 
 Cách giải: ðặt t = sinx + cosx, ta cĩ 2t ≤ . Khi đĩ: sinx.cosx = 
2
1t2 −
 Nếu đặt t = sinx - cosx, ta cĩ 2t ≤ . Khi đĩ: sinx.cosx = 
2
t1 2−
Ví dụ 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). 
a) Giải hệ phương trình với m = - 1. 
b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 
Ví dụ 19. Giải phương trình: x2sin
2
3
xcosxsin1 33 =++ 
Ví dụ 20. Giải phương trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1 33 =++ 
Ví dụ 21. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm 


 pipi
∈
4
3
,
4
x : 
 .mxsinxcos 33 =+ 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 
IV. Phương trình đưa về dạng tích 
Các phương trình lượng giác khơng cĩ dạng như những phương trình đã trình bày ở các 
mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành những phương trình cơ bản. 
 Việc phân tích thành tích thực chất là đi tìm thừa số chung của các số hạng cĩ trong 
phương trình. ðể làm được điều đĩ, chúng ta cần phải thành thạo các cơng thức lượng giác, các 
hằng đẳng thức đại số đáng nhớ và cũng cần phải cĩ kinh nghiệm nhìn nhận mối quan hệ giữa 
các số hạng cĩ trong phương trình. 
• Thử các nghiệm đặc biệt như 1xsin ±= , 
2
1
xsin ±= , 1xcos ±= , 
2
1
xcos ±= 
và phương trình cĩ chứa thừa số (cosx ± sinx). Sử dụng đẳng thức sin2x + cos2x 
= 1. 
• Dùng các cơng thức biến đổi như hạ bậc, biến đổi tổng thành tích , biến đổi tích 
thành tổng, hàm số lượng giác của hai gĩc cĩ liên quan đặc biệt. Chú thêm một 
số biến đổi sau đây: 
x2sin
2
tgxgxcot =+ , x2gcot2tgxgxcot =− , 
x2sin
1
x2gcotgxcot =− 
• ðặt các nhân tử chung (nhân tử chung suy ra từ nghiệm đã thử được). 
Tham khảo thêm bảng họ các biểu thức cĩ nhân tử chung. 
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) 
sinx sin2x, tgx, tg2x, ... 
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ... 
1+cosx 
2
x
cos2 , 
2
xgcot 2 , sin2x, tg2x 
1-cosx 
2
x
sin 2 , 
2
x
tg2 , sin2x, tg2x 
1+sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 −pi , )
2
x
4
(sin 2 +pi 
1-sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 +pi , )
2
x
4
(sin 2 −pi 
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx 
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx 
Ví dụ 1.Giải phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 
Ví dụ 2.Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 
2
3
Ví dụ 3.Giải phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = 
2
1 ( cos2x + cos4x). 
Ví dụ 4.Giải phương trình: 2sin3x + cos2x + cosx = 0 
Ví dụ 5.Giải phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 
Ví dụ 6.Giải phương trình: x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+
Ví dụ 7.Giải phương trình 





−
pi
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin 22 . 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 
I. Các kết quả cơ bản 
 1) Hàm số mũ: y = ax, .1a0 ≠< 
• Tập xác định: IR. 
• Tập giá trị: IR+. (đồ thị luơn nằm phía trên trục hồnh) 
• Khi a > 1 hàm số đồng biến. 
 Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Dạng đồ thị: 
 2) Hàm số logarit: y = logax , .1a0 ≠< 
 a) Các tính chất: 
• Tập xác định: IR* (x > 0 ). 
• Tập giá trị: IR 
• Khi a > 1 hàm số đồng biến. 
 Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Dạng đồ thị: 
 Chú ý: Trong các bất phương trình mũ, logarit, cơ số a lớn hơn hay bé 
hơn 1 quyết định chiều của bất phương trình. Vì vậy phải chú ý đến chiều của bất phương trình 
trong quá trình biến đổi. 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 
b)Các cơng thức chú ý: 
• blog a cĩ nghĩa 



≠<
>
⇔
1a0
0b
• 
alog
blogblog
c
c
a = ( Cơng thức đổi cơ số với 0b > , 1a0 ≠< , 1c0 ≠< ). 
• blog
n
mblog aman = ( Với b > 0 và 1a0 ≠< ) 
• |b|log.k2blog ak2a = với Zk ∈ . 
II. Các phương trình, bất phương trình cĩ dạng cơ bản 
1) Phương trình mũ: 
Cho .1a0 ≠< 
Dạng 1: 



=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f
Dạng 2: ba )x(f 0) 










>
<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
Dạng 3: ba )x(f > 
- Nếu 0b ≤ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định 
của bất phương trình. 
- Nếu b > 0, khi đĩ bất phương trình tương đương với: 










<
<<



>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
 Dạng 4: 










>
<<



<
>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa )x(g)x(f 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 
2)Phương trình logarit 
Dạng 1: ba a)x(fb)x(flog =⇔= . 
Dạng 2: 










>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog 
Dạng 3: 










<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog 
Dạng 4: 










<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog aa 
Ví dụ 1. Cho phương trình: 1mm
5
1 24
3x4x2
+−=





+−
 a)Giải phương trình khi m = 1. 
b)Tìm m để phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 2)3x8x5(log 2x >+− 
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt: x)m99(log 3x2 =+ 
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
 0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x =++− 
Ví dụ 5. Giải bất phương trình: [ ] 1)729(loglog x3x ≤− 
Ví dụ 6. Giải bất phương trình: )x3(log)x5(log
3
1
3
1 −<− 
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 
III. Các phương trình, bất phương trình khơng cơ bản 
• Phải đặt điều kiện. 
• Những bài tốn cĩ tham số, đặt ẩn phụ phải tìm tập xác định của ẩn mới. 
• Những bài tốn phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa ở số 
mũ của lũy thừa, vừa ở hệ số, thường chuyển về việc phân tích thành thừa số, 
nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất đối với phương trình; xét dấu 
của tích đối với bất phương trình. 
• Khi bài tốn phức tạp, cĩ những phần tử giống nhau hay nhân tử giống nhau 
ta cĩ thể đặt ẩn phụ để đưa bài tốn trở lên đơn giản hơn. 
Ví dụ 7. Giải phương trình: 1x1x2xx 9
4
14.69
3
14.3 +++ −=+ 
Ví dụ 8. Giải phương trình: xxx 6242.33.8 +=+ 
Ví dụ 9. Giải bất phương trình: 3)x5(log
)x35(log
a
3
a >
−
−
 (với 1a0 ≠< ). 
Ví dụ 10. Giải phương trình: 293
32
27 )3x(log2
1xlog)6x5x(log −+




 −
=+− 
Ví dụ 11. Giải phương trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg 3 =−+ 
Ví dụ 12. Giải phương trình: 
 x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x 22
6
1
2
6
2 +=−−−−− 
Ví dụ 13. Giải bất phương trình: )3x(log
2
12xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3 +>−++− 
Ví dụ 14. Giải phương trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2
1 =−−++− 
Ví dụ 15. Giải phương trình: 25)1x(lg)1x(lg 3224 =−+− 
Ví dụ 16. Giải phương trình: 4)21x23x6(log)x4x129(log 23x227x3 =+++++ ++ 
Ví dụ 17. Tìm m để phương trình sau đây cĩ hai nghiệm trái dấu: 
 01m4)4m2(16)3m( xx =++−++