Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ phương trình lớp 10

Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
1 
TU
YỂ
N
CH
Ọ
N
10
0 
BÀ
I P
H
Ư
Ơ
N
G
TR
ÌN
H
&
H
Ệ
PH
Ư
Ơ
N
G
TR
ÌN
H
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
2 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
1) 1x.520xx9x14x5 22 +=−−−−+ 
2) 027x45x15x 35 =−+− 
3) ( ) 15x
25
x
11
22 =+
− 
4) ( )( ) 30xx3x6x42xx42x 3444 +=+−+−+−− 
5) 




=−−
=+−
0x500yxy
0y2000xyx
23
23
6) 0864x5x27 56105 =+− 
7) 2xx1xx1xx 222 +−=++−+−+ 
8) 






=+−
=+−
=+−
32
32
32
x64z48z12
z64y48y12
y64x48x12
9) 






+=+
+=+
+=+
2001519
2001519
2001519
yy1890xz
xx1890zy
zz1890yx
10) 






++=+
++=+
++=+
xxx1z2
zzz1y2
yyy1x2
23
23
23
11) ( )( )( )( ) 2x200190x35x7x18x =++−− 
12) ( ) ( ) 2000x2003x2001 44 =−+− 
13) 2
2
x1
xx2
x
x1
+
+
=
−
Đề xuất: 
( )
2
2
xa
xxcb
cx
bxa
+
++
=
−
Với a ,b,c >0 
14) 1x5x2x42x 2 −−=−+− 
 Đề xuất : 
( )
2
ab2
2
ba
x
2
ab
2
ab
xabxbax
22
2 −






−
+
−





−
−
−
−−=−+−
(Với a + 2 < b ) 
15) 333 23 2 20022003x62002x7x32001xx3 =−−+−−+− 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
3 
16) 2001x4004
2002
2001x8
33
−=




 +
17) ( )( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) x
1
cbabb
cxax
bacaa
bxcx
bcacc
bxax
=
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
Trong đó a;b;c khác nhau và khác không 
18) ( )22x1978119781x −−= 
19) ( ) 21xx 2 =− 
20) xx32x2....x2x =++++ 
21) 01x11xxx1 64 22 =−−+−++− 
22) 
2
2
x
3
2
x1 





−=− 
23) 33 2 x22x −=− 
24) ( ) ( )[ ] 2332 x12x1x1x11 −+=−−+−+ 
25) 1y2x428
1y
4
2x
36
−−−−=
−
+
−
26) ( ) ( ) 0aa2x6a52x11a2x10x 2234 =++++−−− 
27) Tìm m để phương trình : ( )( )( ) m5x3x1x 2 =++− 
có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 
1
x
1
x
1
x
1
x
1
4321
−=+++ 
28) 






=+−
=+−
=+−
2xz2zz
2zy2yy
2yx2xx
245
245
245
 Tìm nghiệm dương của phương trình 
29) 02x8x17xx18x18 2 =−−−− 
30) 11x2x17 3 84 8 =−−− 
31) x2x2x2x 22 −=−+ 
32) ( )



=
++=++
8xyz
zyx8zyx 444
33) ( ) 2x38x5x14x1019 2224 −−=−+ 
34) 0
5
x12
x
210
x
6125
5
x
2
2
=−++ 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
4 
35) 






=−+−
=−+−
=−+−
08y12y6z
08z12z6x
08x12x6y
23
23
23
36) ( )( ) x16818x9x2x3x =++++ 
37) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm. 
( )




+=+
=+
2myx
256yx
88
8
38) x2x5x3x5x3x2x −−+−−+−−= 
39) 9xx
1x
22
+=+
+
Đề xuất: )1a(1axx
1x
a
>++=+
+
40) x161x91x13 =++− 
41) 6x
2
271
3
28
x24x27.2 4 2 ++=++ 
42) 1x3x2x91x5 23 −+=−+− 
43) 





+
+
+
+
+
+
=++
=++
1
yx
zy
zy
yx
x
z
z
y
y
x
1zyx
44) ( ) 0x62x2x3x 323 =−++− 
45) 









−=−
−=−
−=−
yzc
y
a
z
c
xya
x
c
y
b
xzc
z
b
x
a
 Trong đó a;b;c *R +∈ 
46) ( )( ) 08000125x30x64x12x 22 =+++−− 
47) ( ) 02x21x2x =+−−− 
48) 




=++++++
=+++
n38x...8x8x
nx...xx
n21
n21
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
5 
49) Cho hệ phương trình: 
1b;
bn1bx
nx
n
1i
2
i
n
1i
i
>






=−+
=
∑
∑
=
=
 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 
= x2 = ...= xn = 1 
50) x3xx3 +=− 
Tổng quát: qpxxcbx +=+ với .pb3q&Rp;q;b;a 2 −=∈ 
51) ( )( )2x11x2004x −−+= 
Tổng quát: ( )( )22 xeddxcbax −−+= với a;b;c;d;e là các hằng số cho 
trước. 
52) 10x6x810x4x4 22 −−=−− 
53) 
( )
( )



=−
=+
32yx
1y32x
3
3
54) 




−=+−
−=+
x17y8yxy8x
49xy3x
22
23
55) 3 34 xx4.65x16 +=+ 
56) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )



+−=+
+−=+
+−=+
1zx21zz
1yz21yy
1xy21xx
32
32
32
57) 03x49x2x51x3 3333 =−−−+−++ 
Tổng quát: 
( )3 3213213 333 223 11 bbbxaaabxabxabxa +++++=+++++
58) 




=+
=+
2xy
2yx
3
3
Tổng quát: ( )Nk
2xy
2yx
3k6
3k6
∈




=+
=+
+
+
59) 1000x800011000xx 2 =+−− 
60) 61x5x =−++ 
61) Tìm nghiệm dương của phương trình: 
x
1
x3
x
11
x
1x
x2 −+−=−+ 
62) ( ) ( ) ( )4 24 34 34 2 x1xxx1x1x1xx −++−=−+−+ 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
6 
63) ( ) 27x811x 33 −=+ 
64) 6 233 1x1x1x −=−−+ 
65) ( ) 8x32x3x2 32 +=+− 
66) 






=−+−
=−+−
=−+−
027z27z9x
027y27y9z
027x27x9y
23
23
23
67) ( ) ( )11x300602004x4x30
2
15 2 ++=− 
68) 1x520xx9x14x5 22 +=−−−++ 
69) 









=+
=+
=+
2004x4
z
x30
2004z4
y
z30
2004y4
x
y30
2
2
2
70) 8x2x.315x 232 ++−=+ 
71) 03x3x33x 23 =+−− 
72) 






=−+−
=−+−
=−+−
08z12z6x
08y12y6z
08x12x6y
23
23
23
73) 333 23 2 20032004x52003x6x32002xx3 =−−+−−+− 
74) 33 1x3.31x −=+ 
75) 2x2x4x 2 +=+− 
Bài tập tương tự: 
 a) 1x253x52x20 2 −=++ 
b) x518x17x18 2 −=−+− 
c) 9x145x37x18 2 +=+− 
d) x7x7
28
9x4 2 +=+ 
76) 1x16128x32x
327
3333 +=++ 
77) Cho dcba;bdca0 +=+<<<< 
GPT: 2222 dxcxbxax +++=+++ 
78) 5x9x33x5x26x4x 222 −+−++−=+− 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
7 
79) 






=+
=+
=+
xxzz2
zzyy2
yyxx2
2
2
2
80) ( )2x337x17x1313x8x719xx 222 +=+++++++− 
81) y516x3y2yx1x4x4 4 4222 −+−=−−++++− 
82) 2003267x10x816x8x 22 =++++− 
83) 





=++






+=





+=





+
1xzyzxy
z
1
z5
y
1y4
x
1
x3
84) 




+−=+
+−=+
22
22
x1x21y
y1y21x
85) x3x4x1 32 −=− 
86) m1xx1xx 22 =−−−++ 
Tìm m để phương trình có nghiệm 
87) Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất 
axx28x4x2 2 =−+−−++ 
88) 





=++
=++
=++
350zyx
10zyx
0zyx
777
222
89) 




=++−
=−++
21214.30y2001x
21212001y4.30x
90) ( ) ( )1x28x31x11x23 22 +++=−+ 
91) ( ) 01x52x2 32 =+−+ 
92) 









=
−=++
=++
8
1
xyz
4
3
xzyzxy
2
3
zyx 222
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
8 
93) 
( )






−
+
=
=
−−
−+
y56
x35
y
x
5
x9
yxx
yxx
22
22
94) 
6
5
1x4x
1x3x
1x2x
1xx
2
2
2
2
=
++
++
+
++
++
95) 606z3y5x86
606z
1369
3y
1
5x
25
−−−−−−=
−
+
−
+
−
96) 4
x3
10
x2
6
=
−
+
−
97) 312x13x27x6x8x7x 3 23 23 2 =−−−+−++− 
98) 044x6.6x 33 =−+− 
99) 1xx
3
31x3x 242 ++−=+− 
100) 
5
2
2x
x1
2
3
=
+
+
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
9 
HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 
1) ĐK: x 5≥ 
Chuyển vế rồi bình phương: 
( )( )
( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
2
5x 14x 9 x 24x 5 10. x x 20 x 1
4x 10x 4 10. x 5 x 4 x 1
2x 5x 2 5. x 4x 5 x 4
2(x 4x 5) 3 x 4 5. x 4x 5 x 4
u= x 4x 5
....
v x 4
+ + = + + + − − +
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − − +
⇔ − − + + = − − +

− −
→
= +
2) 
( )( )
( ) ( )
4 3 2
4 3 2
24 2
x 3 x 3x 6x 18x 9 0
GPT : x 3x 6x 18x 9 0
x 3x x 1 9 x 1 0
+ − − + − =
− − + − =
− − − − =
Đặt: x- 1 = y 
4 2 2
2
x 3x y 9y 0
2x 3y 3y 5
⇒ − − =
⇒ = ±
3) ĐK: x 0;x 5≠ ≠ − 
Đặt x+5 = y 0≠ ( )2x y 5→ = − 
4 3 2
2
2
PT y 10y 39y 250y 625 0
625 25y 10 y 39 0
yy
⇔ − + − + =
   
⇔ + − + + =   
  
4) ĐK: 2 x 4≤ ≤ 
Áp dụng Cauchy: ( )
( ) ( )4
3 3
x 2 4 x(x 2) 4 x 1
2
6x 3x 2 27x 27 x
− + −
− − ≤ =
= ≤ +
Áp dụng Bunhia: ( )24 4x 2 4 x 2− + − ≤ 
5) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
x x y 2000y 1
y x y 500x 2

− = −

− − =
Nếu x = 0 ( ) oy 0 0;0 là n⇒ = ⇒ 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
10 
Nếu 2 2x 0.Rút x y≠ − từ (1) thế vào (2) ta có: 
2 2
y 02000yy 500y
x x 4y
≠
− 
− = ⇒  
=  
6) 0864x5x27 56105 =+− 
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt: 
5
x
27.32
x27 6
5
45
=+ 
5
6
4
27
1
.5
x
2
x =+ 
Áp dụng CauChy: 566
444
6
4
27
1
.5
x
1
x
1
3
x
3
x
3
x
x
2
x ≥++++=+ 
7) 2xx1xx1xx 222 +−=++−+−+ 
ĐK: 




≥++−
≥−+
01xx
01xx
2
2
Áp dụng Cauchy: 
2
2xx
2
11xx1xx
2
xx
2
11xx1xx
22
2
22
2
++−
=
+++−≤++−
+
=
+−+≤−+
1x1xx1xx 22 +≤++−+−+ 
Từ PT 1x2xx2 +≤+−⇒ ( ) 01x 2 ≤−⇔ 
8) 
( )
( )
( )



=+−
=+−
=+−
3x64z48z12
2z64y48y12
1y64x48x12
32
32
32
G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng 
là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử : 
x = max{x; y; z} 
Từ ( ) 16164x4x1264x48x12 22 ≥++−=+− 
2y16y3 ≥⇒≥⇒ 
Tương tự 2z;2x ≥≥ 
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) 
 ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) 
VT 0VT;0 ≥≤ . Dấu “=” xảy ra zyx ==⇔ 
9) 






+=+
+=+
+=+
2001519
2001519
2001519
yy1890xz
xx1890zy
zz1890yx
Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
11 
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ( x; y; z)⇒ − − − cũng là nghiệm của hệ 
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: 
x 0; y 0≥ ≥ . Từ phương trình ( )1 z 0⇒ ≥ . 
Cộng từng vế phương trình ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2001 2001 2001 19 5 19 5 19 5z 1890z x 1890x y 1890z z z x x y y .+ + + + + = + + + + +
Ta có: 2001 19 50 t 1 t 1890t t t< ≤ ⇒ + ≥ + 
2000 18 4t 1890 t t+ ≥ + (đúng) 
2001 19 5t 1 t 1890t t t> ⇒ + > + 
 Thật vậy: 2001 2000 1000
cô si
t 1890 1 t 2t+ > + ≥ 
18 4t t> + (đpcm) 
 Vậy x = y = z 
Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( ) 1 1 13 2z 1 0 z y x
2 2 2
− − −
⇒ + < ⇒ < ⇒ < ⇒ < 
Cộng 3 phương trình với nhau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 0+ − + + − + + − = (*) 
Với ( )1 1 1x ; y ;z *
2 2 2
< − < − < − ⇒ vô nghiệm 
x 0; y 0;z 0⇒ > > > 
Gọi ( )x; y;z là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: 
{ }x max x;y;z= 
Trừ (1) cho (3) ta được: 
( ) ( )( )2 22 x z y x x y xy x y 1− = − + + + + + 
VT 0
VP 0
≤
 ≥
dấu " " x y z ....= ⇔ = = ⇒ 
Bài 11: PT ( )( )2 2 2x 17x 630 x 83x 630 2001x .⇔ + − + − = 
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho 2x 
Ta có: 630 630x 17 x 83 2001
x x
  
+ − + − =  
  
Đặt: 
630
x t
x
− = 
Bài 12: t/d: pt: ( ) ( )4 4x a x b c+ + + = 
 Đặt: 
a by x
2
+
= + 
Bài 13: Đk: 0 x 1< ≤ 
PT 2
1 x 2x 11 (*)
x 1 x
− −
⇔ = +
+
+ 
1
x
2
= là nghiệm pt (*) 
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa L
 A 
12 
+ 
1
x 1
2
< ≤ : 
VP 1
VT 1
>

<
+ 
10 x
2
< < : 
VT>1
VP<1


