Tuyển chọn các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm 2010 - 2011

 1 
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN 
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
(Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu) 
Bài 1. 
1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 
2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2x x x      
 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) 
Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 211 25 14 0x x x x x      
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
  

   
 (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) 
Bài 4. Giải hệ phương trình sau 
1 3 3
12 8
x x y
y
x y
y

    


   
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy
   

  
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 
Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
  

 
(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 
 2 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3 2 1
1
2 4
y
x y x
xx y
y
    

   

(Đề thi HSG Hà Tĩnh) 
Bài 8. Giải phương trình 23 6 7 1x x x     
(Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
    

   
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) 
Bài 10. 
1/ Giải bất phương trình 2 2( 4 ) 2 3 2 0x x x x    . 
2/ Giải hệ phương trình sau 
2
2
7
12
xy y x y
x x
y
   


 

(Đề thi HSG Điện Biên) 
Bài 11. Giải hệ bất phương trình 
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
   

  
. 
(Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) 
Bài 12. 
1/ Giải phương trình 1 1
21 3
x x
x x

 
  
2/ Giải hệ phương trình 
2
2
2
2
x x y
y y x
  

 
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) 
 3 
Bài 13. 
1/ Giải phương trình 2 4 3 5x x x    . 
2/ Giải phương trình 3 2 3 1 2 2x x x x     trên [ 2, 2] 
(Đề thi HSG tỉnh Long An) 
Bài 14. Giải hệ phương trình sau 
2 2
1 2 2
1 1 3 3( )
y x
x yx
y x x

  


   
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định). 
Bài 15. Giải hệ phương trình sau 
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
   

  
 (Đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hòa) 
Bài 16. 
1/ Giải phương trình 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
2/ Giải hệ phương trình 
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
    

   
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc) 
Bài 17. Giải phương trình sau 
2
4 3 2 3 12 2 2 1 ( ) xx x x x x x
x

      
(Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh) 
Bài 18. Giải phương trình 2 2 3 2 2 5 0sin sin cosx x x    . 
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) 
Bài 19. 
1/ Giải phương trình 2 24 2 4x x x x     . 
 4 
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
  

 
(Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) 
Bài 20. Giải phương trình 23 6 7 1x x x     . 
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 
Bài 21. Giải hệ phương trình 
5( ) 6( ) 4
6 5
6( ) 4( ) 5
4 6
4( ) 5( ) 6
5 4
x y x z
x y xy x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz
  
     
  
 
   
  
 
   
(Đề chọn đội tuyển trường PTNK, TPHCM) 
Bài 22. 
1/ Giải phương trình 12 1 3 2 ( 11)
2
x y z x y z        
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1212 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y

  

      
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam) 
Bài 23. 
1/ Tìm tất cả các giá trị của ,a b để phương trình 
2
2
2
2 1
x ax b m
bx ax
 

 
có hai nghiệm phân biệt với 
mọi tham số m. 
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
   

 
(Đề thi HSG vòng tỉnh Bình Phước) 
Bài 24. 
 5 
1/ Giải hệ phương trình 
2 2 2 2
3 3 3 3
2010
2010
x y z
x y z
   

  
2/ Giải phương trình 
3 32 2 2 33 3 3 2 0x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) 
Bài 25. 
1/ Giải bất phương trình sau 
2
2
2 1 2( 1) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
       

   
2/ Với n là số nguyên dương, giải phương trình 1 1 1 1... 0
sin 2 sin 4 sin8 sin 2nx x x x
     . 
(Đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa) 
Bài 26. 
1/ Giải phương trình sau 3 sin 2 cos 2 5sin (2 3) cos 3 3 1
2cos 3
x x x x
x
     


. 
2/ Giải phương trình 23 2
2 1log 3 8 5
( 1)
x x x
x

  

(Đề thi HSG tỉnh Thái Bình) 
Bài 27. 
1/ Giải hệ phương trình 
2 2
2
1
2
1
x y xy y
yx y
x
    


   
2/ Giải phương trình lượng giác 2 2 2 2sin 2
tan cot 2
x
x x

 

(Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ) 
Bài 28. Giải phương trình 2 1 124 60 36 0
5 7 1
x x
x x
    
 
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh) 
 6 
Bài 29. Giải phương trình 3 2 3 2 23 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x          
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 30. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 3 4 2 3 4 18
7 6 14 0
( )( )x x y y
x y xy x y
     

     
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 31. Giải hệ phương trình 
32 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y
      

   
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) 
Bài 32. Giải hệ phương trình 
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x
     

 
(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) 
Bài 33. Giải hệ phương trình 
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
     

   
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) 
Bài 34. Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
  

  
(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái) 
Bài 35. Giải phương trình 3 232 2 1 27 27 13 2x x x x     
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) 
Bài 36. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1 2( )
2
1 1
2
x y
x y
y x
x y
   

   

(Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh) 
 7 
Bài 37. Giải hệ phương trình 
3
3
3
3 12 50
12 3 2
27 27
x x y
y y z
z x z
   

  
  
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) 
Bài 38. Giải phương trình 
9 2
3
9 1 2 1
3
x x x    
(Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) 
Bài 39. 
1/ Giải phương trình sau 21 1 2 2x x x x       
2/ Giải hệ phương trình sau 
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
     

    
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An) 
Bài 40. 
1/ Giải hệ phương trình 
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
   

   
2/ Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm 2011 3 3 2( 1) 2( 1) 3 3 2x x x x x       . 
(Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An) 
Bài 41. Giải hệ phương trình sau 
3
3
3
3 12
4 6
9 2 32
x y x
y z y
z x z
   

   
   
(Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1) 
Bài 42. Giải hệ phương trình 
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1log ( ) log ( )
y x xe
y
x y x y
 

      
 8 
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) 
Bài 43. Giải phương trình sau 
2 2
2
2 2
2 1
1 2 1 4
x x x x x
x x x x
  
  
       
(Đề thi HSG tỉnh Bình Phước) 
Bài 44. 
1/ Giải phương trình 3 23 3 4 3 2x x x x     
2/ Tìm số nghiệm của phương trình 
2011 2009 4 2011 2009 2 2(4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0x x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) 
Bài 45. Giải hệ phương trình sau 
2 2 2 2 2
(2 )(1 2 )(2 )(1 2 ) 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z xz yz x y
      

      
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) 
Bài 46. 
1/ Giải phương trình sau 22010 ( 1 ) 1x x x   . 
2/ Giải hệ phương trình 
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
    

  
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) 
Bài 47. Giải hệ phương trình 
11 10 22 12
4 4 2 237 13 8 2 (3 3 1)
x xy y y
y x y x x y
   

    
(Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) 
Bài 48. Giải hệ phương trình 
2
2
2
2009 2010 ( )
2010 2011 ( )
2011 2009 ( )
x y x y
y z y z
z x z x
   

  
   
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) 
 9 
Bài 49. Giải hệ phương trình sau 
2 2
2
1
5
574 3 (3 1)
25
x y
x x y x
  

     

(Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) 
Bài 50. Cho các tham số dương , ,a b c . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau : 
2 2 24
x y z a b c
xyz a x b y c z abc
    

   
(Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) 
Bài 51. Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực 
2 2
2 2
3 3
3 0
x yx
x y
x yy
x y
   

  
 
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) 
Bài 52. Giải hệ phương trình 
4 4
2 2 3
2
3( )
x x y y
x y
   

 
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 53. Giải phương trình 2 3 532 .sin .cos 2 1 1x x x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) 
Bài 54. Giải hệ phương trình 
2 2
2
2 2
( 2) ( 3) ( 3)( 2)
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
x y y x z
x x z y yz
x y xy yz x y z
        

     
        
(Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) 
Bài 55. 
Tìm , ,x y z thỏa mãn hệ 
2 2
2 2
2 2
2 ( ) 1
1 2 2 2
(3 1) 2 ( 1)
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x
    

    
    
(Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) 
 10 
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT 
Bài 1. 
1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 
2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2x x x      
 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) 
Lời giải. 
1/Điều kiện 1x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2 2( 1 1) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1x x x x             (*) 
-Nếu 1 1x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1x x x x               , loại. 
-Nếu 1 1 2 2 5x x      thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1x x         , luôn đúng. 
-Nếu 1 2x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2x x x x              , loại. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là mọi x thuộc  2;5 . 
2/ Điều kiện 5
2
x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2
2
1 5 2 6
(1 ) ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6
(1 )( 5 2 ) 5 (1 )( 5 2 ) 10 25
7 30 0 3 10
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
     
          
            
        
Thử lại, ta thấy chỉ có 3x   là thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 3x   . 
Nhận xét. Các dạng toán phương trình vô tỉ này khá cơ bản và quen thuộc, chúng hoàn toàn có 
thể giải bằng cách bình phương để khử căn mà không cần lo ngại về tính giải được của phương 
trình hay không. Để đơn giản trong việc xét điều kiện, ta có thể giải xong rồi thử lại cũng được. 
 11 
Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 211 25 14 0x x x x x      
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) 
Lời giải. 
Phương trình đã cho tương đương với 
5 4 4 3 3 2 2
4 3 2
4 3 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 9 18 ) (7 14) 0
( 2)( 9 7) 0
2
9 7 0
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x x x x
          
      

 
    
Phương trình thứ hai ở trên có thể viết lại là 
4 3 2 4 3 3 2 2
2 2
( 9 6) 1 0 ( 2 2 3 3 6 6) 1 0
( 1) ( 3 6) 1 0
x x x x x x x x x x x
x x x
               
     
Do 2 2( 1) ( 3 6) 1 0,x x x x      nên phương trình này vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 2x  . 
Nhận xét. Đây là một phương trình đa thức thông thường, có nghiệm là 2x  nên việc phân tích 
thành nhân tử khá đơn giản; cái khó là biết đánh giá phương trình còn lại và có nên tiếp tục tìm 
cách giải nó hay không hay tìm cách chứng minh nó vô nghiệm. Trường hợp đề bài cho phân 
tích thành các đa thức không có nghiệm đơn giản, bài toán trở nên khó khăn hơn rất nhiều; thậm 
chí là ngay cả với những đa thức bậc bốn. Chẳng hạn như khi giải phương trình 
4 3 22 3 10 16 3 0x x x x     , nếu tính toán trên giấy thì không phải dễ dàng mà có được phân 
tích 2 2(2 5 1)( 3) 0x x x x     để giải từng phương trình tích. 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
  

   
 (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) 
Lời giải. 
Điều kiện: , 0x y  . Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta có: 
 ( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 10x x y y      
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, vế theo vế, ta được: 
 12 
5 2( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 2 2
2 5 2 2 5 2
x x y y
x x y y
        
   
Đặt 2 5 2 0, 2 5 2 0a x x b y y        . Ta có hệ sau: 
2
10 10 10 5
5 5 5 5 52 2 50 20 2
10
a b b a b a a
ba a
a b a a
         
     
         
Xét phương trình 
22 5 2 5 2 5 (5 2 ) 2 5 25 2 10 2 2 2 2x x x x x x x x x                . 
Tương tự, ta cũng có 2y  . 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( , ) (2, 2)x y  . 
Nhận xét. Ngoài cách giải tận dụng tính chất của các căn thức, ta cũng có thể đặt ẩn phụ rồi biến 
đổi; trong phương trình thứ hai, các số hạng tự do có thể khác nhau mà lời giải vẫn được tiến 
hành tương tự. Chẳng hạn, giải hệ phương trình sau 
2 2 6
2 5 2 9 8
x y
x y
  

   
Bài 4. Giải hệ phương trình sau 
1 3 3
12 8
x x y
y
x y
y

    


   
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 
Lời giải. 
Điều kiện 10, 0, 3y x x y
y
     . 
Đặt 1 , 3, , 0a x b x y a b
y
      . Hệ đã cho viết lại là 2 2
3 2, 1
1, 25
a b a b
a ba b
    
     
-Với 2, 1a b  , ta có 
 13 
2
1 41 12, 3 1 4, 4 4
4
1 3, 14 8 15 0, 4
4
5, 144
x
x x y x x y x
y y y x
x yx x x x
x
x yy xy x
             

 
                  
-Với 1, 2a b  , ta có 
2
1 11 11, 3 2 1, 7 7
7
4 10, 3 108 6 0, 7
7 4 10, 3 10
x
x x y x x y x
y y y x
x yx x x
y x x y
             

 
        
  
      
Thử lại, ta thấy tất cả đều thỏa. 
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là 
( , ) (3,1), (5, 1), (4 10,3 10), (4 10,3 10)x y       . 
Nhận xét. Dạng hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ này thường gặp ở nhiều kì thi, từ 
ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉnh và khu vực. Chúng ta sẽ còn thấy nó xuất hiện nhiều ở các đề thi 
của các tỉnh được nêu dưới đây. 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy
   

  
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 
Lời giải. 
Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, vế theo vế, ta được: 
4 2 3 2 2 2 2 2
2
2 4 4 1 0 ( 1) 4 ( 1) 0 ( 1)( 1 4 ) 0
1 1 1 4 0
y y xy xy y xy y y y xy
y y y xy
              
        
-Nếu 1y  , thay vào phương trình đầu tiên, ta được: 
24 1 4 1 ( 1) 0 0 1x x x x x x          . 
Thử lại, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn. 
 14 
-Nếu 1y   , thay vào phương trình đầu tiên, ta được: 
24 1 4 1 ( 1) 0 0 1x x x x x x           . 
Thử lại, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn. 
-Nếu 
2
2 11 4 0
4
yy xy x
y

     (dễ thấy trong trường hợp này 0y  ), thay vào phương trình 
đầu tiên, ta được: 
22 2
4 3 2 2 4 2 2 21 14 4 1 (1 ) 4 4(1 ) 4 ( 1)(5 7) 0
4 4
y yy y y y y y y
y y
    
               
   
. 
Suy ra 1, 0y x   và hai nghiệm này đã nêu ở trên. 
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là ( , ) (1,1), (0,1), ( 1, 1), (0, 1)x y     . 
Nhận xét. Đây là một dạng hệ phương trình đa thức khá khó, rõ ràng nếu ở phương trình thứ hai, 
người ta chia hai vế cho 2 thì khó có thể tự nhận biết giá trị này mà nhân vào rồi trừ từng vế như 
trên. Việc phát hiện ra giá trị 2 để nhân vào có thể dùng cách đặt tham số phụ rồi lựa chọn. 
Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
  

 
(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 
Lời giải. 
Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 
4 2 2 2 25( ) 0 ( ) ( ) 5 0 ( ) 5x x y y x x y x x y x y x x y                
-Nếu x y , từ phương trình thứ nhất ta có 
4 25 6 0 ( 3)( 2)( 1) 0 2 1x x x x x x x x              , tương ứng với 2 1y y    . 
Thử lại thấy thỏa, ta có hai nghiệm ( , ) ( 2, 2), (1,1)x y    . 
-Nếu 2 2
5( ) 5x x y y x
x
     , thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 
4 6 3 2
2
55 6 5 6 25 0x x x x x
x
         
 
 15 
Đồng thời, từ hệ đã cho ta cũng có 2 2 65 6 6
5
x x y x     . 
Do đó 
3 2
3 2 6 3 26 6 216 96 3125 4 5. 4. 25 5 6 25 0
5 5 25 25
x x x x x                
   
. 
Suy ra trong trường hợp này, hệ vô nghiệm. 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( , ) ( 2, 2), (1,1)x y    . 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3 2 1
1
2 4
y
x y x
xx y
y
    

   

(Đề thi HSG Hà Tĩnh) 
Lời giải. 
Điều kiện: 2 20, 1xy x y   . Đặt 2 2 1, , 0xa x y b ab
y
     . 
Hệ đã cho trở thành 
3 2 3 2 1, 11 1 2 3 0
2 3
3, 92 32 3 2 3
b ab b
a b b b
b aa ba b a b
            
              
-Với 1, 1a b   , ta có 2 2 2,x y x y    , ta tìm được hai nghiệm là ( , ) (1, 1), ( 1,1)x y    . 
-Với 9, 3a b  , ta có 2 2 10, 3x y x y   , ta tìm được hai nghiệm là ( , ) (3,1), ( 3, 1)x y    . 
Thử lại, ta đều thấy thỏa mãn. 
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm phân biệt là ( , ) (1, 1), ( 1,1), (3,1), ( 3, 1)x y      . 
Bài 8. Giải phương trình 23 6 7 1x x x     
(Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) 
Lời giải. 
Điều kiện 1x  . 
 16 
Ta có 
23
2 33
2 33
2 33
( 6 2) ( 4) ( 1 1) 0
2 2( 2)( 2) 0
1 1( 6) 2 6 4
1 1( 2) 2 0
1 1( 6) 2 6 4
2
1 12 0
1 1( 6) 2 6 4
x x x
x xx x
xx x
x x
xx x
x
x
xx x
       
 
     
    
 
      
       

     
     
Dễ thấy phương trình thứ hai vô nghiệm vì vế trái luôn dương nên phương trình đã cho có 
nghiệm duy nhất là 2x  . 
Nhận xét. Cách đơn giản hơn dành cho bài này là chứng minh hàm đồng biến, tuy nhiên, cần 
chú ý xét 1x  trước khi đạo hàm. 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
    

   
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) 
Lời giải. 
Điều kiện , 1 0x x y   . 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
2 2
1 1 1 2 1 1 2 1
4( 1) ( 2) 4 2 2
x x y x x y x y y x y
y x y y x y x
               
         
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 
2 2 2 22 0 ( )y x y x y x y x xy y x y x          
Ta có hệ mới là 
2
1
1
2 2 2 22 2 4
2 ( 2) ( 2) 2 0 2
4
y
xy x y xy x
y y y y y yy x y x y
x
  
              
            
 17 
So sánh với điều kiện ban đầu, ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn. 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 1( , ) ( , 1), (2,4)
4
x y   . 
Bài 10. 
1/ Giải bất phương trình 2 2( 4 ) 2 3 2 0x x x x    . 
2/ Giải hệ phương trình sau 
2
2
7
12
xy y x y
x x
y
   


 

(Đề thi HSG Điện Biên) 
Lời giải. 
1/ Điều kiện 2 12 3 2 0 2
2
x x x x       . Ta có 
2
2 2
2
4 04 0
( 4 ) 2 3 2 0 1 22 3 2 0
2
x xx x
x x x x
x xx x
                  
Kết hợp các điều kiện trên, ta có 12 4
2
x x x     . 
Vậy bất phương trình trên có nghiệm là 1( , ] {2} [4, )
2
x      . 
2/ Điều kiện 0y  . Hệ đã cho tương đương với 
7
( ) 12
xx y
y
xx y
y
   

  

Đặt , xu x y v
y
   , ta có hệ 
7 3, 4
12 4, 3
u v u v
uv u v
    
    
-Với 3, 4u v  , ta có 4, 3 3, 1xx y x y
y
      , thỏa điều kiện. 
 18 
-Với 4, 3u v  , ta có 12 33, 4 ,
5 5
xx y x y
y
      , thỏa điều kiện. 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 12 3( , ) (3,1), ( , )
5 5
x y  . 
Bài 11. Giải hệ bất phương trình 
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
   

  
. 
(Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) 
Lời giải. 
Từ bất phương trình thứ nhất của hệ, ta có 1 , , 1x y z   . 
Từ hai bất phương trình của hệ, ta có 
2007 2009 2011 6 8 10 6 2001 8 2001 10 2001(1 ) (1 ) (1 ) 0x y z x y z x x y y z z            
Từ điều kiện 1 , , 1x y z   , ta dễ dàng thấy rằng 6 2001 8 2001 10 2001(1 ), (1 ), (1 ) 0x x y y z z    . 
Do đó, phải có đẳng thức xảy ra, tức là 
6 2001 8 2001 10 2001(1 ) (1 ) (1 ) 0 , , 1 , , 0x x y y z z x y z x y z          . 
Kết hợp với điều kiện 6 8 10 1x y z   , ta thấy hệ bất phương trình đã cho có các nghiệm là 
( , , ) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)x y z  . 
Bài 12. 
1/ Giải phương trình 1 1
21 3
x x
x x

 
  
2/ Giải hệ phương trình 
2
2
2
2
x x y
y y x
  

 
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) 
Lời giải. 
1/ Điều kiện 1,3 0, 1 3 1 3, 1x x x x x x           . 
 19 
Phương trình đã cho tương đương với 
2
2 1 1 31 ( 1) (3 ) ( 1 3 )( 1 3 )
1 3 1 3
1 3 0
( 1 3 ) 1
x x xx x x x x x
x x x x
x x
x x
   
            
     
    
 
   
Dễ thấy phương trình thứ nhất vô nghiệm nên ta chỉ xét 
2
2
( 1 3 ) 1 ( 1) (3 ) 2 ( 1)(3 ) 1 3 2 ( 1)(3 )
2 79 4( 1)(3 ) 4 8 3 0
2
x x x x x x x x
x x x x x
               

         
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 7
2
x  . 
2/ Điều kiện , 0x y  . Dễ thấy nếu 0x  thì 0y  và ngược lại nên hệ có nghiệm ( , ) (0,0)x y  . 
Ta xét , 0x y  . Xét hàm số 
2
( ) , 0
2
t tf t t  , ta thấy 1( ) 0, 0
4
f t t t
t
      nên đây là 
hàm đồng biến. 
Hệ đã cho được viết lại là 
( )
( )
x f y
y f x



. Suy ra x y , thay vào hệ đã cho, ta có 
2
1
2 1 2 ( 1)( 1) 0 3 5
2
x
x x x x x x x x x
x

            

Tương ứng với hai giá trị này, ta cũng có 
1
3 5
2
y
y


 

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là 3 5 3 5( , ) (0,0), (1,1), ( , )
2 2
x y   . 
Nhận xét. Bài phương trình thứ nhất nếu không có biến đổi phù hợp mà đặt ẩn phụ thì lời giải sẽ 
khá dài dòng và rắc rối, chúng ta cần chú ý tận dụng những tính chất của căn thức, lượng liên 
hợp để khai thắc đặc điểm riêng của bài toán. 
 20 
Bài 13. 
1/ Giải phương trình 2 4 3 5x x x    . 
2/ Giải phương trình 3 2 3 1 2 2x x x x     trên [ 2, 2] 
(Đề thi HSG tỉnh Long An) 
Lời giải. 
1/ Điều kiện 5x   . 
Phương trình đã cho tương đương với 
2 2 3 2
3 2
4
( 4 3) 5 ( 4)( 4 6 1) 0
4 6 1 0
x
x x x x x x x
x x x

           
   
Ta xét phương trình 3 24 6 1 0x x x    (*) 
Hàm số 3 2( ) 4 6 1f x x x x    có 2( ) 3 8 6 0f x x x     nên là đồng biến; hơn nữa, 
(0). (1) ( 1).2 0f f    nên phương trình ( ) 0f x  có đúng một nghiệm thuộc (0,1) . 
Ta sẽ giải phương trình (*) bằng phương pháp Cardano. 
Đặt 4
3
x y  , ta có 3 2 61(*) 0
3 27
y y    . Đặt y u v  , ta có 
3 3 61 2( ) (3 )( ) 0
27 3
u v uv u v      . 
Chọn u và v sao cho 
3 3 61
27
2
9
u v
uv
   

 

. 
Giải hệ phương trình này, ta chọn nghiệm 3 1 2( 61 3 417),
54 9
u v
u
    . 
Từ đó, ta tìm được nghiệm của phương trình (*) là 
3
0
3
1 2 4( 61 3 417) 0.189464
54 319 ( 61 3 417)
54
x x      
 
 21 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 04,x x x  . 
2/ Điều kiện 2x   . 
Phương trình đã cho tương đương với 
3 2 2 5 4 3 2
5 4 3 2
( 3 1) 4( 2) ( 1)( 6 2 9 7) 0
1
6 2 9 7 0
x x x x x x x x x x
x
x x x x x
            
 
 
     
Phương trình 5 4 3 26 2 9 7 0x x x x x      có đúng một nghiệm thuộc [ 2, 2] và nó có giá trị 
gần đúng là 0 1.916086228x x  . 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 01,x x x   . 
Nhận xét. Rõ ràng phương trình bậc ba ở trên phải giải trực tiếp bằng công thức tổng quát, điều 
này ít khi xuất hiện ở các kì thi HSG. Đối với phương trình thứ hai, việc xét [ 2, 2]x  nêu trong 
đề bài có thể gợi ý dùng lượng giác; tuy nhiên, cách đặt 2cosx  chưa có kết quả, mong các 
bạn tìm hiểu thêm. Một bài tương tự xuất hiện trong kì thi HSG ĐBSCL như sau 
Giải phương trình 5 4 3 232 32 16 16 2 1 0x x x x x      . 
Phương trình này được giải bằng cách đặt ẩn phụ 2y x rồi bình phương lên, nhân vào hai vế 
cho 2y  để đưa về phương trình quen thuộc 3 3 2y y y   . 
Bài toán như thế này khá đánh đố và phức tạp! 
Bài 14. Giải hệ phương trình sau 
2 2
1 2 2
1 1 3 3( )
y x
x yx
y x x

  


   
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định). 
Lời giải. 
Điều kiện xác định: 0 0,x y  . 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
2 21 2 2 2 2 2 2 0( )y x y x y x x xy y y x x x x
x yx
            
 22 
Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có 
2 2 22 8 4 4 2 0( ) ( )x x x x x x x x x x x          . 
Do đó, phương trình này có hai nghiệm là 
1 2
2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ), ,x x x x x x x xy x y x          . 
Xét hai trường hợp 
-Nếu y x  , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 
2 21 1 3 3( )x x x   