Tuyển tập 15 đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm học 2013 - 2014

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCSSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
SBD
PHÒNG
Bài 1: (3,0 điểm)
Tính tổng:
Bài 2: (4,0 điểm)
Năm học 2013-2014
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian phát đề) 
 15-3-2014
Cho đa thức 
a. Hãy phân tích đa thức thành tích các nhân tử. 
b. Chứng tỏ rằng nếu là số nguyên thì luôn chia hết cho 5.
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho .
a. Chứng minh rằng :
b. Chứng minh rằng :
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho hệ phương trình
a. Giải hệ phương trình. 
b. Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn nhận một nghiệm là nghiệm
của hệ phương trình đã cho và một nghiệm là (0,0). 
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy một điểm M trên đường tròn 
sao cho . Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C,
CM cắt AB tại D. 
a. Chứng minh rằng BM song song OC. 
b. Tính diện tích tam giác ACD. 
-----Hết------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
AN GIANG Năm học 2013 – 2014
MÔN TOÁN
A.ĐÁP ÁN
ĐÁP ÁNBài
Bài 1
Bài
2a 
Bài
2b 
Điểm
3,0 
điểm
2,0 
điểm
2,0 
điểm
Vậy
Theo trên luôn chia hết cho 5 với
mọi số nguyên x
Mặt khác 
nên là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5
vậy luôn chia hết cho 5 2,0 
điểm
dấu bằng xảy ra khi
2,0 
điểm
Chứng minh
Xét 
Bài
3a Do 
Vậy
Hay
Do
Ta được
Xét 
Bài
3b 
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
Phương trình có nghiệm
Phương trình có nghiệm
Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn
vậy một phương trình thỏa đề bài đó là 
B
A
O
C
M
D
3,0 
điểm
- Theo đề bài ta có , tam giác AMB vuông tại M (do
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (*) 
- Tam giác MOB cân có góc nên tam giác MOB đều 
- CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C nên CO là
đường phân giác của góc , hay CO là phân giác của góc
(**)Bài
4a 
Bài
4b
Bài
5a 
3,0 
điểm
1,0 
điểm
Từ (*) và (**) suy ra BM song song OC (góc đồng vị)
Nhận xét: Ba tam giác OAC, OMC và OMB là ba tam giác vuông bằng
nhau do có một cạnh góc vuông bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau 
vậy 
Tam giác ACO vuông có cạnh góc vuông2,0 
điểm
Bài
5b
Vậy diện tích tam giác ACD là
B. HƯỚNG DẪN CHẤM: 
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
+ Điểm từng phần có thể chia nhỏ đến 0,25 và phải được thống nhất trong tổ chấm./.	
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014
(đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và .
Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2 (2 điểm).
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (2 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình .
b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn . 
Chứng minh rằng là số chính phương. 
Câu 4 (3 điểm).
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. 
a) Chứng minh 
b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.
Câu 5 (1 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------Hết------------------------
Họ và tên thi sinh..số báo danh...
Chữ ký của giám thị 1..chữ ký của giám thị 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
---------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014
(Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1a:
(1,0 đ)
0.25
0.25
0.25
 = 
0.25
Câu 1b:
(1,0 đ)
0.25
Vì a > b > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b 
0.25
Vậy biểu thức 
0.25
0.25
Câu 2a:
(1,0 đ)
Đặt 
0.25
ta được phương trình 
0.25
Với t = -4 ta có 
0.25
Với t =2 ta có 
. Kết luận nghiệm của phương trình.
0.25
Câu 2b:
(1,0 đ)
Từ hệ ta có 
0.25
0.25
* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();()
0.25
* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();()
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x ; y) = (0; 0); ();();();()
0.25
Câu 3a:
(1,0 đ)
Do y nguyên dương 
0.25
Vì 
0.25
mà và (Do )
0.25
*Nếu 
*Nếu 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:
 và 
0.25
Câu 3b:
(1,0 đ)
 (*)
0.25
Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (). Thì
0.25
Mà mà 
0.25
Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được và là số chính phương => là số chính phương.
0.25
Câu 4a:
(1,0 đ)
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có sđ (1)
0.25
Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2)
0.25
Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3)
0.25
Từ (1), (2), (3) ta có hay 
0.25
Câu 4b:
(1,0 đ)
Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)
0.25
sđ;sđ 
 tứ giác AMGO nội tiếp (5)
0.25
Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn
0.25
 và đồng dạng
 hay OD.GF = OG.DE.
0.25
Câu 4c:
(1,0 đ)
Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho 
MA’ = MA đều
0.25
Chu vi tam giác MAB là 
0.25
Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO
Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB
0.25
Gọi I là giao điểm của AO và BC 
Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = 
0.25
Câu 5:
(1,0 đ)
Từ gt : và a,b,c > 0 
Chia cả hai vế cho abc > 0 
đặt 
Khi đó 
0.25
0.25
0.25
Khi thì C = 7
Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1
0.25
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 PHÚ THỌ 
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - THCS
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
b)Cho .
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
 Câu 2( 4,0 điểm)
Tính gía trị biểu thức , biết 
Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
 Câu 3( 4,0 điểm)
	a) Giải phương trình 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4( 7,0 điểm)
 Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành .
a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp .
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.
c) Khi và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI.
Câu 5( 2,0 điểm)
 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Chứng minh rằng 
---Hêt—
Họ và tên thí sinh..............................................số báo danh.....
Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN
Câu1( 3,0 điểm)
Giải phương trình trên tập nguyên
Cho .
Hướng dẫn
: a) )
để PT(*) có nghiệm nguyên x thì chính phương 
từ đó tìm được 
Cách khác 
xét từng trường hợp sẽ ra nghiệm
b) ta có 
để P(x) chia hết 11 thì 
mà ta có không chia hết cho 11
suy ra không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100 ;
 suy ra 
Cách khác 
Suy ra (x-1)3 chia co 11 dư 1 suy ra x-1 chia cho 11 dư 1 suy ra x chia cho 11 dư 2 mà x<100 suy ra kết quả
Câu 2( 4,0 điểm) 
a)Tính gía trị biểu thức , biết 
b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
a) tính thay a=5 vào 
b) Cộng cả ba đẳng thức ta có hệ 
 trừ (1) cho (2) ta được 
cộng (1) ;(2) ;(3) ta có (*)
mà tù x+y+z=0 suy ra thay vaò (*) ta có đpcm
 Câu 3( 4,0 điểm)
Giải phương trình 
 b) Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn
a) HD đkxđ 
giải ra pt có 2 nghiệm x=1; 
b)
lấy pt(1) trừ pt(2) ta được 
thay vào phương trình hệ có 4 nghiệm
Câu 4( 7,0 điểm)
Hướng dẫn
a) ENB=EFM suy ra ENM+EFM=1800
b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có DPF=DMF =EAF=
mặt khác EAF=EPF nên EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra HOI=HPF=( không đổi)
suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng 
c) khi BC=R ; EAF==600 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi đó IM//AO ta tính BQ;QM được áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM tính được OI
Hướng dẫn
Lời giải 1
Đặt Xét hiệu 
Bất đẳng thức được chứng minh dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
Lời giải 2
Mặt khác 
Mà 
Nên BĐT (*) được cm dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú thọ 
Lời giải 3 :Áp dụng BĐT AM – GM cho bốn số dương cho vế trái ta có
 .
 Ta cần chứng minh 
 .
Đặt .
 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
 .
Ta có 
Bđt này đúng vì /2.
Do đó 
Dấu bằng xảy ra khi .■
 GV KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO - PHÚ THỌ
Lời giải 4 Đặt 
Với ta có: 
Tương tự ta cũng có: .
Áp dụng BĐT Bunhia-copx-ki ta có: 
Từ đó suy ra: 
Làm tương tự ta có: 
Do đó: 
Mặt khác theo BĐT Cô-si:
Lấy theo vế suy ra: 
BĐT đã cho được giải quyết chọn vẹn nếu chứng minh được: 
Ta có: do .
Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có: 
Suy ra: 
Từ đó BĐT đã cho được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi .
 Việt Trì, ngày 20 tháng 03 năm 2014.
	 Bùi Hải Quang
Lời giải 5 
 Đặt 
Khi đó 
Áp dụng bdt ta có 
(1)
 Theo bdt AM-GM 
 Tương tự ta có 
 Cộng từng vế (2)
Từ (1) và (2) 
Từ ta CM được ( dễ chứng minh được theo biến đổi tương đương)
 và chứng minh kết thúc nếu chỉ ra được
 ( điều này luôn đúng do ) 
Vậy ta có ĐPCM dấu = xảy ra khi x=y=z=1 , 
các thầy cô đóng góp thêm lời giải cho bài số 5 nhé
Equation Chapter 1 Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Số báo danh
........................
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/03/2014
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức .
	1. Rút gọn biểu thức A.
	2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu II (5,0 điểm).
1.Cho phương trình . Tìm để phương trình 
 có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn .
 2. Giải hệ phương trình .
Câu III (4,0 điểm).
 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1).
 2. Tìm thỏa mãn .
Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 
	1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
	2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.
 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----- HẾT -----
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Equation Chapter 1 Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/03/2014
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Ý
Lời giải (vắn tắt)
Điểm
I
(4,0đ)
1
(2,5đ)
Điều kiện: .
0,25
0,50
0,50
.
1,25
2
(1,5đ)
Theo Côsi, ta có: .
0,50
Dấu bằng xảy ra Û Û x = y = .
0,50
Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = .
0,50
II
(5,0đ)
1
(2,5đ)
PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: 
 (*)
0,50
Với theo Vi-et ta có: .
0,25
Ta có (1)
0,50
0,50
. Đặt do 
0,50
Ta cos (1) trở thành ( do )
0,50
Với ta có thỏa mãn (*)
0,25
2
(2,5đ)
Ta có:
 =
= =
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1).
0,50
0,50
0,50
Dấu bằng xảy ra 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
0,50
III
(4,0đ)
1
(2,0đ)
Giả sử (a + b2) M (a2b – 1), tức là: a + b2 = k(a2b – 1), với k Î N* Û
	Û a + k = b(ka2 – b) Û a + k = mb	(1)
Ở đó m Î Z mà: m = ka2 – b Û m + b = ka2	(2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1 Û
	Û (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka)	(3)
Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m ³ 1 (vì m Î Z). 
Do b > 0 nên b – 1 ³ 0 (do b Î Z) Þ (m – 1)(b – 1) ³ 0.
Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) ³ 0.
0,50
Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka ³ 0 Þ k + 1 ³ ka Þ 1 ³ k(a – 1)	 (4)
Vì a – 1 ³ 0 (do a Î Z, a > 0) và k Î Z, k > 0 nên từ (4) có: 
0,25
- Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 Û 
Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3.
0,25
- Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 Û .
Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1.
Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b Þ b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3.
0,25
Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).
0,25
2
(2,0đ)
Ta có 
 (1)
0,50
TH1. Nếu Ta có (2) vô lý 
( do nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ).
0,50
TH2. khi đó (3)
0.50
Giải (3) ra ta được hoặc thử lại thỏa mãn
0,50
IV
(6,0đ)
1
(2.5đ)
2
(2.5đ)
3(1đ)
Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 hay . 
Mặt khác (giả thiết).Do đó . 
Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp (vì cùng bù với ).
Mặt khác (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ). Từ (1) và (2) .
Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E.
(Có thể nhận ra ngay nên suy ra EMF cân)
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra và .
Trong đường tròn ta có: và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DF. Suy ra (4).
Từ (3) và (4) suy ra hay . 
Trong đường tròn ta có: (góc nội tiếp cùng chắn )
Suy ra .
Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó Ba điểm D, I, B thẳng hàng.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Vì ba điểm D, I, B thẳng hàngsđ. 
Mà C cố định nên D cố định sđ không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD. 
0,50
0,50
V(1đ)
Ta có: .
Theo Côsi: .
0.25
Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, $x, y để: Û
Û 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0	(1)
Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy Û D = Bo2 – 8Bo + 4 ³ 0 Û 
0.25
Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có: .
Với Û
Û .
0.25
Vậy, , đạt được khi hoặc .
0.25
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.