Tuyển tập 300 bất đẳngthức hay từ các diễn đàn toán học trên thế giới

Tuyển tập 300 Bất Đẳng Thức Hay
Nguyễn Việt Anh
Ngày 16 tháng 7 năm 2005
1
Từ Các Diễn Đàn Toán Học Trên Thế Giới
diendantoanhoc.net [VMF]
1. Posted by StRyKeR
Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng :
xny + ynz + znx ≤ n
n
(n + 1)n+1
2. Posted by manlio
Cho x1, x2, . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng :
(x1 + x2 + . . . + xn + 1)
2 ≥ 4(x21 + x22 + .... + x2n)
3. Posted by manlio
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng :
1
x1
+
2
x1 + x2
+ . . . +
n
x1 + x2 + . . . + xn
≤
( 1
x1
+
1
x2
+ . . . +
1
xn
)
4. Posted by hxtung
Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho
k ≤ v
v + w
+
w
w + x
+
x
x + y
+
y
y + z
+
z
z + v
≤ k′
với mọi số thực v, w, x, y, z
5. Posted by pcalin
Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:√
(x + y + z)
(1
x
+
1
y
+
1
z
)
≥ 1 +
√
1 +
√
(x2 + y2 + z2)
( 1
x2
+
1
y2
+
1
z2
)
6. Posted by Mitzah
Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC
bc cosA + ca cosB + ab cosC
a sinA + b sinB + c sinC
≥ 2r
7. Posted by georg
Chứng minh rằng (1
2
)n−1
≤ x2n + (1− x2)n ≤ 1
trong đó n > 1
2
diendantoanhoc.net [VMF]
8. Posted by Maverick
Tam giác ABC thỏa mãn sinA sinB sinC = 1
3
. Chứng minh khi đó ta có :
p3 + Sr + abc > 4R2p
9. Posted by Lagrangia
Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + c = 2b và đặt
A =
ax + by + cz
az + by + cx
B =
ay + bz + cx
ax + bz + cy
C =
az + by + cx
ay + bz + cx
Chứng minh rằng maxA,B,C ≥ 1
10. Posted by vineet
Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :
(2a + b + c)2
2a2 + (b + c)2
+
(a + 2b + c)2
2b2 + (c + a)2
+
(a + b + 2c)2
2c2 + (a + b)2
≤ 8
11. Posted by treegoner
Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:(
tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2
)
(
√
cothA cothB +
√
cothB cothC +
√
cothC cothA) ≤ 3
12. Posted by DusT
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2R
r
≤ E1
E2
trong đó
E1 =
1
sinA
+
1
sinB
+
1
sinC
E2 = sinA + sinB + sinC
3
diendantoanhoc.net [VMF]
13. Posted by Reyes
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√
a3
a3 + (b + c)3
+
√
b3
b3 + (c + a)3
+
√
c3
c3 + (a + b)3
≤ 1
14. Posted by Maverick
Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4
√
abcd. Chứng minh rằng
a + d2
b
+
c + a2
d
+
b + c2
a
+
d + b2
c
≥ 4(1 + E)
15. Posted by Alexander Khrabrov
Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và
a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0
Chứng minh rằng
n∑
k=1
akbk ≤
[
Pn
i=1 bi
]
+1∑
k=1
ak
16. Posted by Lagrangia
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng
cosA + cosB + cosC < sinA + sinB + sinC
17. Posted by galois
Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức
cos
(A−B
2
)
+ cos
(B − C
2
)
+ cos
(C − A
2
)
≥ sin
(3A
2
)
+ sin
(3B
2
)
+ sin
(3C
2
)
18. Posted by Valentin Vornicu
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng
2(a + b + c)− abc ≤ 10
19. Posted by Michael
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
a2
b2 + 1
+
b2
c2 + 1
+
c2
a2 + 1
≥ 3
2
4
diendantoanhoc.net [VMF]
20. Posted by hxtung
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong [0,
1
2
]. Chứng minh rằng( 1
x1
− 1
)( 1
x1
− 1
)
. . .
( 1
x1
− 1
)
≥
( n
x1 + x2 + . . . + xn
− 1
)n
21. Posted by hxtung
Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
1
a + b
+
1
a + 2b
+ · · ·+ 1
a + nb
<
n√
a(a + b)
22. Posted by hxtung
Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 . . . xn thỏa mãn x1x2 . . . xn = 1 bất đẳng
thức sau xảy ra
1
n− 1 + x1 +
1
n− 1 + x2 + · · ·+
1
n− 1 + xn ≤ 1
23. Posted by Mitzah
Chứng minh rằng
√
2n + 1−
√
2n +
√
2n− 1− · · · −
√
2 + 1 >
√
2n + 1
2
24. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng
1
(1− x)(1− y)(1− z) +
1
(1 + x)(1 + y)(1 + z)
≥ 2
25. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng
√
x +
√
y +
√
z ≥ xy + yz + zx
26. Posted by keira-khtn
Chứng minh rằng
2x2
2x2 + (y + z)2
+
2y2
2y2 + (z + x)2
+
2z2
2z2 + (x + y)2
≤ 1
5
diendantoanhoc.net [VMF]
27. Posted by georg
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
mambmc ≥ rarbrc
28. Posted by alekk
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau
xy + yx > 1
29. Posted by billzhao
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sinA + sinB + sinC
30. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng
5(x + y + z) + 18 ≥ 8(√xy +√yz +√zx)
31. Posted by Mitzah
Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c
a
a + 2b + c
+
b
b + 2c + a
+
c
c + 2a + b
≤ 1
32. Posted by Lagrangia
Cho x1, x2, x3, x4, x5 > 0. Chứng minh rằng
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
2 ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1)
33. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2
Chứng minh rằng
a3 + bc
2
+
b3 + ca
3
+
c3 + ab
5
≥
√
abc(
√
a +
√
b +
√
c)
3
6
diendantoanhoc.net [VMF]
34. Posted by hxtung
Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt
S = a + b + c + d
T = ab + ac + ad + bc + bd + cd
R = abc + abd + acd + bcd
H = abcd
Chứng minh rằng
S
4
≥
√
T
6
≥ 3
√
R
4
≥ 4
√
H
35. Posted by Maverick
Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức
a(hb + hc) + b(hc + ha) + c(ha + hb) ≥ 12S
36. Posted by Lagrangia
Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng
3
√
S ≤ p + 4
√
abcd
37. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a3 + b3
c
+
b3 + c3
a
+
c3 + a3
b
≥ 2
3
(
√
ab +
√
bc +
√
ca)2
38. Posted by hxtung
Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn
(x1)
k + (x2)
k + · · ·+ (xn)k ≥ 0
với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1|, . . . , |xn|
Chứng minh rằng x1 = d và
(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn) ≤ xn − dn
với mọi số thực x ≥ d
7
diendantoanhoc.net [VMF]
39. Posted by hxtung
Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
abc + bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd
27
40. Posted by keira-khtn
Với x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng∑
min (xixj, yiyj) ≤
∑
min (xiyj, xjyi)
41. Posted by hxtung
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng√
a2 +
1
b + c
+
√
b2 +
1
c + a
+
√
c2 +
1
a + b
≥ 3
√
17
2
42. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức√
(a2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ abc + 3
√
(a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc)
43. Posted by Myth
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng√
x +
3
√
y + 4
√
z ≥ 32√xyz
44. Posted by Maverick
Cho a, b > 0.Đặt
A = (
√
a +
√
b)2
B =
a +
3
√
a2b +
3
√
ab2 + b
4
C =
a +
√
ab + b
3
Chứng minh rằng
A ≤ B ≤ C
8
diendantoanhoc.net [VMF]
45. Posted by hxtung
Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng
3(x2 − x + 1)(y2 − y + 1)(z2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1
46. Posted by hxtung
Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c
(a + b− c)2(b + c− a)2(c + a− b)2 ≥ (a2 + b2 − c2)(b2 + c2 − a2)(c2 + a2 − b2)
47. Posted by Lagrangia
Cho tam giác ABC thỏa mãn  ≤ B̂ ≤ Ĉ ≤ pi
2
và B̂ ≥ pi
3
. Chứng minh rằng
mb ≥ ha
48. Posted by alekk
Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 ≤ a2b + b2c + c2a + 1
49. Posted by alekk
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
√
b + c(
√
a + b +
√
a + c) ≥ b + c
2
+
√
ab +
√
ac
50. Posted by Arne
Chứng minh bất đẳng thức
cosec
pi
2
+ cosec
pi
4
+ · · ·+ cosec pi
2n−1
≤ cosec pi
2n
luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1
sinx
với x 6= kpi
51. Posted by Lagrangia
Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng
n− 1
2
(an + bn) + cn ≥ nabc
(
a + b
2
)n−3
9
diendantoanhoc.net [VMF]
52. Posted by Maverick
Cho các số thự dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng
x1
x1x2
x2 · · ·xnxn ≥
(x1 + x2 + · · ·+ xn
n
)x1+x2+···+xn
53. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
a
c
+
b
a
+
c
b
≥ a + b + c
54. Posted by hxtung
Cho dãy số x1, x2, . . . , xn thỏa mãn
x1 + x2 + · · ·+ xk ≤
√
k
với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n ≥
1
4
(
1 +
1
2
+ · · ·+ 1
n
)
55. Posted by Maverick
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
a√
1 + a2
+
b√
1 + b2
+
c√
1 + c2
≤ 3
2
56. Posted by Maverick
Cho các số dương a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn. Chứng minh rằng(
a1 + a2 + · · ·+ an
b1 + b2 + · · ·+ bn
)b1+b2+···+bn
≥
(
a1
b1
)b1 (a2
b2
)b2
· · ·
(
an
bn
)bn
57. Posted by alekk
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
x3
x2 + y2
+
y3
y2 + z2
+
z3
z2 + x2
≥ x + y + z
2
10
diendantoanhoc.net [VMF]
58. Posted by
Cho các số a1, a2, . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · ·+ an = 1 và b1, b2, . . . , bn là các số
thực. Chứng minh bất đẳng thức
b21 +
b22
a1
+ · · ·+ b
2
n
an−1
≥ 2b1(b2 + · · ·+ bn)
59. Posted by manlio
Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức(
1 +
a21
a2
)(
1 +
a22
a3
)
· · ·
(
1 +
an1
a1
)
≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an)
60. Posted by Moubinool
Chứng minh rằng
a3
x
+
b3
y
+
c3
z
≥ (a + b + c)
3
3(x + y + z)
với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z
61. Posted by cezar lupu
Cho hàm số f : R → R thỏa mãn
f(x) + f(y) ≤ 2− |x− y|
với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x.
62. Posted by hxtung
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng
(
0, pi
2
)
sao cho
tan x1 + tanx2 + · · ·+ tan xn ≤ n
Chứng minh rằng
sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ 1√
2n
63. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1 + ab2
c3
+
1 + bc2
a3
+
1 + ca2
b3
≥ 18
a3 + b3 + c3
11
diendantoanhoc.net [VMF]
64. Posted by Maverick
Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng
a2 − b2
c
+
b2 − c2
a
+
c2 − a2
b
≥ 3a− 4b + c
65. Posted by Maverick
Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng
xx
2+2yzyy
2+2zxzz
2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx
66. Posted by Maverick
Cho các số thực a1, a2, · · · , an nằm trong khoảng
(
0, 1
2
)
và thỏa
a1 + a2 + · · ·+ an = 1
Chứng minh rằng (
1
a1
− 1
)(
1
a2
− 1
)
· · ·
(
1
an
− 1
)
≥ (n2 − 1)n
67. Posted by hxtung
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2, · · · , an ta có bất đẳng thức
a1
a2 + a3
+
a2
a3 + a4
+ · · ·+ an
a1 + a2
>
n
4
68. Posted by Maverick
Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng
a3
b + c + d
+
b3
a + c + d
+
c3
a + b + d
+
d3
a + b + c
≥ 1
3
69. Posted by hxtung
Cho tam giác ABC. Đặt
x =
r
R
, y =
a + b + c
2R
Chứng minh rằng
y ≥ √x(
√
6 +
√
2− x)
12
diendantoanhoc.net [VMF]
70. Posted by Maverick
Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng
x3
(1 + y)(1 + z)
+
y3
(1 + z)(1 + x)
+
z3
(1 + x)(1 + y)
≥ 3
4
71. Posted by Arne
Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng
min (ai − aj) ≤ 1
10
72. Posted by Lagrangia
Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng
1
sin A
2
+
1
sin B
2
+
1
sin C
2
≥ 2
(
1
cos A−B
4
+
1
cos B−C
4
+
1
cos C−A
4
)
73. Posted by Maverick
Cho các số thực dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng∑
xixj(x
2
i + x
2
j) ≤
(
∑
xi)
4
8
74. Posted by hxtung
Chứng minh rằng
a21 +
(
a1 + a2
2
)2
+ · · ·+
(
a1 + a2 + · · ·+ an
n
)2
≤ 4(a21 + a22 + · · ·+ a2n)
75. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
≥ 2
a
+
2
b
− 2
c
76. Posted byorl
Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, . . . , xk là k số nguyên dương
có tổng bằng tích
13
diendantoanhoc.net [VMF]
(a) Chứng minh rằng
xn−11 + x
n−1
2 + · · ·+ xn−1n ≥ kn
(b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, . . . , xn để xảy ra đẳng thức
xn−11 + x
n−1
2 + · · ·+ xn−1n = kn
77. Posted by hxtung
Cho các số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn là các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002].
Giả sử rằng
a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n = b21 + b22 + · · ·+ b2n
Chứng minh rằng
a31
b1
+
a32
b2
+ · · ·+ a
3
n
bn
≤ 17
10
(a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n)
78. Posted by Maverick
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
x
x +
√
(x + y)(x + z)
+
y
y +
√
y + x)(y + z)
+
z
x +
√
(z + x)(z + y)
≤ 1
79. Posted by Charlie
Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh
rằng
a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd ≥ 6
80. Posted by Charlie
Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng
9(a2 + bc)(b2 + ca)(c2 + ab) ≤ 8(a3 + b3 + c3)2
81. Posted by hxtung
Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng
(a)
sin
A
2
+ sin
B
2
+ sin
C
2
≥ sin 4
3
(
1 + sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
)
(b)
cos
A
2
+ cos
B
2
+ cos
C
2
≥ cos 4
√
3
3
(
1 + sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
)
14
diendantoanhoc.net [VMF]
82. Posted by orl
Dãy số an được định nghĩa như sau
? a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1
? an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)
(a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương
(b) Tìm công thức tường minh cho dãy
83. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
2(a + b)
3a + 6b + 9c
+
6(b + c)
5a + 2b + 3c
+
3(c + a)
2a + 8b + 6c
84. Posted by Maverick
Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn
1
a
+
1
b
+
1
c
= 2
Chứng minh rằng √
a + b + c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1
85. Posted by Bottema
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng
a + b + c +
1
abc
≤ 3 + 3
√
9
86. Posted by manlio
Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3
√
3(d + 1) ≥ a + b + c. Chứng minh rằng
(b + cd)2
a
+
(c + ad)2
b
+
(a + bd)2
c
≥ abc
87. Posted by bugzpodder
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
yx2 + zy2 + xz2 ≤ 4
27
15
diendantoanhoc.net [VMF]
88. Posted by hxtung
Chứng minh rằng
2 ≤ (1− x2)2 + (1− y2)2 + (1− z2)2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z)
với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1
89. Posted by Maverick
Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
x(1− y2)(1− z2) + y(1− z2)(1− x2) + z(1− x2)(1− y2) ≤ 4
√
3
9
90. Posted by hxtung
Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c
1
a(b + 1)
+
1
b(c + 1)
+
1
c(a + 1)
≤ 3
1 + abc)
91. Posted by Gil
Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
y + z
x
+
z + x
y
+
x + y
z
≥ 4
( x
y + z
+
y
z + x
+
z
x + y
)
92. Posted by hxtung
Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Chứng
minh rằng
x + y + z ≥ xy + yz + zx
93. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
b
+
b
c
+
c
a
≥ 2ab
b2 + ca
+
2bc
c2 + ab
+
2ca
a2 + bc
94. Posted by Vialli
Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c
a2 + bc
b + c
+
b2 + ca
c + a
+
c2 + ab
a + b
≥ a + b + c
16
diendantoanhoc.net [VMF]
95. Posted by Maverick
Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z
2(x3 + y3 + z3) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x + y + z)(xy + yz + zx)
96. Posted by Mitzah
Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có
a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ 2
3
(ab + bc + ca)2
97. Posted by manlio
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
1
b(a + b)
+
1
c(b + c)
+
1
a(c + a)
≥ 27
2(a + b + c)2
98. Posted by manlio
Cho a, b, c ≥ −1. Chứng minh rằng
1 + a2
1 + b + c2
+
1 + b2
1 + c + a2
+
1 + c2
1 + a + b2
≥ 2
99. Posted by manlio
Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh
a2 + 2bc
b2 + c2
+
b2 + 2ca
c2 + a2
+
c2 + 2ab
a2 + b2
≥ 3
100. Posted by dreammath
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
3(a +
√
ab +
3
√
abc) ≤
(
8 +
2
√
ab
a + b
)(
a · a + b
2
· a + b + c
3
)
101. Posted by Maverick
Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn. Giả sử rằng z1, z2, . . . , zn là
một hoán vị của y1, y2, . . . , yn. Chứng minh rằng
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 ≤ (x1 − z1)2 + (x2 − z2)2 + · · ·+ (xn − zn)2
17
diendantoanhoc.net [VMF]
102. Posted by manlio
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
ab + bc + ca ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 8abc
103. Posted by manlio
Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương. Chứng
minh rằng ( 1
an
)( 1
bn
)( 1
cn
)
≥ (3n − 1)3
104. Posted by bugzpodder
Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1. Chứng minh rằng
1
(1 + a)(1 + b)
+
1
(1 + b)(1 + c)
+
1
(1 + c)(1 + a)
≤ 3
2
105. Posted by Myth
Cho a, b, c, A,B,C > 0 và a + A = b + B = c + C = k. Chứng minh rằng
aB + bC + cA ≤ k2
106. Posted by manlio
Chứng minh rằng
1
1
a
+ 1
b
+
1
1
c
+ 1
d
≤ 11
a+c
+ 1
b+d
trong đó a, b, c, d > 0
107. Posted by manlio
Cho ai(i = 1, 2, . . .) là các số thực dương. Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho
pr = qs. Chứng minh rằng( 1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
ar
)p
(a1 + a2 + · · ·+ as)q ≥ np+q
108. Posted by manlio
Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng
(
0, 1
2
)
và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng√
a(1− 2a) +
√
b(1− 2b) >
√
c(1− 2c)
18
diendantoanhoc.net [VMF]
109. Posted by manlio
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa z = x + y. Chứng minh rằng
(x2 + y2 + z2)3 ≥ 54x2y2z2
110. Posted by manlio
Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
xy + yz + zx ≤ 1
4
+ 3xyz
111. Posted by Maverick
Cho các số thực dương a1, a2, . . . , an có tổng nhỏ bằng 1. Chứng minh rằng
nn+1a1a2 · · · an(1− a1 − a2 − ...− an) ≤ (1− a1)(1− a2) · · · (1− an)(a1 + a2 + · · ·+ an)
112. Posted by manlio
Cho 0 < A1 < 1 và ak+1 = a
2
k với k = 1, 2, . . .. Chứng minh rằng
(a1 − a2)a3 + (a2 − a3)a4 + · · ·+ (an − an+1)an+2 < 1
3
113. Posted by manlio
Cho a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ a2n−1 ≥ 0 .Chứng minh rằng
a21 − a22 + ... + a22n−1 ≥ (a1 − a2 + ... + a2n−1)2
114. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa abc = 2
√
2. Chứng minh rằng
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8(a− 1)(b− 1)(c− 1)
115. Posted by manlio
Cho ai, bi(i = 1, 2, . . .) là các số thực thỏa mãn
a1 ≥ a1 + a2
2
≥ · · · ≥ a1 + a2 + · · ·+ an
n
b1 ≥ b1 + b2
2
≥ · · · ≥ b1 + b2 + · · ·+ bn
n
Chứng minh rằng
n(a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn) ≥ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn)
19
diendantoanhoc.net [VMF]
116. Posted by manlio
Chứng minh rằng với mọi số thực a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức
(1− a1)(1− a2) · · · (1− an) +
(
1 +
a1 + a2 + · · ·+ an
n
)n
≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) +
(
1− a1 + a2 + · · ·+ an
n
)n
117. Posted by darij grinberg
Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức
a + b
a + c
+
b + c
b + a
+
c + a
c + a
≤ a
b
+
b
c
+
c
a
118. Posted by pcalin
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√
2a
a + b
+
√
2b
b + c
+
√
2c
c + a
≤ 3
119. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng
1
1 + a + b
+
1
1 + b + c
+
1
1 + c + a
≤ 1
120. Posted by manlio
Với ai, bi(i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương. Chứng minh rằng
a1b1
a1 + b1
+
a2b2
a2 + b2
+ · · ·+ anbn
an + bn
≤ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn)
a1 + a2 + · · ·+ an + b1 + b2 + · · ·+ bn
121. Posted by Maverick
Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng
(a2 + ab + b2)(b2 + bc + c2)(c2 + ca + a2) ≥ (ab + bc + ca)3
122. Posted by Arne
Cho a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an. Chứng minh rằng
a1a
4
2 + a2a
4
3 + · · ·+ ana41 ≥ a2a41 + a3a42 + · · ·+ a1a4n
20
diendantoanhoc.net [VMF]
123. Posted by manlio
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng
a
1 + bc
+
b
1 + ac
+
c
1 + ab
≥ 1
124. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực và x = a2 + b2 + c2 .Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 ≤ x
3
2
+ 3abc
125. Posted by manlio
Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng(1
a
+
1
b
+
1
c
)( 1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
)
≥ 9
1 + abc
126. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng
a
1 + bc
+
b
1 + ca
+
c
1 + ab
≤
√
2
127. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng
(a + b)(b + c)(c + a) ≤
(a + b + c
2
)6
128. Posted by manlio
Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
a4 + b4
(a + b)4
+
√
ab
a + b
≥ 5
8
129. Posted by manlio
Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức
ab
c(c + a)
+
bc
a(a + b)
+
ca
b(b + c)
≥ a
c + a
+
b
a + b
+
c
b + c
21
diendantoanhoc.net [VMF]
130. Posted by manlio
Cho a1, .x2, x3, x4, x5, x6 là các số thực trong đoạn
[
0, 1
6
]
.Chứng minh rằng
(x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x4)(x4 − x5)(x5 − x6)(x6 − x1)
131. Posted by manlio
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức
5(a2 + b2 + c2) ≤ 6(a3 + b3 + c3) + 1
132. Posted by manlio
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnhn của một tam giác. Chứng minh rằng
1 <
a
b + c
+
bc
a2
≤ 1 +
√
2
2
133. Posted by liyi
Dãy số an thỏa mãn
? a1 = 1
? anan+1 = n
Chứng minh rằng
1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
an
> 2
√
n− 1
134. Posted by liyi
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh rằng∣∣xyz − (x + y + z)∣∣ ≤ 2
135. Posted by manlio
Cho a, b, c llà các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
a2
a2 + 2bc
+
b2
b2 + 2ca
+
c2
c2 + 2ab
≥ 1
136. Posted by manlio
Giả sử a1, a2, . . . , a2n là tập hợp các số dương và b1, . . . , b2n là một hoán vị sắp thứ tự
b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ b2n
Chứng minh rằng
b1b2 · · · bn + bn+1bn+2 · · · b2n ≥ a1a2 · · · an + an+1an+2 · · · a2n
22
diendantoanhoc.net [VMF]
137. Posted by Gil
Cho a, b, c > 0. Đặt
x = a +
1
b
y = b +
1
c
z = c +
1
a
Chứng minh rằng
xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z)
138. Posted by manlio
Cho n > 1 là số nguyên dưong ,a1, a2, . . . , an là các số thực dương và b1, b2, . . . , bn là các
số thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng
1
a1
b1
+ a2
b2
+ · · ·+ an
bn
( a1
1− b1 +
a2
1− b2 + · · ·+
an
1− bn
)
≤ 1
a1 + a2 + · · ·+ an
139. Posted by manlio
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
(1− b)(1− bc)
b(1 + a)
+
(1− c)(1− ca)
c(1 + b)
+
(1− a)(1− ab)
a(1 + c)
≥ 0
140. Posted by Don ‘z[ ]rr[ ]z‘
Với m,n là các số nguyên dương đặt
a =
mm+1 + nn+1
mm + nn
Chứng minh rằng
am + an ≥ mm + nn
141. Posted by manlio
Với a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức
a− b
a + b
+
b− c
b + c
+
c− a
c + a
<
1
16
142. Posted by manlio
Cho các số thực dưong x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 1. Chứng minh rằng
(a)
x2 + y2 + z2 ≥ x5 + y5 + z5 + 2(x + y + z)x2y2z2
23
diendantoanhoc.net [VMF]
(b)
1
x2
+
1
y2
+
1
z2
≥ x + y + z + x
4 + y4 + z4
xyz
143. Posted by Gil
Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ x2 − xy + y2 ≤ 2. Chứng minh rằng
(a)
2
9
≤ x4 + y4 ≤ 8
(b)
x2n + y2n ≥ 2
3n
với n ≥ 3
144. Posted by manlio
Chứng minh rằng nếu (ca′ − ac′)2 < 4(ab′ − ba′)(c′b− b′c) thì ta có
b2 − ac > 0
145. Posted by manlio
Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
(a + b− c)a(b + c− a)b(a + c− b)c ≤ aabbcc
146. Posted by vasc
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3. Chứng minh rằng
x4y4 + y4z4 + z4x4 ≤ 3
147. Posted by RNecula
Cho a, b, c nằm trong đoạn [0, 1]. Tìm hàng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn
đúng
(1− a)(1− b)(1− c) ≤ k
(
1− a + b + c
3
)
148. Posted by manlio
Cho a1, a2, . . . , a2004 thỏa mãn
1
1 + a1
+
1
1 + a2
+ · · ·+ 1
1 + a2004
> 1
Chứng minh rằng
a1a2 · · · a2004 < 1
24
diendantoanhoc.net [VMF]
149. Posted by manlio
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương có tổng nhỏ bằng
1
2
. Chứng minh rằng
(1− x1)(1− x2) · · · (1− xn) ≥ 1
2
150. Posted by manlio
Cho các số thực a1, a2, . . . , a1980 nằm trong khoảng
[
1− 1
1980
, 1+ 1
1980
]
. Chứng minh rằng
(a1 + a2 + · · ·+ a1980)
( 1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
a1980
)
≤ 1980
4
19802 − 1
151. Posted by manlio
Cho 0 ≤ a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ b. Chứng minh rằng
(x1 + x2 + · · ·+ xn)
( 1
x1
+
1
x2
+ · · ·+ 1
xn
)
≤ n
2(a + b)2
4ab
152. Posted by manlio
Cho a, b, x, y, z là các sôd thưvj dương . Chứng minh rằng
x
ay + bz
+
y
az + bx
+
z
ax + by
≥ 3
a + b
153. Posted by manlio
Cho a1, a2, · · · , an là các số thực và đặt
bk =
a1 + a2 + · · ·+ ak
k
(k = 1, 2, . . . , n)
C = (a1 − b1) + (a2 − b2) + · · ·+ (an − bn)
D = (a1 − bn) + (a2 − bn−1) + · · ·+ (an − b1)
Chứng minh rằng C ≤ D ≤ 2C
154. Posted by manlio
Các số thực dương x, y thỏa mãn x3 + y3 = x− y. Chứng minh rằng
x2 + y2 < 1
155. Posted by malio
Cho các số 0 < x, y, z < 1. Chứng minh rằng
2(x3 + y3 + z3)− (x2y + y2z + z2x) ≤ 3
25
diendantoanhoc.net [VMF]
156. Posted by Mitzah
Tìm số thực dương n ≥ 2 sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c√
a +
√
b +
√
c ≥ (abc)1/n
157. Posted by manlio
Cho a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ A
và b ≤ b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn