Tuyển tập 300 bất đẳngthức hay từ các diễn đàn toán học trên thế giới
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Tuyển tập 300 bất đẳngthức hay từ các diễn đàn toán học trên thế giới, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tuyển tập 300 Bất Đẳng Thức Hay Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005 1 Từ Các Diễn Đàn Toán Học Trên Thế Giới diendantoanhoc.net [VMF] 1. Posted by StRyKeR Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng : xny + ynz + znx ≤ n n (n + 1)n+1 2. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng : (x1 + x2 + . . . + xn + 1) 2 ≥ 4(x21 + x22 + .... + x2n) 3. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng : 1 x1 + 2 x1 + x2 + . . . + n x1 + x2 + . . . + xn ≤ ( 1 x1 + 1 x2 + . . . + 1 xn ) 4. Posted by hxtung Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho k ≤ v v + w + w w + x + x x + y + y y + z + z z + v ≤ k′ với mọi số thực v, w, x, y, z 5. Posted by pcalin Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:√ (x + y + z) (1 x + 1 y + 1 z ) ≥ 1 + √ 1 + √ (x2 + y2 + z2) ( 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 ) 6. Posted by Mitzah Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC bc cosA + ca cosB + ab cosC a sinA + b sinB + c sinC ≥ 2r 7. Posted by georg Chứng minh rằng (1 2 )n−1 ≤ x2n + (1− x2)n ≤ 1 trong đó n > 1 2 diendantoanhoc.net [VMF] 8. Posted by Maverick Tam giác ABC thỏa mãn sinA sinB sinC = 1 3 . Chứng minh khi đó ta có : p3 + Sr + abc > 4R2p 9. Posted by Lagrangia Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + c = 2b và đặt A = ax + by + cz az + by + cx B = ay + bz + cx ax + bz + cy C = az + by + cx ay + bz + cx Chứng minh rằng maxA,B,C ≥ 1 10. Posted by vineet Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 : (2a + b + c)2 2a2 + (b + c)2 + (a + 2b + c)2 2b2 + (c + a)2 + (a + b + 2c)2 2c2 + (a + b)2 ≤ 8 11. Posted by treegoner Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:( tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ) ( √ cothA cothB + √ cothB cothC + √ cothC cothA) ≤ 3 12. Posted by DusT Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2R r ≤ E1 E2 trong đó E1 = 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC E2 = sinA + sinB + sinC 3 diendantoanhoc.net [VMF] 13. Posted by Reyes Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√ a3 a3 + (b + c)3 + √ b3 b3 + (c + a)3 + √ c3 c3 + (a + b)3 ≤ 1 14. Posted by Maverick Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4 √ abcd. Chứng minh rằng a + d2 b + c + a2 d + b + c2 a + d + b2 c ≥ 4(1 + E) 15. Posted by Alexander Khrabrov Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0 Chứng minh rằng n∑ k=1 akbk ≤ [ Pn i=1 bi ] +1∑ k=1 ak 16. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng cosA + cosB + cosC < sinA + sinB + sinC 17. Posted by galois Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức cos (A−B 2 ) + cos (B − C 2 ) + cos (C − A 2 ) ≥ sin (3A 2 ) + sin (3B 2 ) + sin (3C 2 ) 18. Posted by Valentin Vornicu Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng 2(a + b + c)− abc ≤ 10 19. Posted by Michael Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng a2 b2 + 1 + b2 c2 + 1 + c2 a2 + 1 ≥ 3 2 4 diendantoanhoc.net [VMF] 20. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong [0, 1 2 ]. Chứng minh rằng( 1 x1 − 1 )( 1 x1 − 1 ) . . . ( 1 x1 − 1 ) ≥ ( n x1 + x2 + . . . + xn − 1 )n 21. Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 1 a + b + 1 a + 2b + · · ·+ 1 a + nb < n√ a(a + b) 22. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 . . . xn thỏa mãn x1x2 . . . xn = 1 bất đẳng thức sau xảy ra 1 n− 1 + x1 + 1 n− 1 + x2 + · · ·+ 1 n− 1 + xn ≤ 1 23. Posted by Mitzah Chứng minh rằng √ 2n + 1− √ 2n + √ 2n− 1− · · · − √ 2 + 1 > √ 2n + 1 2 24. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng 1 (1− x)(1− y)(1− z) + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2 25. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng √ x + √ y + √ z ≥ xy + yz + zx 26. Posted by keira-khtn Chứng minh rằng 2x2 2x2 + (y + z)2 + 2y2 2y2 + (z + x)2 + 2z2 2z2 + (x + y)2 ≤ 1 5 diendantoanhoc.net [VMF] 27. Posted by georg Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng mambmc ≥ rarbrc 28. Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau xy + yx > 1 29. Posted by billzhao Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sinA + sinB + sinC 30. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng 5(x + y + z) + 18 ≥ 8(√xy +√yz +√zx) 31. Posted by Mitzah Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c a a + 2b + c + b b + 2c + a + c c + 2a + b ≤ 1 32. Posted by Lagrangia Cho x1, x2, x3, x4, x5 > 0. Chứng minh rằng (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) 2 ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1) 33. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2 Chứng minh rằng a3 + bc 2 + b3 + ca 3 + c3 + ab 5 ≥ √ abc( √ a + √ b + √ c) 3 6 diendantoanhoc.net [VMF] 34. Posted by hxtung Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt S = a + b + c + d T = ab + ac + ad + bc + bd + cd R = abc + abd + acd + bcd H = abcd Chứng minh rằng S 4 ≥ √ T 6 ≥ 3 √ R 4 ≥ 4 √ H 35. Posted by Maverick Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức a(hb + hc) + b(hc + ha) + c(ha + hb) ≥ 12S 36. Posted by Lagrangia Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng 3 √ S ≤ p + 4 √ abcd 37. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3 + b3 c + b3 + c3 a + c3 + a3 b ≥ 2 3 ( √ ab + √ bc + √ ca)2 38. Posted by hxtung Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn (x1) k + (x2) k + · · ·+ (xn)k ≥ 0 với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1|, . . . , |xn| Chứng minh rằng x1 = d và (x− x1)(x− x2) · · · (x− xn) ≤ xn − dn với mọi số thực x ≥ d 7 diendantoanhoc.net [VMF] 39. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng abc + bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd 27 40. Posted by keira-khtn Với x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng∑ min (xixj, yiyj) ≤ ∑ min (xiyj, xjyi) 41. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng√ a2 + 1 b + c + √ b2 + 1 c + a + √ c2 + 1 a + b ≥ 3 √ 17 2 42. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức√ (a2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ abc + 3 √ (a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc) 43. Posted by Myth Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng√ x + 3 √ y + 4 √ z ≥ 32√xyz 44. Posted by Maverick Cho a, b > 0.Đặt A = ( √ a + √ b)2 B = a + 3 √ a2b + 3 √ ab2 + b 4 C = a + √ ab + b 3 Chứng minh rằng A ≤ B ≤ C 8 diendantoanhoc.net [VMF] 45. Posted by hxtung Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng 3(x2 − x + 1)(y2 − y + 1)(z2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1 46. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c (a + b− c)2(b + c− a)2(c + a− b)2 ≥ (a2 + b2 − c2)(b2 + c2 − a2)(c2 + a2 − b2) 47. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC thỏa mãn  ≤ B̂ ≤ Ĉ ≤ pi 2 và B̂ ≥ pi 3 . Chứng minh rằng mb ≥ ha 48. Posted by alekk Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ a2b + b2c + c2a + 1 49. Posted by alekk Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ b + c( √ a + b + √ a + c) ≥ b + c 2 + √ ab + √ ac 50. Posted by Arne Chứng minh bất đẳng thức cosec pi 2 + cosec pi 4 + · · ·+ cosec pi 2n−1 ≤ cosec pi 2n luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1 sinx với x 6= kpi 51. Posted by Lagrangia Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng n− 1 2 (an + bn) + cn ≥ nabc ( a + b 2 )n−3 9 diendantoanhoc.net [VMF] 52. Posted by Maverick Cho các số thự dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng x1 x1x2 x2 · · ·xnxn ≥ (x1 + x2 + · · ·+ xn n )x1+x2+···+xn 53. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a c + b a + c b ≥ a + b + c 54. Posted by hxtung Cho dãy số x1, x2, . . . , xn thỏa mãn x1 + x2 + · · ·+ xk ≤ √ k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n ≥ 1 4 ( 1 + 1 2 + · · ·+ 1 n ) 55. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng a√ 1 + a2 + b√ 1 + b2 + c√ 1 + c2 ≤ 3 2 56. Posted by Maverick Cho các số dương a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn. Chứng minh rằng( a1 + a2 + · · ·+ an b1 + b2 + · · ·+ bn )b1+b2+···+bn ≥ ( a1 b1 )b1 (a2 b2 )b2 · · · ( an bn )bn 57. Posted by alekk Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x3 x2 + y2 + y3 y2 + z2 + z3 z2 + x2 ≥ x + y + z 2 10 diendantoanhoc.net [VMF] 58. Posted by Cho các số a1, a2, . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · ·+ an = 1 và b1, b2, . . . , bn là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức b21 + b22 a1 + · · ·+ b 2 n an−1 ≥ 2b1(b2 + · · ·+ bn) 59. Posted by manlio Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức( 1 + a21 a2 )( 1 + a22 a3 ) · · · ( 1 + an1 a1 ) ≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) 60. Posted by Moubinool Chứng minh rằng a3 x + b3 y + c3 z ≥ (a + b + c) 3 3(x + y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z 61. Posted by cezar lupu Cho hàm số f : R → R thỏa mãn f(x) + f(y) ≤ 2− |x− y| với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x. 62. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng ( 0, pi 2 ) sao cho tan x1 + tanx2 + · · ·+ tan xn ≤ n Chứng minh rằng sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ 1√ 2n 63. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab2 c3 + 1 + bc2 a3 + 1 + ca2 b3 ≥ 18 a3 + b3 + c3 11 diendantoanhoc.net [VMF] 64. Posted by Maverick Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 − b2 c + b2 − c2 a + c2 − a2 b ≥ 3a− 4b + c 65. Posted by Maverick Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng xx 2+2yzyy 2+2zxzz 2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx 66. Posted by Maverick Cho các số thực a1, a2, · · · , an nằm trong khoảng ( 0, 1 2 ) và thỏa a1 + a2 + · · ·+ an = 1 Chứng minh rằng ( 1 a1 − 1 )( 1 a2 − 1 ) · · · ( 1 an − 1 ) ≥ (n2 − 1)n 67. Posted by hxtung Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2, · · · , an ta có bất đẳng thức a1 a2 + a3 + a2 a3 + a4 + · · ·+ an a1 + a2 > n 4 68. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng a3 b + c + d + b3 a + c + d + c3 a + b + d + d3 a + b + c ≥ 1 3 69. Posted by hxtung Cho tam giác ABC. Đặt x = r R , y = a + b + c 2R Chứng minh rằng y ≥ √x( √ 6 + √ 2− x) 12 diendantoanhoc.net [VMF] 70. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng x3 (1 + y)(1 + z) + y3 (1 + z)(1 + x) + z3 (1 + x)(1 + y) ≥ 3 4 71. Posted by Arne Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng min (ai − aj) ≤ 1 10 72. Posted by Lagrangia Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng 1 sin A 2 + 1 sin B 2 + 1 sin C 2 ≥ 2 ( 1 cos A−B 4 + 1 cos B−C 4 + 1 cos C−A 4 ) 73. Posted by Maverick Cho các số thực dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng∑ xixj(x 2 i + x 2 j) ≤ ( ∑ xi) 4 8 74. Posted by hxtung Chứng minh rằng a21 + ( a1 + a2 2 )2 + · · ·+ ( a1 + a2 + · · ·+ an n )2 ≤ 4(a21 + a22 + · · ·+ a2n) 75. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a bc + b ca + c ab ≥ 2 a + 2 b − 2 c 76. Posted byorl Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, . . . , xk là k số nguyên dương có tổng bằng tích 13 diendantoanhoc.net [VMF] (a) Chứng minh rằng xn−11 + x n−1 2 + · · ·+ xn−1n ≥ kn (b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, . . . , xn để xảy ra đẳng thức xn−11 + x n−1 2 + · · ·+ xn−1n = kn 77. Posted by hxtung Cho các số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn là các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002]. Giả sử rằng a21 + a 2 2 + · · ·+ a2n = b21 + b22 + · · ·+ b2n Chứng minh rằng a31 b1 + a32 b2 + · · ·+ a 3 n bn ≤ 17 10 (a21 + a 2 2 + · · ·+ a2n) 78. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x x + √ (x + y)(x + z) + y y + √ y + x)(y + z) + z x + √ (z + x)(z + y) ≤ 1 79. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd ≥ 6 80. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng 9(a2 + bc)(b2 + ca)(c2 + ab) ≤ 8(a3 + b3 + c3)2 81. Posted by hxtung Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng (a) sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≥ sin 4 3 ( 1 + sin A 2 sin B 2 sin C 2 ) (b) cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 ≥ cos 4 √ 3 3 ( 1 + sin A 2 sin B 2 sin C 2 ) 14 diendantoanhoc.net [VMF] 82. Posted by orl Dãy số an được định nghĩa như sau ? a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 ? an+2 + an+1 = 2(an+1 + an) (a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương (b) Tìm công thức tường minh cho dãy 83. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2(a + b) 3a + 6b + 9c + 6(b + c) 5a + 2b + 3c + 3(c + a) 2a + 8b + 6c 84. Posted by Maverick Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn 1 a + 1 b + 1 c = 2 Chứng minh rằng √ a + b + c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1 85. Posted by Bottema Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng a + b + c + 1 abc ≤ 3 + 3 √ 9 86. Posted by manlio Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3 √ 3(d + 1) ≥ a + b + c. Chứng minh rằng (b + cd)2 a + (c + ad)2 b + (a + bd)2 c ≥ abc 87. Posted by bugzpodder Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng yx2 + zy2 + xz2 ≤ 4 27 15 diendantoanhoc.net [VMF] 88. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 ≤ (1− x2)2 + (1− y2)2 + (1− z2)2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z) với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1 89. Posted by Maverick Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng x(1− y2)(1− z2) + y(1− z2)(1− x2) + z(1− x2)(1− y2) ≤ 4 √ 3 9 90. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c 1 a(b + 1) + 1 b(c + 1) + 1 c(a + 1) ≤ 3 1 + abc) 91. Posted by Gil Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì y + z x + z + x y + x + y z ≥ 4 ( x y + z + y z + x + z x + y ) 92. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Chứng minh rằng x + y + z ≥ xy + yz + zx 93. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b + b c + c a ≥ 2ab b2 + ca + 2bc c2 + ab + 2ca a2 + bc 94. Posted by Vialli Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c a2 + bc b + c + b2 + ca c + a + c2 + ab a + b ≥ a + b + c 16 diendantoanhoc.net [VMF] 95. Posted by Maverick Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z 2(x3 + y3 + z3) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x + y + z)(xy + yz + zx) 96. Posted by Mitzah Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ 2 3 (ab + bc + ca)2 97. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 b(a + b) + 1 c(b + c) + 1 a(c + a) ≥ 27 2(a + b + c)2 98. Posted by manlio Cho a, b, c ≥ −1. Chứng minh rằng 1 + a2 1 + b + c2 + 1 + b2 1 + c + a2 + 1 + c2 1 + a + b2 ≥ 2 99. Posted by manlio Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh a2 + 2bc b2 + c2 + b2 + 2ca c2 + a2 + c2 + 2ab a2 + b2 ≥ 3 100. Posted by dreammath Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(a + √ ab + 3 √ abc) ≤ ( 8 + 2 √ ab a + b )( a · a + b 2 · a + b + c 3 ) 101. Posted by Maverick Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn. Giả sử rằng z1, z2, . . . , zn là một hoán vị của y1, y2, . . . , yn. Chứng minh rằng (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 ≤ (x1 − z1)2 + (x2 − z2)2 + · · ·+ (xn − zn)2 17 diendantoanhoc.net [VMF] 102. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 8abc 103. Posted by manlio Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng ( 1 an )( 1 bn )( 1 cn ) ≥ (3n − 1)3 104. Posted by bugzpodder Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1. Chứng minh rằng 1 (1 + a)(1 + b) + 1 (1 + b)(1 + c) + 1 (1 + c)(1 + a) ≤ 3 2 105. Posted by Myth Cho a, b, c, A,B,C > 0 và a + A = b + B = c + C = k. Chứng minh rằng aB + bC + cA ≤ k2 106. Posted by manlio Chứng minh rằng 1 1 a + 1 b + 1 1 c + 1 d ≤ 11 a+c + 1 b+d trong đó a, b, c, d > 0 107. Posted by manlio Cho ai(i = 1, 2, . . .) là các số thực dương. Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho pr = qs. Chứng minh rằng( 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 ar )p (a1 + a2 + · · ·+ as)q ≥ np+q 108. Posted by manlio Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng ( 0, 1 2 ) và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng√ a(1− 2a) + √ b(1− 2b) > √ c(1− 2c) 18 diendantoanhoc.net [VMF] 109. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương thỏa z = x + y. Chứng minh rằng (x2 + y2 + z2)3 ≥ 54x2y2z2 110. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤ 1 4 + 3xyz 111. Posted by Maverick Cho các số thực dương a1, a2, . . . , an có tổng nhỏ bằng 1. Chứng minh rằng nn+1a1a2 · · · an(1− a1 − a2 − ...− an) ≤ (1− a1)(1− a2) · · · (1− an)(a1 + a2 + · · ·+ an) 112. Posted by manlio Cho 0 < A1 < 1 và ak+1 = a 2 k với k = 1, 2, . . .. Chứng minh rằng (a1 − a2)a3 + (a2 − a3)a4 + · · ·+ (an − an+1)an+2 < 1 3 113. Posted by manlio Cho a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ a2n−1 ≥ 0 .Chứng minh rằng a21 − a22 + ... + a22n−1 ≥ (a1 − a2 + ... + a2n−1)2 114. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa abc = 2 √ 2. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8(a− 1)(b− 1)(c− 1) 115. Posted by manlio Cho ai, bi(i = 1, 2, . . .) là các số thực thỏa mãn a1 ≥ a1 + a2 2 ≥ · · · ≥ a1 + a2 + · · ·+ an n b1 ≥ b1 + b2 2 ≥ · · · ≥ b1 + b2 + · · ·+ bn n Chứng minh rằng n(a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn) ≥ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn) 19 diendantoanhoc.net [VMF] 116. Posted by manlio Chứng minh rằng với mọi số thực a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức (1− a1)(1− a2) · · · (1− an) + ( 1 + a1 + a2 + · · ·+ an n )n ≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) + ( 1− a1 + a2 + · · ·+ an n )n 117. Posted by darij grinberg Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a + b a + c + b + c b + a + c + a c + a ≤ a b + b c + c a 118. Posted by pcalin Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√ 2a a + b + √ 2b b + c + √ 2c c + a ≤ 3 119. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 1 + a + b + 1 1 + b + c + 1 1 + c + a ≤ 1 120. Posted by manlio Với ai, bi(i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương. Chứng minh rằng a1b1 a1 + b1 + a2b2 a2 + b2 + · · ·+ anbn an + bn ≤ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn) a1 + a2 + · · ·+ an + b1 + b2 + · · ·+ bn 121. Posted by Maverick Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + ab + b2)(b2 + bc + c2)(c2 + ca + a2) ≥ (ab + bc + ca)3 122. Posted by Arne Cho a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an. Chứng minh rằng a1a 4 2 + a2a 4 3 + · · ·+ ana41 ≥ a2a41 + a3a42 + · · ·+ a1a4n 20 diendantoanhoc.net [VMF] 123. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a 1 + bc + b 1 + ac + c 1 + ab ≥ 1 124. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực và x = a2 + b2 + c2 .Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ≤ x 3 2 + 3abc 125. Posted by manlio Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng(1 a + 1 b + 1 c )( 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ) ≥ 9 1 + abc 126. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab ≤ √ 2 127. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (a + b + c 2 )6 128. Posted by manlio Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng a4 + b4 (a + b)4 + √ ab a + b ≥ 5 8 129. Posted by manlio Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức ab c(c + a) + bc a(a + b) + ca b(b + c) ≥ a c + a + b a + b + c b + c 21 diendantoanhoc.net [VMF] 130. Posted by manlio Cho a1, .x2, x3, x4, x5, x6 là các số thực trong đoạn [ 0, 1 6 ] .Chứng minh rằng (x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x4)(x4 − x5)(x5 − x6)(x6 − x1) 131. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức 5(a2 + b2 + c2) ≤ 6(a3 + b3 + c3) + 1 132. Posted by manlio Cho a, b, c là độ dài 3 cạnhn của một tam giác. Chứng minh rằng 1 < a b + c + bc a2 ≤ 1 + √ 2 2 133. Posted by liyi Dãy số an thỏa mãn ? a1 = 1 ? anan+1 = n Chứng minh rằng 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 an > 2 √ n− 1 134. Posted by liyi Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh rằng∣∣xyz − (x + y + z)∣∣ ≤ 2 135. Posted by manlio Cho a, b, c llà các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức a2 a2 + 2bc + b2 b2 + 2ca + c2 c2 + 2ab ≥ 1 136. Posted by manlio Giả sử a1, a2, . . . , a2n là tập hợp các số dương và b1, . . . , b2n là một hoán vị sắp thứ tự b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ b2n Chứng minh rằng b1b2 · · · bn + bn+1bn+2 · · · b2n ≥ a1a2 · · · an + an+1an+2 · · · a2n 22 diendantoanhoc.net [VMF] 137. Posted by Gil Cho a, b, c > 0. Đặt x = a + 1 b y = b + 1 c z = c + 1 a Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z) 138. Posted by manlio Cho n > 1 là số nguyên dưong ,a1, a2, . . . , an là các số thực dương và b1, b2, . . . , bn là các số thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng 1 a1 b1 + a2 b2 + · · ·+ an bn ( a1 1− b1 + a2 1− b2 + · · ·+ an 1− bn ) ≤ 1 a1 + a2 + · · ·+ an 139. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (1− b)(1− bc) b(1 + a) + (1− c)(1− ca) c(1 + b) + (1− a)(1− ab) a(1 + c) ≥ 0 140. Posted by Don ‘z[ ]rr[ ]z‘ Với m,n là các số nguyên dương đặt a = mm+1 + nn+1 mm + nn Chứng minh rằng am + an ≥ mm + nn 141. Posted by manlio Với a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức a− b a + b + b− c b + c + c− a c + a < 1 16 142. Posted by manlio Cho các số thực dưong x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 1. Chứng minh rằng (a) x2 + y2 + z2 ≥ x5 + y5 + z5 + 2(x + y + z)x2y2z2 23 diendantoanhoc.net [VMF] (b) 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 ≥ x + y + z + x 4 + y4 + z4 xyz 143. Posted by Gil Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ x2 − xy + y2 ≤ 2. Chứng minh rằng (a) 2 9 ≤ x4 + y4 ≤ 8 (b) x2n + y2n ≥ 2 3n với n ≥ 3 144. Posted by manlio Chứng minh rằng nếu (ca′ − ac′)2 < 4(ab′ − ba′)(c′b− b′c) thì ta có b2 − ac > 0 145. Posted by manlio Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (a + b− c)a(b + c− a)b(a + c− b)c ≤ aabbcc 146. Posted by vasc Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3. Chứng minh rằng x4y4 + y4z4 + z4x4 ≤ 3 147. Posted by RNecula Cho a, b, c nằm trong đoạn [0, 1]. Tìm hàng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng (1− a)(1− b)(1− c) ≤ k ( 1− a + b + c 3 ) 148. Posted by manlio Cho a1, a2, . . . , a2004 thỏa mãn 1 1 + a1 + 1 1 + a2 + · · ·+ 1 1 + a2004 > 1 Chứng minh rằng a1a2 · · · a2004 < 1 24 diendantoanhoc.net [VMF] 149. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương có tổng nhỏ bằng 1 2 . Chứng minh rằng (1− x1)(1− x2) · · · (1− xn) ≥ 1 2 150. Posted by manlio Cho các số thực a1, a2, . . . , a1980 nằm trong khoảng [ 1− 1 1980 , 1+ 1 1980 ] . Chứng minh rằng (a1 + a2 + · · ·+ a1980) ( 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 a1980 ) ≤ 1980 4 19802 − 1 151. Posted by manlio Cho 0 ≤ a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ b. Chứng minh rằng (x1 + x2 + · · ·+ xn) ( 1 x1 + 1 x2 + · · ·+ 1 xn ) ≤ n 2(a + b)2 4ab 152. Posted by manlio Cho a, b, x, y, z là các sôd thưvj dương . Chứng minh rằng x ay + bz + y az + bx + z ax + by ≥ 3 a + b 153. Posted by manlio Cho a1, a2, · · · , an là các số thực và đặt bk = a1 + a2 + · · ·+ ak k (k = 1, 2, . . . , n) C = (a1 − b1) + (a2 − b2) + · · ·+ (an − bn) D = (a1 − bn) + (a2 − bn−1) + · · ·+ (an − b1) Chứng minh rằng C ≤ D ≤ 2C 154. Posted by manlio Các số thực dương x, y thỏa mãn x3 + y3 = x− y. Chứng minh rằng x2 + y2 < 1 155. Posted by malio Cho các số 0 < x, y, z < 1. Chứng minh rằng 2(x3 + y3 + z3)− (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 25 diendantoanhoc.net [VMF] 156. Posted by Mitzah Tìm số thực dương n ≥ 2 sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c√ a + √ b + √ c ≥ (abc)1/n 157. Posted by manlio Cho a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ A và b ≤ b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn
File đính kèm:
- bdt.pdf