Tuyển tập các bài luyện thi đại học qua các năm

Bảng công thức tích phân bất định :
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số liên tục trên đoạn có nguyên hàm là .
Giả sử là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn và có miền giá trị là thì ta có :
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)	b)	c)
Bài làm :
a) Đặt 
Đổi cận : 
Vậy : 
b) Đặt 	
Đổi cận : 
Vậy : 
c) Đặt 
Đổi cận : 
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : 
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 : 
	Cách làm :
	Nếu chẵn . Đặt 
	Nếu chẵn lẻ . Đặt (trường hợp còn lại thì ngược lại) 
Dạng 3 : 
	Cách làm :
	Đặt : 	
Dạng 4 : 	
	Cách làm :
	Đặt : 	
	Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5: 	
	Cách làm :
	Đặt : 
	Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP 
Tính tích phân :
a)	b)	c)
Bài làm :
a) Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
b) Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
c) Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Tính các tích phân sau :
a)	b)	 
Bài làm :
a) Đặt : 
	Đổi cận : 
Nếu 
 	Vậy : 
Nếu 
	Vậy : 
b) Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
 Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Tính các tích phân sau :
a)	b)	 
Bài làm :
a) Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
b)Đặt : 
Dùng đồng nhất thức ta được: 
Vậy : 
Bạn đọc tự làm :
a)	b) 	 c)
c) d) d)	
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ 
Dạng 1 : với ta có : 
	 Nếu ta có : 
Dạng 2 : trong đó : 
	* Giai đoạn 1 : ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức , sai khác một số :
	* Giai đoạn 2 :
	Tính 
	* Giai đoạn 3 :
	Tính có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt 
Dạng 3 : 
Ta có : 	
	Nếu : thì ta thực hiện phép chia trong đó phân số có 
	Nếu : ta có các qui tắc sau :
	*Qt 1: 
	Vdụ 1a : 
	Vdụ 1b : 
	*Qt 2': với 
	*Qt 3: 	
	Vdụ 1 : 
	Vdụ 2 : 	
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)	 b) 	
Bài làm :
a) 
b) 	
Tính các tích phân sau :
a)	 b) 	 
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được với 
b) Đặt : 
Do đó ta có hệ : 
Vậy : 	
Bạn đọc tự làm :
a)	 b) 	
c) d) 
HD:
a) b) 
c) d) 
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau .
	* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, .
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng : 
Bài làm :
Xét 
Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : (đpcm)	
Chứng minh rằng nếu là hàm lẻ và liên tục trên đoạn thì : 
Bài làm :
Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
V ậy : 
Thế vào (1) ta được : (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu là hàm chẳn và liên tục trên đoạn thì 
Cho và là hàm chẵn , liên tục và xác định trên .
Chứng minh rằng : 
Bài làm :
Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Thế vào (1) ta được : (đpcm)
Cho hàm số liên tục trên . Chứng minh rằng : 
Bài làm :
Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số liên tục trên và . Thì ta luôn có : 
Cho hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì .
Chứng minh rằng : 
Bài làm :
Vậy ta cần chứng minh 
Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Hay : (đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
	Nếu hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì , thì ta luôn có : 
Bạn đọc tự làm :
a)	 b) 	
c) d) 
e) f) 	
g) h) 
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên đoạn , thì ta có :
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
	*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt hay .
	*ưu tiên 2 : Đặt mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) b) 	c)
Bài làm :
a) Đặt : 
Vậy : 
b) Đặt : 
Vậy : 
Ta đi tính tích phân 
Đặt : 	
Vậy : 
Thế vào (1) ta được : 
c) Đặt : 
Vậy : 
Tính các tích phân sau :
a) b) 	 c)
Bài làm :
a) Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
Thế vào (1) ta được : 
b) Đặt : 
Vậy : 
c) Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
Thế vào (1) ta được : 
Bạn đọc tự làm :
a)	 b) 	
c) d) 
e) f) 	
g) h) 
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn , khử trị tuyệt đối
Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn 
Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn 	
Tính các tích phân sau : 
a) 	 b)
Bài làm :
 x 1 2 4 
a) 
 x-2 - 0 +
Vậy : 
b) Lập bảng xét dấu tương tự ta được 
. 
Tính với là tham số :
Bài làm :
 	 x a 
 	 x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu .
Nếu .
Nếu .
Tính : a) 
Bài làm :
a) Xét hiệu số : 
Vậy : 
b) Xét hiệu số : tương tự như trên ta có .
Bạn đọc tự làm :
a) b) c)
d) d) 
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : 
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel 
Dạng 1: ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
 Tới đây , đặt .
Dạng 2: 
Tới đây , đặt .
Dạng 3: 
	Tới đây, đặt .
Dạng 4 (dạng đặc biệt) : 
Một số cách đặt thường gặp :
 đặt 
 đặt 
 đặt 
 đặt 
 đặt 
Tính : 
Bài làm :
Đặt : 
Ta có 
Tính : a)	 b)
Bài làm :
a)
b)Đặt : 
Tìm các nguyên hàm sau 
 a) b)	 
Bài làm :
a)Đặt : 
Vậy :
b) 
Xét Đặt : 
Vậy : 
Tìm các nguyên hàm sau : 
 a) b) 	 
Bài làm : 
a)Đặt : 
Vậy : 
b)Đặt : 
Tính các tích phân sau :
 a) 	 b) 
Bài làm :
Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy :
b) Đặt : 
	Đổi cận : 	
Vậy : 
Bạn đọc tự làm :
a) b) c)
d) d) d) 
Bất đẳng thức tích phân :
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) b) c)
Bài làm: 
a)Áp dụng AM-GM ta có :
Vậy : (đpcm)
b) Xét hàm số : 
Đạo hàm : 
Ta có : 	
Vậy : 
Áp dụng Bunhicopxki ta có : 
Vậy : 
 (đpcm)	
Chứng minh rằng : 
Bài làm : 
Xét 
Đặt : 
	Đổi cận : 
Do đó : 	
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a) b) c) 
d*) Cho 2 hàm số liên tục : 
 Chứng minh rằng : 
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số liên tục trên đoạn . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là :
Được tính như sau :
2)Tính thể tích :
Nếu diện tích của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên tục trên đoạn thì thể tích vật thể được tính :
Nếu hàm số liên tục trên và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
 trong đó 	
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng : sau đó lập phân hoạch đều trên , chọn ta có 
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh thì độ dài đường cung nó được tính như sau :
	 với là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân .
 Hình1a hình1b 
 hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng : 
Do tính đối xứng của đồ thị nên :
Đặt : 
	Đổi cận : 
Vậy : 
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
Phương trình hoành độ giao điểm .
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 
Vậy diện tích là :
	Với : 
Thế vào ta được :
Vậy : khi 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét 
Xét : 
Với ta được :
Với ta được :
Ta lại có :
Vậy diện tích cần tính là :
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a) b) c) d) 
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓ 
 hình a hình b
 hình c hình d
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
Tính 
Bài làm :
Xét hàm số .
Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :
và chiều dài phân hoạch 
Chọn ta có 
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
Tính 
Bài làm :
Xét hàm số .
Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :
và chiều dài phân hoạch 
Chọn ta có