Tuyển tập các bài toán khó

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh
Chương trình “Gặp gỡ Toán học – Hè 2010”

Bài kiểm tra số 1
Ngày thi: 17/8/2010.
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	P = a + ab + 2abc
Bài 2. Cho dãy số xn xác định bởi x1 = 1, xn+1 = xn + 1/xn với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng 	
Tìm 
Bài 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. P là một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn. K là hình chiếu của P lên AB và R đối xứng với P qua AB. H là một điểm bất kỳ trên AB, RH cắt (O) lần nữa tại Q. Gọi (I, r) là đường tròn tiếp xúc với HP, HQ và (O). Chứng minh hệ thức
	 
Bài 4. Cho là một số nguyên tố lẻ. Xét dãy xác định bởi: với , ( là các số nguyên dương cho trước không chia hết cho ).
CMR : dãy số có số dư tuần hoàn theo module .
Trong trường hợp chia hết cho . Hãy tìm chu kỳ cơ sở của dãy.
Bài 5. Với 5 số thực a1, a2, a3, a4, a5 ta lập các tổng ai + aj với 1 ≤ i < j ≤ 5. Gọi k là số các giá trị phân biệt trong các tổng được lập.
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của k.
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, m ≤ n ≤ M, tồn tại các số thực a1, a2, a3, a4, a5 sao cho giá trị k tương ứng của bộ số này bằng n.