Tuyển tập các bài toán thể tích hình không gian

dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
1
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN THỂ TÍCH HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 01: Cho laêng truï tö ù giaùc ñeàu ABCD.A/B/C/D/ coù chieàu cao baèng a vaø goùc cuûa hai maët beân keà nhau phaùt
xuaát tö ø moät ñænh laø .
a) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích laêng truï .
b) Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa BB/ vaø DD/ , tính goùc cuûa mp(AMN) vaø maët ñaùy cuûa laêng truï .
Bài 02: Cho laêng truï xieân ABC.A/B/C/ coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu taâm O vaø hình chieáu cuûa C/ treân ñaùy
(ABC) truøng vôùi O. Cho khoaûng caùch tö ø O ñeán CC/ laø a vaø soá ño nhò dieän caïnh CC/ laø 1200.
a) Chö ùng minh maët beân ABB/A/ laø hình chữ nhaät.
b) Tính theå tích laêng truï .
c) Tính goùc cuûa maët beân BCC/B/ vaø maët ñaùy ABC.
Bài 03: Cho hình hoäp ABCDA/B/C/D/ coù caùc maët ñeàu laø hình thoi caïnh a. Ba caïnh xuaát phaùt tö ø ñænh A taïo
vôùi nhau caùc goùc nhoïn baèng nhau vaø baèng  .
a) Chö ùng minh hình chieáu H cuûa A/ treân (ABCD) naèm treân ñö ôøng cheùo AC.
b) Tính theå tích hình hoäp .
c) Tính goùc cuûa ñö ôøng cheùo CA/ vaø maët ñaùy cuûa hình hoäp .
Bài 04: Cho hình laäp phö ông ABCD.A/B/C/D/ coù ñoaïn noái hai taâm cuûa hai maët beân keà nhau laø 2
2
a
a) Tính theå tích hình laäp phö ông .
b) Laáy ñieåm M treân BC. Maët phaúng MB/D caét A/D/ taïi N. Chö ùng minh MN C/D.
c) Tính goùc cuûa hai maët phaúng (A/BD) vôùi maët phẳng (ABCD).
Bài 05: Cho hình laäp phö ông ABCD.A/B/C/D/ coù ñö ôøng cheùo baèng a
a) Dö ïng vaø tính ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñö ôøng thaúng AC vaø DC/.
b) Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giác A/C/ D/ . Maët phaúng (GCA) caét hình laäp phö ông theo hình gì. Tính dieän
tích cuûa hình naøy.
c) Ñieåm M lö u ñoäng treân BC. Tìm quỹ tích hình chieáu cuûa A/ leân DM.
Bài 06: Cho laäp phö ông ABCD.A/B/C/D/ caïnh a. Goïi N laø ñieåm giữa cuûa BC.
a) Tính goùc vaø ñoaïn vuoâng goùc chung giö õa hai ñö ôøng thaúng AN vaø BC/ .
b) Ñieåm M lö u ñoäng treân AA/ . Xaùc ñònh giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích thieát dieän giö õa maët phaúng MBD/ vaø
hình laäp phö ông .
Bài 07: Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SH = a vaø goùc ôû ñaùy cuûa maët beân laø .
a) Tính dieân tích xung quanh vaø theå tích hình choùp naøy theo a vaø .
b) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABCD.
c) Ñieåm M lö u ñoäng treân SC. Tìm quỹ tích hình chieáu cuûa S xuoáng maët phaúng MAB.
Bài 08: Cho hình choùp tam giaùc ñeàu SABC caïnh ñaùy a vaø goùc giö õa hai caïnh beân keà nhau laø .
a) Tính theå tích hình choùp .
b) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn noäi tieáp trong hình choùp .
c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän giö õa hình choùp vaø maët phaúng qua AB vaø vuoâng goùc vôùi SC.
Bài 09: Ñaùy cuûa hình choùp laø moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn laø a vaø moät goùc nhoïn 600. Maët beân qua
caïnh huyeàn vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët coøn laïi hôïp vôùi ñaùy goùc  .
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
2
a) Tính theå tích hình choùp naøy .
b) Moät maët phaúng qua caïnh ñaùy vaø caét caïnh beân ñoái dieän thaønh hai ñoaïn tæ leä vôùi 2 vaø 3 . Tìm tæ soá theå tích
cuûa hai phaàn cuûa hình choùp do maët phaúng aáy taïo ra .
Bài 10: Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC caân taïi A coù trung tuyeán AD = a vaø hai maët beân SAB
vaø SAC vuoâng goùc vôùi ñaùy. Caïnh beân SB hôïp vôùi ñaùy moät goùc vaø hôïp vôùi maët phaúng SAD goùc  .
a) Tính theå tích hình choùp .
b) Tính khoaûng caùch tö ø A ñeán maët (SBC).
Bài 11: Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABCvuoâng taïi A vaø goùc C = 600 , baùn kính ñö ôøng troøn noäi
tieáp laø a. Ba maët beân cuûa hình choùp ñeàu hôïp vôùi ñaùy goùc  .
a) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh cuûa hình choùp .
b) Tính dieän tích thieát dieän qua caïnh beân SA vaø ñö ôøng cao cuûa hình choùp .
Bài 12: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình thoi coù goùc nhoïn A =  . Hai maët beân (SAB) vaø (SAD) vuoâng
goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi hôïp vôùi ñaùy goùc  . Cho SA = a.
a) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình choùp .
b) Tính goùc cuûa SB vaø maët phaúng (SAC).
Bài 13: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a treân ñö ôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa tam giaùc taïi B vaø C
laàn lö ôït laáy ñieåm D lö u ñoäng vaø E coá ñònh sao cho CE = a 2 . Ñaët BD = x.
a) Tính x ñeå tam giaùc DAE vuoâng taïi D. Trong trö ôøng hôïp naøy tính goùc cuûa hai maët phaúng (DAE) vaø
(ABC).
b) Giaû sö û x = 2
2
a . Tính theå tích hình choùp ABCED.
c) Keû CH vuoâng goùc vôùi AD . Tìm quyõ tích cuûa H khi x bieán thieân.
Bài 14: Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu SABCD coù caïnh ñaùy laø a. Maët phaúng qua AB vaø trung ñieåm M cuûa SC
hôïp vôùi ñaùy moät goùc  .
a) Tính theå tích cuûa hình choùp.
b) Goïi I vaø J laø ñieåm giö õa cuûa AB vaø BC. Maët phaúng qua IJ vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy chia hình choùp thaønh hai
phaàn. Tính theå tích cuûa hai phaàn naøy .
Bài 15: Laáy ñieåm C lö u ñoäng treân nö ûa ñö ôøng troøn ñö ôøng kính AB = 2R vaø H laø hình chieáu cuûa C leân AB.
Goïi I laø trung ñieåm cuûa CH. Treân nö ûa ñö ôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa nö ûa ñö ôøng troøn taïi I ta laáy
ñieåm D sao cho goùc ADB baèng 900 . Ñaët AH = x.
a) Tính theå tích cuûa tö ù dieän DABC theo R vaøx . Tính x ñeå theå tích naøy lôùn nhaát .
b) Xaùc ñònh taâm I vaø tính hình caàu ngoaïi tieáp tö ù dieän AIBD.
c) Chö ùng minh khi C lö u ñoäng treân nö ûa ñö ôøng troøn thì taâm hình caàu ôû caâu b chaïy treân ñö ôøng thaúng coá ñònh.
Bài 16: Ñaùy cuûa hình choùp laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a. Maët beân qua caïnh huyeàn
vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët beân coøn laïi taïo vôùi ñaùy goùc 450.
 a) Chö ùng minh raèng chaân ñö ôøng cao hình choùp truøng vôùi trung ñieåm caïnh huyeàn.
 b) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn hình choùp.
Bài 17: Cho hình laäp phö ông ABCD.A/B/C/D/. Goïi O laø giao ñieåm caùc ñö ôøng cheùo cuûa ABCD. Bieát OA/ = a.
a) Tính theå tích hình choùp A/.ABD, tö ø ñoù suy ra khoaûng caùch tö ø ñænh A ñeán maët phaúng A/BD.
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
3
b) Chö ùng minh raèng AC/ vuoâng goùc vôùi maët phaúng A/BD.
Bài 18: Moät hình choùp tö ù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a vaø goùc ASB =  .
a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp .
b) Chö ùng minh raèng ñö ôøng cao hình choùp baèng 2cot 1
2 2
a   .
c) Goïi O laø giao ñieåm caùc ñö ôøng cheùo cuûa ñaùy ABCD. Xaùc ñònh goùc  ñeå maët caàu taâm O ñi qua naêm ñieåm
S, A, B, C, D.
Bài 19: Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu coù caïnh beân taïo vôùi ñaùy goùc 600 vaø caïnh ñaùy baèng a.
a) Tính theå tích hình choùp.
b) Tính goùc do maët beân taïo vôùi ñaùy.
c) Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø tính baùn kính maët caàu ñoù .
Bài 20: Moät laêng truï ABC.A/B/C/ coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, caïnh beân BB/ = a, chaân ñö ôøng vuoâng goùc
haï tö ø B/ xuoáng ñaùy ABC truøng vôùi trung ñieåm I cuûa caïnh AC .
a) Tính goùc giö õa caïnh beân vaø ñaùy vaø tính theå tích cuûa laêng truï .
b) Chö ùng minh raèng maët beân AA/C/C laø hình chö õ nhaät.
Bài 21: Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng ( α) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón
một góc 600, đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB
có số đo bằng 600. Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của
khối chóp A.BCNM.
Bài 22: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với, , AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc
với mặt đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 23: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ
diện OO'AB.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, ABC = BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a 2 , SA
 (ABCD). H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Bài 25: Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt
phẳng (SBC).
Bài 26: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, góc SAB = α. Tính thể tích hình chóp
S.ABCD theo a và α.
Bài 28: Hình chóp S.ABCcó SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Cho BSC = 450, gọi
ASB = α; tìm α để góc nhị diện (SC) bằng 600.
Bài 29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi O1 là tâm của hình vuông A1B1C1D1. Tính thể tích
khối tứ diện A1B1OD.
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
4
Bài 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên ' = a 3AA . Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB và A'B'.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB').
Bài 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 600.
Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.
a. Tính độ dài đoạn AC’.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bài 32: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 600,
BC = a, SA = 3a . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 33: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc ABC = 600, BC = a, SB vuông góc với
mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc 450. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 34: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tương
ứng tại các điểm M, N, P, Q.
a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SD = a.
a. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD)
Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao
cho: 2SM SN
BM DN
  .
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38: Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB = a, (a > 0) là đoạn vuông góc
chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B
kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác
BHK biết rằng AC = a, BC = 3a và 2SB a .
Bài 40: Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song
song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm
M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 1 1 1
CMAB CMBD CMAD
P
V V V
  
Bài 41: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có các cạnh bằng 2 6 . Điểm
M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN.
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
5
Bài 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng 2a .
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 43: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệu
K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của
CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 44: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = 6a . Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC).
Bài 45: Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để: P = MA + MB + MC + MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA1 = a. Tính cosin của góc
giữa 2 mặt phẳng (ABC1) và (BCA1).
Bài 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC).
Bài 48: Cho hình thoi ABCD có tâm O, cạnh a và AC = a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) với SH = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 49: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a. Với M là một điểm trên
cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC'
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a; AD = 2a. Tam giác SAB vuông
cân tại A . M điểm trên cạnh AD (M khác A và B). Mặt phẳng (α) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt
BC; SC; SD lần lượt tại N; P; Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bài 51: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD .
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
Bài 52: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA1 = 2a . Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AB và A1C1.
a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mp (P) qua MN và vuông góc với mp(BCC1B1). Thiết diện là hình gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 53: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M; N lần lượt là trung điểm SA và
BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
6
Bài 54: Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
Bài 55: Cho tứ diện ABCD có = 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1AC .
a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông .
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC = 2a.
Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho = = 2SM SN
SB SD
. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .Tính thể tích
hình chóp S.MANP theo a
Bài 57: Cho lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A’C, D]
Bài 58: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 600. Gọi M
là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông .
Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a.
Bài 60: Cho hình chóp S.ABC.Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 600,
BC = a, SA = a 3 . Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 61: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c.
a. Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c.
b. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện D'DMN theo a, b, c.
Bài 62: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
b. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bài 63: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a.
a. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD'.
b. Chứng minh rằng đường chéo BD' vuông góc với mặt phẳng (DA'C').
Bài 64: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'; với AA' = a, AB = b, AC = c. Tính thể tích của tứ diện
ACB'D' theo a, b, c.
Bài 65: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C.
 a. Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c.
 b. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi.
 Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Bài 66: Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm
trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng
hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 67: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt
phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'.
a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) .
b. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa
diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia.
Bài 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng 2a .
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
7
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
b. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng (MEF).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông aACAB  , AA1 = a 2 . Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1
và BC1. Tính
11BCMAV .
Bài 70: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD = 600. Biết
' 'AB BD  . Tính thể tích lăng trụ trên theo a.
Bài 71: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD ( M 
CB, N  CD ), và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN)
tạo với nhau một góc 450.
Bài 72: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'.
b. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM:MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp (AB'C).
c. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 73: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao 3 =
4
h a ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy
là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên
của hình chóp).
b. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao
cho 3BN
SN
BM
SM  .
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 75: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = góc AOC = 600, góc BOC = 900. Tính độ dài
các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Bài 76: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 600,
BC = a, SA = 3a . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 77: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = α và ba cạnh
bên nghiêng đều trên đáy một góc nhọn β. Hãy tính thể tích hình chóp đã cho theo a , α, β.
Bài 78: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông ABCD cạnh bên AA' = h. Tính thể tích tứ
diện BDD'C'.
Bài 79: Cho hình chóp S.ABC có (ABC)SA  , tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = a , BC = 2a. Gọi M ,
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a.
Bài 80: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp theo a, b, c.
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
8
Bài 81: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo
AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 82: Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện
qua trục là một tam giác đều.
Bài 83: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo
AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 84: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2.
a/. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ).
b/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho .
Bài 85: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600. Chiều cao SO
của hình chóp bằng 3
2
a , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD,
( ) là mặt phẳng đi qua BM, song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM.
Bài 86: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a . Cho M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA
và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
a/. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC.
b/. Tính thể tích hình chóp SBMN.
Bài 87: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA = 2a , AS 
mp(ABC). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích
của khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 88: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng lập với
đáy một góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a.
a/. Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt (ABC) là trung điểm của BC.
b/. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a ?
Bài 89: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy;
cạnh bên SC hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên (SAB) một góc  .
a/. Chứng minh
2
2
2 2os sin
aSC
c    .
b/. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a,  và  .
Bài 90: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy là  . Gọi M là
trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. Tính theo a và  thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài 91: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA  mp(ABCD). Mặt phẳng ( )
qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
SM
SC
.
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều cao của hình
chóp. M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( 0 < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa
diện ABCDMN theo a, b và x?
Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a. Gọi E là trung
điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số
thể tích của hai phần đó?
dung_toan78@yahoo.com tieumai03/www.maths.vn
9
Bài 94: Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho 1
2
SM
MA
 và 2SN
NB
 . Mặt
phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 95: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D’ lần lượt là trung điểm của SB,