Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp 7

 Phßng gi¸o dôc vµ dµo t¹o Nam §µn 
	Tr­êng THCS H­ng Th¸i NghÜa 


 


TuyÓn tËp c¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 7




















 

	



Mét sè kinh nghiÖm nhá vÒ t×m chö sè tËn cïng vµ øng dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cña c¸c líp 6,7 


I. phÇn më ®Çu : T×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa 
	®©y lµ nh÷ng bµi to¸n t­¬ng ®èi phøc t¹p cña häc sinh c¸c líp 6,7 nh­ng l¹i lµ nh÷ng bµi to¸n hÕt søc lÝ thó , nã t¹o cho häc sinh lßng say mª kh¸m ph¸ tõ ®ã c¸c em ngµy cµng yeu m«n to¸n h¬n . cã nh÷ng bµi cã sè mñ rÊt lín t­ëng nh­ lµ m×nh kh«ng thÓ gi·i ®­îc . Nh­ng nhê ph¸t hiÖn vµ n¾m b¾t ®­îc qui luËt , vËn dungj qui luËt ®ã c¸c em tù gi·i ®­îc vµ tù nhiªn thÊy m×nh lµm ®­îc mét viÖc v« cïng lín lao . tõ ®ã gieo vµo trÝ tuÖ c¸c em kh¶ n¨ng kh¸m ph¸ , kh¶ n¨ng tù nghiªn cøu 
 Tuy lµ khã nh­ng chóng ta h­íng dÈn c¸c em mét c¸ch tõ tõ cã hÖ thèng ,l« rÝch vµ chÆt chÎ th× c¸c em vÈn tiÕp fhu tèt . ®©y lµ mét kinh nghiÖm nhá mµ t«i muèn tr×nh bµy vµ trao ®æi cïng c¸c b¹n 
II. Néi dung cô thÓ : 

LÝ thuyÕt vÒ t×m chö sè tËn cïng : phÇn nµy rÊt quan träng , cÇn lÝ gi¶i cho häc sinh mét c¸ch kØ l­ëng ,®Çy ®ñ 
 n = mét sè cã tËn cïng lµ 0 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 0
 n = mét sè cã tËn cïng lµ 1 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 1
 n = mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 5 
 n = mét sè cã tËn cïng lµ 6 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 6
 *a = víi a ch¼n : mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi nh©n víi mmét sè ch¾n sÎ cã chö sè tËn cïng lµ 0 
 *a = víi a lÎ : mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi nh©n víi mét sè lÎ sÎ cã tËn cïng lµ 5 
 Qua c¸c c«ng thøc trªn ta cã quy t¾c sau : Mét sè t­n nhiªn cã chö sè tËn cïng lµ : (0,1,5,6) khi n©ng lªn luû thõa víi sè mñ tù nhiªn th× cã chö sè tù nhiªn kh«ng thay ®æi 
 KÕt luËn trªn lµ ch×a kho¸ ®Ó gi¶ c¸c bµi to¸n vÒ t×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa 	 
C¸c bµi to¸n c¬ b¶n .
Bµi to¸n 1 : T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau 
 a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100
Ta nhËn thÊy c¸c luû thõa 5100 , 6100 thuéc vÒ d¹ng c¬ b¶n ®¶ tr×nh bµy ë trªn 
nay cßn l¹i c¸c luû thõa mµ c¬ sè lµ 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 
 Muèn gi·i c¸c bµi to¸n nµy th× ta phai ®­a chóng vÒ mét trong 4 d¹ng c¬ b¶n trªn . thùc chÊt chØ cã ®­a vÒ hai d¹ng c¬ b¶n ®ã lµ : n = , n = 
	
 gi¶i bµi to¸n 1 

a) 2100 = 24*25 = (4)25 = (16)25 = 
b) 3100 = 34*25 = (4)25 = (81)25 = 
c) 4100 = 44*50 =(2)50 = (16)50 = 
d) 7100 = 74*25 =(4)25 = 240125 =
e) 8100 = 84*25 = (4)25 = 409625 = 
f) 9100 = 92*50 = (2)50 = 8150 = 
 Bµi to¸n 2 : t×m chö sè tËn cïng cña c¸c sè sau : 
 a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101
	Gi¶i bµi to¸n 2
_ nhËn xÐt ®Çu tiªn .
sè mñ ( 101 kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 4 ) 
_ Ta viÕt 101 = 4.25 +1 
 101 = 2 .50 +1 
_ ¸p dông c«ng thøc am+n = am.an
ta cã : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 . 2 = .2 = 
b) 3101 = 3100+1 = 3100 . 3 = .3 = 
 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 . 4 = . 4 = 
 d) 7101 = 7100+1 = 7100 . 7 = .7 = 
 e) 8101 = 8100+1 = 8100 . 8 = .8 = 
 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 . 9 = . 9 = 

3. Mét sè bµi to¸n phøc t¹p h¬n
 Bµi to¸n 3: T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau :

a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; 
	f) 25691997 

 Bµi gi¶i 
NhËn xÐt quan träng : Thùc chÊt chö sè tËn cïng cña luû thõa bËc n cña métsè tù nhiªn chØ phô thuéc vµo chö sè tËn cïng cña sè tù nhiªn ®ã mµ th«i (c¬ sè) . Nh­ vËy bµi to¸ 3 thùc chÊt lµ bµi to¸n 2 
 a) 12921997 = 12924. 499 +1= (12924)499 .1292 = 
 b) 33331997 = 33334. 499 +1 =(33334)499 +1 . 3333 = 499 .3333 =
 c) 12341997 = 12344 .499 +1 = (12344)499 . 1234 = ()499 . 1234 =
 d) 12371997 = 12374 .499 +1 = (12374) 499. 1237 = 499 .1237 =

4. vËn dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt ¸p dông dÊu hiÖu chia hÕt 
Ta dÓ dµng nhËn thÊy : NÕu hai sè cã chö sè tËn cïng gièng nhau th× khi thùc hiÖn phÐp trõ sÎ cã chö sè tËn cïng lµ 0 ta sÎ cã c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cho { 2,5,10 } . NÕu mét sè cã tËn cïng lµ 1 vµ mét sè cã tËn cïng lµ 3 ch¼ng h¹n ta sÎ cã bµi to¸n chøng minh tæng hai sè ®ã chia hÕt cho 2 (v× chö sè tËn cïng cña tæng lµ 4)
C¸c bµi to¸n cô thÓ : H¶y chøng minh 
12921997 + 33331997 5 
 Theo bµi to¸n trªn ta cã 
 
 	12921997 = 
	 33331997 = 
nh­ vËy tæng cña hai sè nµy sÎ cã tËn cïng lµ 5 12921997 + 33331997 5 

Chøng minh 16281997 + 12921997 10 
Ap dông qui t¾c t×m chö sè tËn cïng ta cã 

	16281997 sÎ cã tËn cïng lµ 

	12921997 SÎ Cã tËn cïng lµ 

 	Nh­ vËy 16281997 + 12921997 10 (v× chö sè tËn cïng cña tæng nµy sÎ lµ 0)
 Ta cñng cã thÓ vËn dung hiÖu cña hai sè hoÆc tÝch cña hai sè ®Ó ra c¸c bµi to¸n chøng minh t­¬ng tù 
III. KÕt luËn : Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bµy phÇn c¬ b¶n cña vÊn ®Ò t×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa vµ nh÷ng øng dông cña nã trong bµi to¸n chøng minh chia hÕt trong tËp hîp sè tù nhiªn 
Trong nh÷ng n¨m häc qua t«i ®· trùc tiÕp h­íng dÈn cho mét sè häc sinh c¸c em tá ra rÊt thÝch thó vµ xem ®ã nh­ lµ nh÷ng kh¸m ph¸ míi cña chÝnh c¸c em víi c¸ch ®Æt vÊn ®Ò nh­ trªn c¸c em ®· tù ra ®Ò ®­îc vµ cã nhiÒu bµi rÊt hay ...
 C¸ch ®Æt vÊn ®Ò cung nh­ tr×nh bµy néi ch¾c sÎ kh«ng tr¸nh khái phÇn sai sãt mong c¸c ®ång nghiÖp gãp ý ch©n thµnh 


	
®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn
M«n To¸n Líp 7
N¨m häc 2006-2007
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng:
 a) ; b) 27 < 3n < 243
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
 
Bµi 3. a) T×m x biÕt: 
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC
§¸p ¸n to¸n 7

Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1
 b) 27 33 n = 4
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)
 
 = 
 = 
Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) T×m x biÕt: 
 Ta cã: x + 2 0 => x - 2.
 + NÕu x - th× => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
 + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
 VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007

Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi)
 Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã:
 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå)
 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê)
 Do ®ã: 
 => x = (giê)
 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi)
D
 B
A
 H

 I 
 F
 E
 M
 §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
 ABM = DCM v×:
 AM = DM (gt), MB = MC (gt),
 = DMC (®®) => BAM = CDM
 =>FB // ID => IDAC 
 Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) 
 IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
 Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) 
 => IC = AC = AF (3) 
 vµ E FA = 1v (4) 
 MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), 
 BAH = ACB ( cïng phô ABC) 
 => EAF = ACB (5)
 Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB 
 =>AE = BC
BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp.
Hai nền nhà hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau. Nền nhà thứ nhất có chiều rộng là 4 mét, nền nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét. Để lát hết nền nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông. Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nhà thứ hai?
Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân bố ở các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi.
Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là 2 máy và năng suất các máy như nhau.
Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ?
Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 59s.

BÀI TẬP HÌNH HỌC

Cho 2 góc và kề bù. Ot và Ot’ lần lượt là phân giác của hai góc và từ điểm M bất kỳ trên Ot hạ MH Ox ( HOx ). Trên tia Oz lấy điểm N sao cho ON = MH. Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K. Tính số đo góc KM^O ?
Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE.
Cho tam giác ABC tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh rằng : DE = BD + EC.
Cho tam giác ABD có =. Kẻ AH vuông góc với BD (H BD ) trên tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh rằng : FH = FA = FD.
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối của tia CA lấy điểm D bất kỳ .
Chứng minh rằng : = 2 + .
Giả sử = 300, = 900, hãy tính góc CBD.

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ

Tìm x, y, biết :
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 0
 + = 0
Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4 100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viên, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV là thành tích của cả đội, thời gian chạy của đội nào càng ít thì thành tích càng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển là ? giây. Biết rằng vịt chạy hết 80 giây?
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn :
QuËn t©n phó - tphcm
Năm học 2003 – 2004
(90 phút)

Bài 1 (3đ):
1, Tính: P = 

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất.

Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 

Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB

thÞ x· hµ ®«ng – hµ t©y
Năm học 2003 – 2004
(120 phút)

Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x = 
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?

Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết:


Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = có giá trị lớn nhất
2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c

Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tính góc ADB ?


Tp hcm
Năm học 2004 – 2005
(90 phút)

Bài 1 (3đ): Tính:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 

Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:


Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?

Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 

Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100

Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
 quÕ vâ – bn
Năm 2007 – 2008:
(120 phút)

Bài 1 (5đ): 
1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729
 
 2, Tính :
 A = + 

Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 

Bài 3 (4đ):
 Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?

Câu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.

Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.









§Ò sè 5

Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Cho 
 	 
Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?
b) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
C©u 2: (2 ®iÓm)
 Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ?
C©u 3: 
a) Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.
 	Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng 
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB.
a) Chøng minh r»ng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m ch÷ sè tËn cïng cña 




§Ò sè 6
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh 
b) Cho 
Chøng minh r»ng .
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu th× 
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
b) T×m x biÕt: 
C©u 3: (2®iÓm)
a) Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn.
Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ?

C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng:
a) DM = EN
b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN.
c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC.

C©u 5: (1 ®iÓm) 
T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt.

§Ò sè 7

C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh:
A = 
B = 
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: 

C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .

C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12.
b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. 
Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ?

C©u 4: (3 ®iÓm) 
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. 
Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.

C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 







§Ò sè 8

Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã:
A= 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho lµ sè nguyªn tè.

Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
a) T×m sè nguyªn n sao cho 
b) BiÕt 
Chøng minh r»ng: 

Bµi 3: (2 ®iÓm)
An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. 
+ B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i.
+ An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. 
TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi.

Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF .
a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña DADB.
b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED.

Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:






§Ò sè 8

Bµi 1: (2 ®iÓm)
TÝnh: 

Bµi 2: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 77.
b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) Chøng minh r»ng: P(x) cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn.

Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7.

Bµi 4: (2 ®iÓm)
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.

Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: (a, b Î Z )







§Ò sè 10

Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.
b) TÝnh 

Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho 
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
 	

Bµi 3: (2 ®iÓm) 
 Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng.

Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH ^ BC (H Î BC). VÏ AE ^ AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N Î AH). EF c¾t AH ë O. 
Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF.

Bµi 5: (1 ®iÓm)
So s¸nh: vµ 






§Ò sè 11

C©u 1: (2 ®iÓm)
TÝnh : ; 	

C©u 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt: (x, y, z )

C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã:
 	 chia hÕt cho 10.
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 

C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.

C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng:
 ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.





§Ò sè 12

C©u 1: (2 ®iÓm) 
TÝnh:



C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 
1) T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b) 
2) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng.

C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt:
 	; vµ 
b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn.

C©u 4: (2,5 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH).
 a) Chøng minh: EM + HC = NH.
 b) Chøng minh: EN // FM.

C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè.


§Ò sè 13

C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh:



C©u 2: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi 
b) T×m x nguyªn ®Ó chia hÕt cho 

C©u 3: ( 2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt vµ 
b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.

C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ^ EF.

C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng tá r»ng: 


§Ò sè 14

C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
b) TÝnh tæng: 

C©u 2: (2 ®iÓm)
1) T×m x biÕt: 
2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. 
Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ?

C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ®a thøc (a, b, c nguyªn). 
 	 CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3.
b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).

C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 

C©u 5: (1 ®iÓm) 
§éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. 
Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh­ trªn tham gia.


§Ò sè 15

C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 

b) Chøng tá r»ng:

C©u 2: (2 ®iÓm)
Cho ph©n sè: (x Î Z)
a) T×m x Î Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m x Î Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn.

C©u 3: (2 ®iÓm)
Cho . Chøng minh r»ng: 

C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D.
a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE.
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c DMAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC.

C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m sè nguyªn tè p sao cho:
 ; lµ c¸c sè nguyªn tè.




§Ò sè 16

C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
; 

b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.

C©u 2: ( 2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) BiÕt 
 Chøng minh r»ng: 

C©u 3: ( 2 ®iÓm)
 B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.

C©u 4: (2 ®iÓm)
 Cho DABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña DABD, ®­êng cao IM cña DBID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. 
TÝnh gãc IBN ? 

C©u 5: (2 ®iÓm) 
 Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ?






§Ò sè 17

Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 

b) Chøng minh r»ng:
 

C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d­¬ng n th×:
 chia hÕt cho 6.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 


C©u 3: (2 ®iÓm)
 Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.

C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.

C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + …+ xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4.

§Ò sè 18

Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

b) Chøng minh r»ng tæng:


Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.

b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6.

Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ?
b) Cho d·y