Tuyển tập các đề thi IMO

Tuyển tập đề thi IMO 
 IMO Task Collection
Hà Nội - 2002
Tuyển tập các đề thi IMO
Kỳ thi IMO lần thứ nhất - 1959
1. Chứng minh rằng là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức = A nhận các giá trị: 
(a) A = 
(b) A = 1
(c) A = 2
Ở đây chỉ có các số thực không âm cho phép trong dấu căn và giá trị của căn luôn lấy giá trị không âm?
3. Giả sử a, b, c là các số thực. Cho phương trình sau của cosx: 
        a cos2x + b cos x + c = 0 
Hãy thiết lập phương trình bậc 2 đối với cos2x sao cho có cùng nghiệm x với phương trình trên. So sánh các phương trình trên với a = 4, b = 2, c = -1.
4. Cho trước độ dài |AC|, hãy dựng tam giác ABC với góc = 90 độ, và trung tuyến BM thỏa mãn BM2 = AB.BC.
5. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N. 
(a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N.
(b) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào M).
(c) Tìm quĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ khi M thay đổi. 
6. Cho hai mặt phẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A nằm trong P nhưng không thuộc Q, điểm C nằm trong Q nhưng không thuộc P. Dựng điểm B trong P và D trong Q sao cho tứ giác ABCD thoả mãn các điều kiện sau: nằm trênng một mặt phẳng, AB song song với CD, AD = BC, và ngoại tiếp một đường tròn.
Kỳ thi IMO lần thứ hai - 1960 
1. Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 11, và kết quả của số đó sau khi chia cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của nó.
2. Với giá trị thực nào của x bất đẳng thức sau thoả mãn:
 <  2x + 9
3. Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC có độ dài a được chia thành n phần bằng nhau, trong đó n là một số lẻ. Phần đoạn thẳng ở chính giữa nhìn A dưới một góc . Gọi h là khoảng cách từ A xuống BC. Chứng minh rằng:
tg = 
4. Dựng tam giác ABC biết độ các dài đường cao hạ từ A, B và độ dài đường trung tuyến kẻ từ A.
5. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có A ở trên A', B ở trên B’, C ở trên C’, D ở trên D’. X là một điểm bất kì trên đường chéo AC và Y là một điểm bất kì trên B’D’.
(a) Tìm quỹ tích trung điểm của XY. 
(b) Tìm quỹ tích các điểm Z trên XY sao cho ZY = 2XZ.
6. Một hình nón có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với mặt đáy và với các mặt nghiêng của hình nón. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu sao cho mặt đáy của nó nằm trên mặt đáy của hình nón. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ.
(a) Chứng minh rằng V1 V2.
(b) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tỉ lệ . Trong trường hợp này xây dựng góc nửa của hình nón.
Kỳ thi IMO lần thứ 3 - 1961 
1. Giải hệ phương trình sau với ẩn x, y, z:
Với điều kiện nào của a, b để x, y, z là các số dương khác nhau?
2. Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác và A là diện tích của nó. 
Chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
3. Giải phương trình cosnx - sinnx = 1, trong đó n là một số tự nhiên.
4. P là một điểm bên trong tam giác ABC. PA cắt BC tại D, PB cắt AC tại E, và PC cắt AB tại F. Chứng minh rằng ít nhất một trong các tỉ số: không vượt quá 2, và ít nhất có một tỉ số không nhỏ hơn 2.
5. Dựng tam giác ABC biết độ dài đoạn AC = b, AB = c và góc nhọn , trong đó M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác này dựng được nếu và chỉ nếu: 
Khi nào thì xảy ra dấu bằng?
6. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và một mặt phẳng p không song song với mặt phẳng ABC, sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía đối với mặt phẳng p. Lấy ba điểm tuỳ ý A', B', C' trong p. Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA', BB', CC' và gọi O là trọng tâm tam giác A''B''C''. Tìm quỹ tích các điểm O khi A', B', C' thay đổi.
Kỳ thi IMO lần thứ 4 - 1962 
1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chữ số cuối cùng là 6, sao cho nếu số cuối cùng là 6 được di chuyển lên đầu thì được một số gấp 4 lần số đó. 
2. Tìm tất cả các số thực x thoả mãn:
3. Hình lập phương ABCDA'B'C'D' có mặt trên là ABCD và mặt dưới là A'B'C'D' với A ở trên A', B ở trên B', C ở trên C', D ở trên D'. Điểm X di chuyển theo chu vi của ABCD với tốc độ không đổi, và điểm Y cũng di chuyển với tốc độ như vậy theo chu vi của B'C'CB, khi X chuyển từ A tới B thì Y đồng thời cũng di chuyển tương ứng từ B' tới C'. Tìm quỹ tích trung điểm của XY ?
4. Tìm tất cả các nghiệm thực thoả mãn: cos2x + cos22x + cos23x = 1.
5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C trên đường tròn K. Dựng điểm D trên K sao cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn.
6. Cho tam giác cân ABC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và gọi R, r lần lượt là bán kính của đường tròn O1, O2. Chứng minh rằng:
	O1O2 = 
7. Tứ diện SABC có tính chất sau: tồn tại 5 hình cầu, mỗi hình cầu đều tiếp xúc với 6 cạnh của tứ giác hoặc đường kéo dài của chúng.
(a) Chứng minh rằng tứ diện SABC là đều.
(b) Chứng minh rằng với mỗi tứ diện đều 5 hình cầu như vậy tồn tại.
Kỳ thi IMO lần thứ 5 - 1963 
1. Với giá trị thực nào của p thì phương trình sau có nghiệm thực:
	 = x
Tìm các nghiệm đó.
2. Cho điểm A và đoạn thẳng BC, xác định quỹ tích tất cả các điểm P trong không gian sao cho góc = 90o với X nằm trên BC.
3. Cho đa giác n cạnh có tất cả các góc bằng nhau và độ dài các cạnh thoả mãn: a1 a2 ... an. Chứng minh rằng tất cả các cạnh cũng bằng nhau.
4. Tìm tất cả các nghiệm x1, ..., x5 từ hệ năm phương trình:
x5 + x2 = yx1
x1 + x3 = yx2
x2 + x4 = yx3
x3 + x5 = yx4
x4 + x1 = yx5
Ở đây y là tham số.
5. Chứng minh rằng:
	 = 
 6. Có năm sinh viên A, B, C, D, E được xếp hạng từ 1 đến 5 trong một cuộc thi với không ai xếp cùng thứ hạng như nhau. Người ta dự đoán rằng kết quả đó có thể theo thứ tự là A, B, C, D, E. Nhưng không có sinh viên nào đạt được kết quả theo như dự đoán trên và không có hai sinh viên liên tiếp trong danh sách dự đoán có kết quả liên tiếp. Ví dụ, kết quả cho C và D không thể tương ứng là 1,2 hoặc 2,3 hoặc 3,4 hoặc 4,5. Một dự đoán khác là có thể theo thứ tự là của D, A, E, C, B. Chính xác là chỉ có hai sinh viên đạt được kết quả như dự đoán và có hai cặp không liên tiếp trong dự đoán đạt được kết quả liên tiếp. Xác định kết quả đạt được của 5 sinh viên trên. 
Kỳ thi IMO lần thứ 6 - 1964 
1. (a) Tìm tất cả các số tự nhiên n với 2n -1 chia hết cho 7.
 (b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để 2n + 1 chia hết cho 7.
2. Giả sử a, b, c là các cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng:
	a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 3abc.
3. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Các đường tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác được dựng song song với các cạnh của tam giác và cắt hai cạnh kia tạo thành ba tam giác. Đối với mỗi tam giác này lại có một đường tròn nội tiếp. Tính tổng diện tích của cả bốn đường tròn nội tiếp trên.
4. Có 17 người, mỗi một cặp trong số họ đều trao đổi thư từ cho nhau với một trong ba chủ đề. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người viết cho nhau theo cùng một chủ đề. (Hay nói một cách khác, nếu ta tô màu cho các cạnh của một đồ thị đầy đủ 17 đỉnh với ba màu khác nhau, khi đó ta có thể tìm thấy một tam giác có tất cả các cạnh cùng màu).
5. Cho năm điểm trong một mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng (trong số các đường thẳng nối hai trong số các điểm trên) nào trùng nhau, song song với nhau hoặc vuông góc với nhau (các đường thẳng được nối từ hai trong năm điểm đã cho). Từ mỗi một điểm ta kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng được nối hai trong bốn điểm còn lại. Hãy xác định số điểm giao nhau lớn nhất giữa các đường thẳng vuông góc có thể có. 
6.  Cho tứ diện ABCD và D0 là trọng tâm tam giác ABC. Từ A, B, C kẻ các đường thẳng song song với DD0 lần lượt cắt các mặt phẳng BCD, CAD, ABD tương ứng tại A0, B0, C0 . Chứng minh rằng thể tích của A0B0C0D0 gấp ba lần thể tích của ABCD. Kết quả có đúng khi D0 là một điểm tuỳ ý trong tam giác ABC không ?.
Kỳ thi IMO lần thứ 7 - 1965 
1. Tìm tất cả x trong đoạn [0, ] thoả mãn:
2. Cho hệ phương trình:
Trong đó các hệ số aịj (i,j =) thoả mãn:
(a) aii là các số dương.
(b) aịj là các số âm (i j).
(c) Tổng các hệ số trong mỗi phương trình là dương.
Chứng minh rằng x1 = x2 = x3 = 0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình trên.
3. Tứ diện ABCD được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng song song với AB và CD. Khoảng cách từ mặt phẳng đó đến AB gấp k lần đến CD. Tính tỉ lệ giữa thể tích của hai phần được chia đó.
4. Tìm tất cả các bộ bốn số thực sao cho tổng của bất kì một số nào đó và tích của ba số còn lại là bằng 2.
5. Cho tam giác OAB có góc O nhọn. M là một điểm tuỳ ý trên AB. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB.
(a) Tìm quỹ tích tất cả các điểm H là trực tâm của tam giác OPQ khi M thay đổi trên AB. 
(b) Quỹ tích đó sẽ thay đổi như thế nào nếu M là một điểm tuỳ ý trong tam giác OAB?
6. Cho n điểm trong mặt phẳng (n>2). Chứng minh rằng: có nhiều nhất n cặp điểm là có khoảng cách lớn nhất (giữa các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ). 
Kỳ thi IMO lần thứ 8 - 1966 
1. Đề thi toán gồm có 3 bài toán A, B, C.
Có 25 thí sinh đã giải ít nhất một trong ba bài trên. Trong số những thí sinh không giải được bài A, số thí sinh giải bài B nhiều gấp đôi số thí sinh giải bài C. 
Số thí sinh chỉ giải bài A nhiều hơn so với thí sinh giải bài A và ít nhất một trong các bài còn lại là 1.
Số thí sinh chỉ giải bài A bằng số thí sinh chỉ giải bài B cộng với thí sinh chỉ giải bài C. 
Hỏi có tất cả có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?.
2. Chứng minh rằng nếu : 
BC + AC = (BC tgA + AC tgB)
thì tam giác ABC cân.
3. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tới các đỉnh của một tứ diện đều là nhỏ nhất nếu nó là tâm của tứ diện.
4. Chứng minh rằng:
với bất kì số tự nhiên n và số thực x (với sin2nx 0).
5. Giải hệ phương trình:
	|ai - a1|x1 + |ai - a2|x2 +|ai - a3|x3 + |ai - a4|x4 = 1 với i = 1,2, 3, 4.
Trong đó: ai là các số thực khác nhau.
6. Lấy bất kì các điểm K, L, M lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng có ít nhất một trong số các tam giác AML, BKM, CLK có diện tích diện tích tam giác ABC.
Kỳ thi IMO lần thứ 9 - 1967 
1. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = 1, và tam giác ABD có tất cả các góc đều nhọn. Chứng minh rằng các đường tròn có bán kính bằng 1 và tâm là A, B, C, D bao trùm hình bình hành nếu và chỉ nếu:
2. Chứng minh rằng tứ diện chỉ có một cạnh có độ dài lớn hơn 1 có thể tích lớn nhất là .
3. Cho k, m, n là các số tự nhiên sao cho m + k + 1 là số nguyên tố lớn hơn n + 1. 
 Và cho cs = s (s+1). 
Chứng minh rằng: (cm+1 - ck)(cm+2 - ck)...(cm+n - ck) chia hết cho tích c1c2 ...cn.
4. Cho các tam giác nhọn A0B0C0 và A1B1C1 (tam giác nhọn là tam giác có tất cả các góc đều nhọn). Dựng tam giác ABC có diện tích lớn nhất sao cho nó ngoại tiếp tam giác A0B0C0 (BC chứa A0, CA chứa B0, AB chứa C0) và đồng dạng với tam giác A1B1C1. 
5. Giả sử a1, ... , a8 là các số thực không đồng thời bằng 0. Cho cn = a1n + a2n + ... + a8n với n = 1,2,3, ... 
Biết rằng có vô hạn số cn bằng 0. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho cn = 0.
6. Tổng số huy chương được trao tặng trong một cuộc thi đấu thể thao kéo dài n ngày là m. Trong ngày thứ nhất có 1 huy chương và 1/7 huy chương còn lại được trao tặng. Trong ngày thứ hai có 2 huy chương và 1/7 huy chương được trao tặng, .... và cứ theo quy luật như thế. Trong ngày cuối cùng, còn lại n huy chương được trao tặng. Tìm m, n.
Kỳ thi IMO lần thứ 10 - 1968 
1. Tìm tất cả các tam giác có chiều dài các cạnh là các số nguyên liên tiếp, và một trong các góc của tam giác đó gấp đôi một góc khác.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho tích của tất cả các chữ số của nó là n2 - 10n - 22.
3. a, b, c là các số thực với a 0. 
x1, x2, ..., xn thoả mãn hệ phương trình gồm n phương trình sau:
	axi2 + bxi + c = xi+1 , với 1 i < n.
	axn2 + bxn + c = x1 
Chứng minh rằng hệ có 0, 1, hoặc >1 nghiệm thực tuỳ theo (b - 1)2 - 4ac là 0.
4. Chứng minh rằng mọi tứ diện tồn tại đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh này tạo thành ba cạnh của một tam giác.
5. Cho f : R R (R - là tập hợp tất cả các số thực), sao cho tồn tại a > 0 thỏa mãn:
 với mọi x.
Chứng minh: hàm số f tuần hoàn, và hãy chỉ ra một hàm f như vậy không là hằng số với a = 1.
6. Với mọi số tự nhiên n hãy ước lượng tổng:
Trong đó: [x] biểu diễn số nguyên lớn nhất x.
Kỳ thi IMO lần thứ 11 - 1969 
1. Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên dương m để n4 + m không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.
2. Cho f(x) = trong đó ai là các hằng số thực, x là biến thực. 
Chứng minh rằng: Nếu f(x1) = f(x2) = 0 thì (x1 - x2 ) = kp, với k là một số nguyên.
3. Với mỗi k = 1, 2, 3, 4, 5 tìm điều kiện cần và đủ với a > 0 sao cho tồn tại một tứ diện có k cạnh chiều dài a và các cạnh còn lại có chiều dài là 1.
4. C là một điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính AB (ở giữa A và B). D là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Đường tròn K1 nội tiếp tam giác ABC, đường tròn K2 tiếp xúc với CD, DA và nửa đường tròn đường kính AB. Đường tròn K3 tiếp xúc với CD, DB và nửa đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng K1, K2, K3 có chung một tiếp tuyến khác AB.
5. Cho n điểm nằm trong một mặt phẳng (n > 4), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có nhiều nhất tứ diện lồi có các đỉnh trong số n điểm trên.
6. Cho các số thực x1, x2, y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12 và x2y2 > z22. 
Chứng minh rằng:
Điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.
Kỳ thi IMO lần thứ 12 - 1970 
1. M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC. r, r1, r2 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AMC, BMC. q là bán kính của đường tròn tiếp xúc với ba cạnh AB, và CA, CB kéo dài. q1 là bán kính của đường tròn tiếp xúc với BC và AB, AC kéo dài. q2 là bán kính của đường tròn tiếp xúc với CA và BA, BC kéo dài. Chứng minh rằng: r1r2q = rq1q2
2. Cho 0 xi 0, xn-1 > 0.
Nếu a > b, và: A = xnan + xn-1an-1 + ... + x0a0 ; B = xnbn + xn-1bn-1 + ... + x0b0
	A' = xn-1an-1 + xn-2an-2 + ... + x0a0; B' = xn-1bn-1 + xn-2bn-2 + ... + x0b0. 
Chứng minh rằng: A'B < AB'.
3. Cho các số thực a0, a1, a2, ... thoả mãn: 1 = a0 a1 a2 ...
các số thực b1, b2, b3, ... được định nghĩa bởi:
(a) Chứng minh rằng: 0 bn < 2.
(b) Cho c thoả mãn 0 c c với mọi n đủ lớn. 
4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} có thể được chia ra thành hai tập con mà tích của tất cả các số trong mỗi tập con là bằng nhau.
5. Cho tứ diện ABCD có và chân đường cao hạ từ D xuống mặt phẳng ABC là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
(AB + BC +CA)2 6(AD2 + BD2 + CD2).
Trong trường hợp nào thì dấu đẳng thức xảy ra ?.
6. Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng nhiều nhất có 70% số tam giác được tạo thành từ các điểm trên có tất cả các góc đều nhọn.
Kỳ thi IMO lần thứ 13 - 1971 
1. Cho En = (a1 - a2)(a1 - a3)...(a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3)...(a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). Sn là định đề mà En 0 với mọi số thực ai.
Chứng minh rằng: Sn đúng với n = 3 và n = 5, nhưng lại sai với những giá trị khác của n (với n>2).
2. Cho P1 là một đa giác lồi với các đỉnh A1, A2, ..., A9. Pi là đa giác thu được từ P1 bằng cách tịnh tiến mà di chuyển A1 tới Ai. Chứng minh rằng: có ít nhất hai đa giác trong số các đa giác P1, P2, ..., P9 có chung một điểm trong.
3. Chứng minh rằng ta có thể tìm được một tập vô hạn các số nguyên dương dạng 2n - 3 (trong đó n cũng là một số nguyên dương) mà với mọi cặp của nó nguyên tố cùng nhau.
4. Tất cả các mặt của tứ diện ABCD có các góc đều là nhọn. Lấy điểm X trong đoạn AB, Y trong BC, Z trong CD, và T trong AD.
(a) Nếu , chứng minh rằng: không có đường đi đóng XYZTX có độ dài ngắn nhất.
(b) Nếu thì có vô số các đường đi ngắn nhất XYZTX mà mỗi đường có độ dài là 2AC sin k, trong đó: 2k = .
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m ta có thể tìm được một tập S hữu hạn các điểm trong mặt phẳng sao cho với bất kì điểm A thuộc S tồn tại đúng m điểm thuộc S có khoảng cách từ A đến là 1 đơn vị.
6. Cho A = (aij), i,j = 1, 2, ..., n là một ma trận vuông với aij là các số nguyên không âm. Với mỗi i, j mà có aij = 0 thì tổng của các phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ không nhỏ hơn n. Chứng minh rằng: tổng của tất cả các phần tử của ma trận không nhỏ hơn .
Kỳ thi IMO lần thứ 14 - 1972 
1. Cho bất kì một tập 10 số khác nhau trong đoạn [10, 99]. Chứng minh rằng: luôn tìm được hai tập con rời nhau sao cho các tập đều có tổng như nhau.
2. Cho n > 4. Chứng minh rằng: mọi tứ giác nội tiếp đường tròn đều có thể chia thành n tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Chứng minh rằng: (2m)!(2n)! là bội số của m!n!(m+n)! với mọi số nguyên không âm n và m.
4. Tìm tất cả các nghiệm thực dương của hệ bất phương trình:
5. Cho f và g là hai hàm nhận giá trị thực trên tập các số thực. 
Với mọi x và y: f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y).
Hàm f không đồng nhất bằng 0 và |f(x)| 1 với mọi x.
Chứng minh rằng: |g(x)| 1 với mọi x.
6. Cho 4 mặt phẳng khác nhau và song song với nhau. 
Chứng minh rằng: tồn tại một tứ diện đều với mỗi đỉnh nằm trên mỗi mặt phẳng.
Kỳ thi IMO lần thứ 15 - 1973 
1. OP1, OP2, ..., OP2n+1 là các vectơ đơn vị trong một mặt phẳng. P1, P2, ..., P2n+1  là các điểm nằm cùng phía đối với một đường thẳng đi qua O. 
Chứng minh rằng: |OP1 + ... + OP2n+1| 1.
2. Liệu có thể tìm được một tập hữu hạn các điểm không đồng phẳng sao cho nếu có hai điểm bất kì A, B thì sẽ tồn tại hai điểm khác C và D mà hai đường thẳng AB và CD song song với nhau và khác nhau.
3. Cho a, b là các số thực để phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 + b2.
4. Một người lính cần di chuyển trên một vùng có hình dáng là một tam giác đều để dò mìn. Máy dò có hiệu lực trong vòng bán kính bằng một nửa đường cao của tam giác. Anh ta bắt đầu từ một đỉnh của tam giác. Tiếp theo anh ta phải đi như thế nào để di chuyển ngắn nhất mà vẫn dò mìn trong toàn bộ vùng đó. 
5. G là tập hợp của các hàm f, trong đó f không phải là hằng số và là hàm tuyến tính thực có dạng: f(x) = ax + b với số thực a, b nào đó. Tập G thỏa mãn các tính chất sau:
N ếu f và g thuộc G thì fg cũng thuộc G, trong đó fg được định nghĩa bởi fg(x) = f(g(x)). Hàm ngược f-1 của f được định nghĩa như sau: Nếu f = ax + b thì f-1 = . Nếu f thuộc G thì hàm ngược của nó f-1 cũng thuộc G. Mọi hàm f thuộc G đều có một điểm cố định, nói cách khác ta có thể tìm được xf sao cho f(xf) = xf .
Chứng minh rằng tất cả các hàm thuộc G đều có chung một điểm cố định.
6. a1, a2, ..., an l à các số thực dương và q thoả mãn: 0 < q < 1. Tìm b1, b2, ..., bn sao cho:
(a)  ai < bi với i = 1, 2, ... , n, 
(b)  q < < với i = 1, 2, ... , n-1, 
(c)  b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).
Kỳ thi IMO lần thứ 16 - 1974 
1. Ba người chơi một trò chơi như sau: Có ba lá bài, mỗi lá được ghi bởi các số nguyên dương khác nhau. Mỗi một vòng chơi các lá bài được phân phối ngẫu nhiên cho những người chơi và mỗi người sẽ nhận được một số trên lá bài của mình. Cộng tất cả các số thu được ở các vòng chơi của mỗi người để tính điểm. Biết rằng: sau 2 vòng hay nhiều hơn 2 vòng người thứ nhất nhận được 20, người thứ hai là 10, và người thứ ba là 9. Trong vòng chơi cuối cùng người thứ hai nhận được số lớn nhất. Hỏi ai đã nhận được con số ở giữa trong vòng thứ nhất.
2. Chứng minh rằng tồn tại một điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC để CD = nếu và chỉ nếu sinA.sinB .
3. Chứng minh rằng: 
không chia hết cho 5 với bất kì số nguyên không âm n. 
Trong đó: 	
4. Một bàn cờ 8 x 8 được chia thành p hình chữ nhật rời nhau (theo đường lưới giữa các ô vuông) sao cho mỗi một hình chữ nhật sẽ có số ô trắng bằng với số ô đen, và các hình có số ô vuông khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất có thể của p và tất cả các bộ có thể của kích thước các hình chữ nhật. 
5. Xác định tất cả các giá trị dương của:
với a, b, c, d là các số thực dương.
6. Cho P(x) là một đa thức bậc d (d > 0) với các hệ số nguyên. Giả sử n là số nghiệm nguyên khác nhau của P(x) = 1 hoặc P(x) = -1. Chứng minh rằng: n d + 2.
Kỳ thi IMO lần thứ 17 - 1975 
1. Cho x1 x2 ... xn và y1 y2 ... yn là các số thực. Chứng minh rằng: nếu zi là một hoán vị bất kì của yi thì:
2. Cho a1 i.
3. Cho tam giác ABC bất kì. Về phía ngoài tam giác hãy dựng các tam giác ABR, BCP, CAQ sao cho , , , , , và . Chứng minh rằng tam giác RPQ vuông cân tại R.
4. Cho A là tổng các chữ số thập phân của 44444444 và B là tổng các chữ số thập phân của A. Tìm tổng các chữ số thập phân của B.
5. Hãy tìm 1975 điểm trên chu vi của một đường tròn đơn vị sao cho khoảng cách giữa mỗi cặp điểm là một số hữu tỉ. Hãy chỉ ra sự tồn tại hoặc chứng minh rằng không thể tìm được.
6. Tìm tất cả các đa thức P(x, y) theo hai biến sao cho:
(1) P(tx, ty) = tn P(x, y) với n nguyên dương nào đó và với mọi số thực t, x, y.
(2) P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0 với mọi số thực x, y , z.
(3) P(1, 0) = 1.
Kỳ thi IMO lần thứ 18 - 1976 
1. Một tứ diện lồi có diện tích là 32 và tổng của hai cạnh đối diện và một đường chéo là 16. Tìm tất cả các độ dài có thể của đường chéo còn lại.
2. Cho P1(x) = x2 - 2 và Pi+1 = P1(Pi(x)) với i = 1, 2, 3, ...
Hãy chỉ ra rằng với mọi n phương trình Pn(x) = x có các nghiệm thực khác nhau.
3. Một hình hộp chữ nhật có thể được lấp đầy với các hình lập phương đơn vị. Nếu người ta đặt được càng nhiều càng tốt các hình lập phương thể tích 2 vào trong hộp thì sẽ chiếm thể tích là 40% thể tích của hộp. Xác định các kích thước có thể của hộp.
4. Xác định số lớn nhất là tích của các số nguyên dương có tổng là 1976.
5. Cho n là một số nguyên dương và m = 2n. aij = 0, 1, hoặc -1 (với 1 i n, 1 j m). 
x1, x2, ..., xm là m ẩn chưa biết thoả mãn n phương trình sau:
ai1x1 + ai2x2 +... + aimxm = 0, với i = 1, 2, 3, ..., n.
Chứng minh rằng: hệ phương trình trên có các nghiệm nguyên có giá trị tuyệt đối lớn nhất là bằng m và không đồng thời bằng 0.
6. Cho dãy u0, u1, u3, ... được định nghĩa bởi: u0 = 2, u1 = , un+1 = un(un-12 - 2) - u1 với n = 1, 2,... Chứng minh rằng: 
[un] = 
Trong đó: [x] biểu diễn số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.
Kỳ thi IMO lần thứ 19 - 1977 
1. Dựng về phía bên trong hình vuông ABCD các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN. Hãy chỉ ra rằng các trung điểm của KL, LM, MN, NK và các trung điểm của AK, BK, BL, CL, CM, DM, DM, AN tạo thành đa giác đều có 12 cạnh.
2. Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của bất kì 7 số hạng liên tiếp là âm, và tổng của bất kì 11 số hạng liên tiếp là dương. Xác định số lớn nhất trong các số hạng của dãy.
3. Cho số nguyên n > 2. Giả sử Vn là tập các số nguyên dạng 1 + kn, trong đó k là một số nguyên dương. Số m thuộc Vn được gọi là không phân tích được nếu nó không thể biểu diễn đưới dạng tích của hai số thuộc Vn. Chứng minh rằng: có một số thuộc Vn mà có thể biểu diễn đưới dạng tích của các số không phân tích được thuộc Vn bằng nhiều hơn một cách.
4. Cho f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x, trong đó a, b, A, B là các hằng số thực. Giả sử rằng: f(x) ³ 0 với mọi số thực x. 
Chứng minh rằng: a2 + b2 2 và A2 + B2 1.
5. Cho a, b là các số nguyên dương. Khi (a2 + b2) chia cho (a + b) được thương số là q và số dư là r.
Tìm tất cả các cặp số a và b thoả mãn: q2 + r = 1997.
6. Cho hàm f : Z+ Z+, Z+- là tập các số nguyên dương.
Cho f(n + 1) > f(f(n)) với mọi n.
Chứng minh rằng: f(n) = n với mọi n.
Kỳ thi IMO lần thứ 20 - 1978 
1. Cho m, n là các số nguyên dương với m < n. Ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978m giống như ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978n. Tìm m, n sao cho m + n đạt giá trị nhỏ nhất.
2. P là một điểm bên trong một hình cầu. Ba tia vuông góc với nhau từng đôi một kẻ từ P cắt hình cầu tại U, V, W. Q là đỉnh đối diện qua đường chéo với P trong hình hộp được xác định bởi PU, PV, PW. Tìm quỹ tích các điểm Q khi các tia vuông góc xuất phát từ P thay đổi.
3. Tập tất cả các số nguyên dương là hợp của hai tập con rời nhau {f(1), f(2), f(3), ... } và {g(1), g(2), g(3), ... }. 
Trong đó f(1) < f(2) < f(3) < ..., và g(1) < g(2) < g(3) < ...
	g(n) = f(f(n)) + 1 với n = 1, 2, 3, ...
Xác định f(240).
4. Tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc bên trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác và cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: trung điểm của PQ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
5. {ak} là dãy các số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng: 
 với mọi số nguyên dương n.
6. Một cuộc giao lưu quốc tế có các thành viên từ 6 nước khác nhau. Danh sách của các thành viên gồm có 1978 người được đánh số là 1, 2, ..., 1978. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất một thành viên có số là tổng của các số của hai thành viên cùng nước của mình, hoặc gấp đôi số của một thành viên cùng nước với mình.
Kỳ thi IMO lần thứ 21 - 1979 
1. Cho m, n là những số nguyên dương thoả mãn:
Chứng minh rằng: m chia hết cho 1979.
2. Hình lăng trụ có các mặt trên và mặt đáy là các ngũ giác A1A2A3A4A5 và B1B2B3B4B5. Mỗi cạnh của hai ngũ giác và của 25 đoạn AiBi được tô màu đỏ hoặc xanh. Mọi tam giác