Tuyển tập các đề thi vào 10 môn Toán

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1995 – 1996.
đề chính thức môn: toán
Thời gian làm bài: 150 phút
 -----------------------------------
câu 1:(3 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
câu 2:(2,5 điểm)
 Cho hàm số 
a. Vẽ đồ thị của hàm số (P)
b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
câu 3: (3 điểm)
 Cho đường tròn tâm (O), đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (B≠C) và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ một dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đường tròn (O’) tại điểm I.
a. Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh 3 điểm I, B, E thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2=MB.MC.
câu 4: (1,5điểm)
 Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x>y và xy=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1996-1997.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
 .
câu 1:(3 điểm)
 Cho hàm số .
a.Tìm tập xác định của hàm số.
b.Tính y biết: a) x=9 ; b) x=
c. Các điểm: A(16;4) và B(16;-4) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số? Tại sao?
Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đồ thị hàm số y=x-6.
câu 2:(1 điểm)
 Xét phương trình: x2-12x+m = 0 (x là ẩn).
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 =x12.
câu 3:(5 điểm)
 Cho đường tròn tâm B bán kính R và đường tròn tâm C bán kính R’ cắt nhau tại A và D. Kẻ các đường kính ABE và ACF.
a.Tính các góc ADE và ADF. Từ đó chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng.
b.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là giao điểm của các đường thẳng AM và EF. Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành.
c.Trên các nửa đường tròn đường kính ABE và ACF không chứa điểm D ta lần lượt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I không thuộc đường thẳng NB;K không thuộc đường thẳngNC)
 Chứng minh tam giác BNI bằng tam giác CKN và tam giác NIK là tam giác cân.
d.Giả sử rằng R<R’.
 1. Chứng minh AI<AK.
 2. Chứng minh MI<MK.
câu 4:(1 điểm)
 Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thoả mãn:
 cos2a+cos2b+cos2c≥2. Chứng minh: (tga. tgb. tgc)2 ≤ 1/8.
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1997- 1998.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút
 ...
câu 1: (2,5 điểm)
 Giải các phương trình sau:
a. x2-x-12 = 0 
b. 
câu 2: (3,5 điểm)
 Cho Parabol y=x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=2mx-m2+4.
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng
b. Chứng minh rằng Parabol và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?
câu 3: (4 điểm)
 Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H; M là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp được trong đường tròn.
2. P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác BHCP là hình bình hành.
b. P thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
3. Chứng minh: A’B.A’C = A’A.A’H.
4. Chứng minh: 
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1999-2000.
đề thi chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
 .
câu 1: (1,5 điểm)
 Cho biểu thức:
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
câu 2: (1,5 điểm)
 Giải hệ phường trình:
câu 3: (2 điểm)
 Tìm giá trị của a để phương trình:
(a2-a-3)x2 +(a+2)x-3a2 = 0
nhận x=2 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình?
câu 4: (4 điểm)
 Cho ∆ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và đỉnh B. Đường tròn đường kính BD cắt cạnh BC tại E. Đường thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là G. đường thẳng CD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là F. Gọi S là giao điểm của các đường thẳng AC và BF. Chứng minh:
1. Đường thẳng AC// FG.
2. SA.SC=SB.SF
3. Tia ES là phân giác của .
câu 5: (1 điểm)
 Giải phương trình:
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2000-2001.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
câu 1: (2 điểm)
 Cho biểu thức:
.
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
câu 2: (2 điểm)
 Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1), N(5;-1/2) và đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b
1. Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua các điểm M và N?
2. Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục Ox và Oy.
câu 3: (2 diểm)
 Cho số nguyên dương gồm 2 chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng của 2 chữ số bằng 1/8 số đã cho; nếu thêm 13 vào tích của 2 chữ số sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại số đã cho.
câu 4: (3 điểm)
 Cho ∆PBC nhọn. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ 2 là E.
1. Chứng minh 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy?
2. Chứng minh EM vuông góc với BC.
3. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE
câu 5: (1 điểm)
 Giả sử n là số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức:
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2001-2002.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
câu 1: (1,5 điểm)
 Rút gọn biểu thức:
.
câu 2: (1,5 điểm)
 Tìm 2 số x và y thoả mãn điều kiện:
câu 3:(2 điểm)
 Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4h. Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ 2 là 6h. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
câu 4: (2 điểm)
 Cho hàm số:
y=x2 (P)
y=3x=m2 (d)
 1. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
 2. Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức y1+y2 = 11y1y2
câu 5: (3 điểm)
 Cho ∆ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C). Vẽ đường tròn (O) đường kính MC. GọiT là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn (O). Nối BM và kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S. Chứng minh:
 1. Tứ giác ABTM nội tiếp được trong đường tròn.
 2. Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi.
 3. Đường thẳng AB//ST.
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2002-2003.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
câu 1: (2 điểm)
 Cho biểu thức:
.
1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
câu 2: (2 điểm)
 Trên parabol lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của điểm A là xA=-2 và tung độ của điểm B là yB=8. Viết phương trình đường thẳng AB.
câu 3: (1 điểm)
 Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai:
x2-8x+m = 0
để là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại ấy?
câu 4: (4 điểm)
 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB>CD) nội tiếp trong đường tròn (O).Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của các đường chéo AC và BD.
1. Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh EI//AB.
3. Đường thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh rằng:
a. I là trung điểm của đoạn RS.
b. 
câu 5: (1 điểm)
Tìm tất cả các cặp số (x;y) nghiệm đúng phương trình:
(16x4+1).(y4+1) = 16x2y2
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2003-2004.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
 ...
câu 1: (2 điểm)
 Giải hệ phương trình
câu 2: (2 điểm)
 Cho biểu thức .
1. Rút gọn biểu thức A.
2 Tính giá trị của A khi 
câu 3: (2 điểm)
 Cho đường thẳng d có phương trình y=ax+b. Biết rằng đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành bằng 1 và song song với đường thẳng y=-2x+2003.
1. Tìm a vầ b.
2. Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của d và parabol 
câu 4: (3 điểm)
 Cho đường tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng AQ tại M.
1. Chứng minh rằng MO=MA.
2. Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ tương ứng tại B và C.
a. Chứng minh rằng AB+AC-BC không phụ thuộc vị trí điểm N.
b.Chứng minh rằng nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn thì PQ//BC.
câu 5: (1 điểm)
Giải phương trình 
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2004-2005.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
câu 1: (3 điểm)
 1. Đơn giản biểu thức:
 2. Cho biểu thức:
.
a. Chứng minh 
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
câu 2: (3 điểm)
 Cho hệ phương trình:
 (a là tham số)
1. Giải hệ khi a=1.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y≥ 2.
câu 3: (3 điểm)
 Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt, chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P.
Chứng minh:
1. BM.BN không đổi.
2. Tứ giác MNPQ nội tiếp được trong đường tròn.
3. Bất đẳng thức: BN+BP+BM+BQ>8R.
câu 4: (1 điểm)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2005-2006.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
câu 1: (2 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức .
2. Chứng minh: .
câu 2: (3 điểm)
 Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
(P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số).
1. Tìm m để đường thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x=4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Chứng minh rằng .
câu 3: (4 điểm)
 Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R(0<BC<2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB).
1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp trong một đường tròn. Từ đó suy ra AE.AC=AF.AB.
2. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2A’O.
3. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ∆ABC, 2p là chu vi của ∆DEF.
a. Chứng minh: d//EF.
b. Chứng minh: S=pR.
câu 4: (1 điểm)
 Giải phương trình: 
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2006-2007.
môn thi: toán.
Thời gian làm bài: 120 phút.
 ..
bài 1: (2 điểm)
 Cho biểu thức:
.
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
bài 2: (3,5 điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
(P): y=x2 
(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để x12+x22=6.
bài 3: (3,5 điểm)
 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O).Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
1. Tứ giác IECB nội tiếp.
2. AM2=AE.AC
3. AE.AC-AI.IB=AI2
bài 4:(1 diểm)
Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và a2+b2+c2=90
Chứng minh: a + b + c ≥ 16.
đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 1993-1994.
đề chính thức: môn toán.
Thời gian làm bài: 150 phút.
 .
câu 1: (1,5 điểm) 
Rút gọn biểu thức:
câu 2: (2 điểm)
 Quãng đường AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
câu 3: (1,5 điểm)
 Cho parabol y=2x2.
Không vẽ đồ thị, hãy tìm:
1. Toạ độ giao điểm của đường thẳng y=6x- 4,5 với parabol.
2. Giá trị của k, m sao cho đường thẳng y=kx+m tiếp xúc với parabol tại điểm A(1;2).
câu 4: (5 điểm)
 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Khi kẻ các đường phân giác của các góc B, góc C, chúng cắt đường tròn lần lượt tại điểm D và điểm E thì BE=CD.
1. Chứng minh ∆ABC cân.
2. Chứng minh BCDE là hình thang cân.
3. Biết chu vi của ∆ABC là 16n (n là một số dương cho trước), BC bằng 3/8 chu vi ∆ABC.
a. Tính diện tích của ∆ABC.
b. Tính diện tích tổng ba hình viên phân giới hạn bởi đường tròn (O) và ∆ABC.