Tuyển tập các đề thi vào THPT − Môn Toán

Năm học 1996 − 1997
Bài 1 (2 điểm): 
1) Nêu các ứng dụng của hệ thức Viét. Áp dụng tính nghiệm của PT x2 + x − 12 = 0
2) Cho đường tròn đường kính AB. M là một điểm bất kì trên đường tròn (M ≠ A, M ≠ B). Nối AM và kéo dài về phía M một đoạn MN = MB. Chứng minh rằng: 
Bài 2 (4 điểm): 
1) Cho phương trình x2 − 5x + m + 3 = 0 (1)
	a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 4 lần nghiệm kia
2) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 52m. Nếu tăng bề rộng lên gấp đôi và bề dài lên gấp ba thì chu vi của thửa ruộng mới là 136m. Hãy tìm diện tích của thửa ruộng đã cho lúc đầu
Bài 3 (4 điểm): 
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi A’ là điểm đối xứng của H qua BC.
	a) Chứng minh rằng tứ giác ABA’C là tứ giác nội tiếp
	b) DABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BHCA’ là hình thoi
	c) Cho đường tròn (O), điểm A trên đường tròn và điểm H nằm bên trong đường tròn. Hãy dựng DABC nội tiếp đường tròn (O) và nhận H làm trực tâm
Năm học 1997 − 1998
Bài 1 (2 điểm): 
1) Cho phương trình x2 − 10x − m2 = 0 (1)
	a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
	b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
2) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại I. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là một tứ giác nội tiếp
Bài 2 (4 điểm): 
1) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
	a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
	b) Tìm m để P nhỏ nhất
2) Một canô xuôi dòng 45km rồi lại ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược là 1giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6km/h. Tính vận tốc canô lúc ngược dòng.
Bài 3 (4 điểm): 
Cho DABC (AB = AB). Trên phần kéo dài của BC lấy điểm M bất kì. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB tại N, P.
	a) Chứng minh rằng DBMP cân đỉnh P
	b) Chứng minh rằng hiệu hai cạnh liên tiếp của tứ giác ANMP không phụ thuộc vào vị trí của M
	c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh rằng OP = ON
	d) Chứng minh rằng tứ giác OANP nội tiếp được trong đường tròn.
Năm học 1998 – 1999
Bài 1 (2 điểm): 
1) Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
	b) So sánh A với 1
	2) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = –2x + 5. Viết phương trình đường thẳng (d’) qua điểm M(1; 1) và song song với (d).
Bài 2 (2 điểm): Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
Bài 3 (4 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại D. Gọi N là điểm bất kì trên đoạn CD, nối AN cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt CD ở I và BM cắt CD ở K. Chứng minh:
	a) Tứ giác CBMN nội tiếp và IMN là tam giác cân.
	b) Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp DKMN
	c) Chứng minh DOAD đều. Tính đoạn CK theo R trong trường hợp N là trung điểm của CD
Bài 4 (1 điểm): 
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Chứng minh hai mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D) song song.
Năm học 1999 – 2000
Bài 1 (3,5 điểm): 
1) Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện tồn tại của A. Rút gọn A
	b) Tìm các giá trị của x để A > 0
	2) Giải và biện luận phương trình: mx + 1 = m2 + x với m là tham số
Bài 2 (2 điểm): Một xe tải và một xe con cùng khởi hành đi từ tỉnh A đến tỉnh B, xe tải đi với vận tốc 40 km/h, xe con đi với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi được 2 giờ xe con tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại nên đến B sớm hơn xe tải 50 phút. Tính quãng đường AB?
Bài 3 (4,5 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, lấy hai điểm M, N thuộc nửa đường tròn sao cho và . Gọi D là một điểm trên nửa đường tròn sao cho M là điểm chính giữa . Các dây AD, BD cắt OM, ON lần lượt tại I và K.
	a) Chứng minh tứ giác IOKD là hình chữ nhật
	b) Tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại D cắt các tia ON, OM lần lượt ở E và F. Chứng minh các tia FA, EB là tiếp tuyến của đường tròn. Suy ra: EB + FA = FE.
	c) Tia AD cắt BN tại H. Chứng minh DABH cân
	d) Xác định vị trí của M, N sao cho H thuộc đường tròn ngoại tiếp DDBE
Năm học 2000 − 2001
Bài 1 (3 điểm): 
Cho các biểu thức và 
	a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn các biểu thức P, Q
	b) So sánh các biểu thức P và Q; 	
c) Tìm a để 
Bài 2 (2 điểm): Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian qui định. Sau khi đi một giờ ôtô bị chắn bởi đường tầu hỏa mất 10 phút, do đó để đến B đúng hạn ôtô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ôtô lúc đầu
Bài 3 (4 điểm): Cho DABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC ở D và E
	a) Chứng minh rằng tứ giác DAEH là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng
	b) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC lần lượt ở M, N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và HC
	c) Chứng minh DBAC DAHC. Suy ra: AC2 = BC.HC
	d) Tính diện tích tứ giác DENM biết AB = 7cm, AC = 10cm
Bài 4 (1 điểm): Cho phương trình x2 + mx + m − 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Năm học 2001 – 2002
Bài 1 (2 điểm). 
Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn biểu thức M; 	
b) Tính giá trị của M với 
Bài 2 (3 điểm). 
Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0	(1)
	a) Giải phương trình (1) khi cho biết m = 1
	b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
	c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức:
 	A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài 3 (3 điểm). Cho Δc.ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHE. 	
a) Chứng minh ; 	
b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
	c) Tính độ dài DE biết rằng DH = 2cm, HA = 6cm
Bài 4 (2 điểm). Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là thương của phép chia 1000 cho tổng các chữ số của nó.
Năm học 2002 − 2003
Bài 1 (2 điểm): 
Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện của a và b để biểu thức M tồn tại
	b) Rút gọn M
Bài 2 (2 điểm): Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) 	(1)
	a) Giải phương trình (1) với m = 5
	b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
Bài 3 (2 điểm): 
Một tổ máy dệt có kế hoạch dệt 720m vải cao cấp theo năng suất đã định trước. Nếu tăng năng suất 10m vải mỗi ngày thì công việc hoàn thành sớm hơn 4 ngày so với giảm năng suất 20m vải mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến theo kế hoạch
Bài 4 (3 điểm): 
Cho DABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn tâm A bán kính AH. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
	a) Chứng minh rằng DBEC là tam giác cân
	b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, chứng minh rằng AI = AH
	c) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH
	d) Chứng minh BE = BH + DE
Bài 5 (1 điểm): 
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 10 dư 9
Năm học 2003 − 2004
Bài 1 (1,5 điểm): 
Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định
	b) Rút gọn M
Bài 2 (1,5 điểm): 
Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
	a) Giải phương trình với k = 3
	b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3 (2 điểm): 
Một hội trường có 300 ghế được xếp thành từng dãy. Nếu thêm vào mỗi dãy hai ghế nữa và bớt đi ba dãy thì hội trường chỉ còn 289 ghế. Hỏi hội trường lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế ?
Bài 4 (4 điểm): 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến d1 và d2. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến d1 và d2 lần lượt tại C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng:
	a) Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp; 	
b) CD = AC + BD; c) MN // AC; d) CD.MN = CM.DB
Bài 5 (1 điểm): 
Chứng minh rằng nếu số có dạng mà chia hết cho 37 thì các số hạng có dạng cũng chia hết cho 37
Năm học 2004 – 2005
Bài 1 (2,5 điểm). 
Cho biểu thức	
	a) Tìm điều kiện của b để biểu thức M xác định
	b) Rút gọn M
	c) Với giá trị nào của b thì M có giá trị bằng 2
Bài 2 (2 điểm). Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20m, người ta đặt một ống dẫn nước tưới câu dài 100m đúng bằng độ dài của đường chéo khu vườn. Tính diện tích khu vườn
Bài 3 (4 điểm). Cho Δđ.ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. P là một điểm trên cung BC. Qua P kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC và AC. Đường thẳng song song với BC cắt AB kéo dài ở D, đường thửng song song với AC cắt BC ở E
	a) Chứng minh tứ giác BEPD nội tiếp
	b) Cho biết BD = a, DP = b, b > a. Tính diện tích tứ giác BEPD theo a và b
	c) Chứng minh PA = PB + PC
Bài 4 (1,5 điểm). Cho n là số tự nhiên. Tìm n để phân số bằng một số tự nhiên
Năm học 2005 – 2006
Bài 1 (2 điểm). 
Cho biểu thức	
	a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa
	b) Rút gọn biểu thức M
	c) Tìm x để M = 0
Bài 2 (2 điểm). Quãng đường AB dài 200km. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ôtô thứ nhất chạy với vận tốc lớn hơn vận tốc của ôtô thứ hai 10km/h nên đến B trước ôtô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe
Bài 3 (2 điểm). 
a) Giải phương trình:	3x2 + 4x – 4 = 0
	b) Với giá trị nào của b thì phương trình 2x2 + bx – 10 = 0 có một nghiệm bằng 5
Bài 4 (3 điểm). 
Cho Δc.ABC (AB = AC). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHE
	a) Chứng minh 
	b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
	c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm
Bài 5 (1 điểm). Chứng minh rằng không thể có phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với các hệ số a, b, c là những số nguyên, có biệt thức Δ = 23
Năm học 2006 – 2007
Bài 1 (3 điểm):	
a) Giải hệ phương trình: 
	b) Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0. 
Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 2. Tìm nghiệm x2.
Bài 2 (2 điểm): Tìm hai số biết tổng của hai số đó bằng 15 và tích của chúng bằng 56.
Bài 3 (3 điểm): Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tia phân giác của cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M.
	a) Chứng minh OM ^ BC
	b) Chứng minh MC2 = MI.MA
	c) Kẻ đường kính MN. Các tia phân giác của góc ABC và ACB cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh 4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4 (2 điểm): Cho ba số a, b, c biết: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. Chứng minh: a = b = c.
Năm học 2007 − 2008
Bài 1 (3 điểm): 
Giải các phương trình: 	a) 3x2 + 6x − 9 = 0 	
b) x2 − 13x + 36 = 0 
Bài 2 (2 điểm): 
Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2)x + 7 và (d2): y = 5x + n. Với giá trị nào của m và n thì:
	a) Đường thẳng (d1) trùng với đường thẳng (d2)?
	b) Đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2)?
	c) Đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d2)?
Bài 3 (3 điểm): 
Cho phương trình . Tìm giá trị của a để phương trình có một nghiệm lớn hơn 2 lần nghiệm kia 1 đơn vị
Bài 4 (2 điểm): Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN
	a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn
	b) Nếu AB = OB thì ABOC là hình gì? Tại sao?
	c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC biết bán kính đường tròn tâm O bằng R và AB = R.