Tuyển tập đề thi môn Toán trung học cơ sở (thi vào THPT, THPT chuyên, thi HSG)

Tuyển tập đề thi môn toán Trung học cơ sở
(Thi vào THPT, THPT chuyên, thi HSG)
Đề số 1
Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi .
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 3. (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
b) AM cắt EO tạo P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH.
d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng: .
Bài 4. (2 điểm) 
Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nướ chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly?
Đề số 2
Bài 1. (2,5 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của x để P = - 1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có .
Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thới gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?
Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh DAME ~ DACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 4. (2 điểm) 
Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 cm2, chu vi là 6 cm và AB > AD. Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình được tạo thành.
Đề số 3
Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho biết và . Hãy so sánh A + B và A.B.
b) Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 2. (2 điểm) 
a) Giải phương trình: x4 + 24x2 -25 = 0.
b) Giải hệ phương trình: 
Bài 3. (1,5 điểm) 
Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số.	(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
Bài 4. (3 điểm) 
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, góc A bằng 450. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC.
c) Tính tỉ số: .
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
Bài 5. (2 điểm)
Một hình trụ bằng thạch cao có thể tích là 12 cm3 ngừi ta gọt đi để được một hình nón có đáy là một đáy của hình trụ và chiều cao đúng bằng một nửa chiều cao hình trụ. Hãy tình thể tích hình nón.
Đề số 4
Bài 1. ( điểm) Cho hàm số y = f(x) = .
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh f(a) = f(- a) với - 2 Ê a Ê 2.
c) Chứng minh y2 ³ 4.
Bài 2. ( điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cacnhj đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 3. ( điểm) 
Cho hình bình hành ABCD có đinh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì éBMD + éBCD không đổi.
c) DB.DC = DN.AC.
Bài 4. ( điểm) 
Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Nối SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SBD).
c) Tính SO, biết AB = 8 cm; éABD = 300, éASC = 600.
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì .
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào?
Đề số 5
Bài 1. ( điểm) Cho .
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 2. ( điểm) 
a) Giải hệ phương trình 
b) Giải phương trình 
Bài 3. ( điểm) 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE.
a) Chứng minh BC// DE.
b) Chứng minh từ giác CODE; APQC nội tiếp được.
c) Tứ giác BCQP là hình gì?
Bài 4. ( điểm) 
Cho hình chóp tứ giác đều SABC có cạnh bên bằng 24 cm và đường cao bằng 20 cm.
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 5. ( điểm)
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 6
Bài 1. ( điểm) 
Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m. Xác định (D) trong mỗi trường hợp sau:
a) (D) đi qua điểm A(-1; 2).
b) (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng .
Bài 2. ( điểm) Cho biểu thức .
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài 3. ( điểm) 
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O') cắt đường tròn (O') và (O) theo thừ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng.
b) éBQD = éAPB.
c) Từ giác APBQ nội tiếp.
Bài 4. ( điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ nửa đường thẳng AS vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kẻ AM vuông góc với SB.
a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính thể tích hình chóp SABC, biết AC = 2a; SA = h và éACB = 300.
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > 0 thoả mãn thì
.
Đề số 7
Bài 1. ( điểm) Tìm x biết: .
Bài 2. ( điểm) Cho phương trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0.	(1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài 3. ( điểm) 
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tộc đi 4 km/giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 4. ( điểm) 
Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC. Nối BK cắt AC ở I.
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD// AC.
b) Chứng minh: IC2 = IK.IB.
c) Cho góc BAC bằng 600. Chứng minh cát tuyến AKD đi qua O.
Bài 5. ( điểm)
Biết rằng a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh .
Đề số 8
Bài 1. ( điểm) Cho biểu thức 
a) Với giá trị nào của x và y thì biểu thức có nghĩa?
b) Rút gọn P.
c) Tìm số trị của biểu thức với x = 3; y = 4 + 2
Bài 2. ( điểm) 
a) Cho hàm số y = ax + b
Tính a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; - 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3/2.
b) Viết công thức một hàm số, biết đồ thị của nó song song với đồ thị hàm số trên và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 1.
Bài 3. ( điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn nếu loại xe đó dược huy động.
Bài 4. ( điểm) 
Cho tam giác ABC cân ở A, có góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau ở F.
a) Tìm những tứ giác có thể nội tiếp được đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó.
b) Chứng minh EB là tia phân giác của góc AEF.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN.
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.
Đề số 9
Bài 1. ( điểm) 
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đường thẳng (D) có phương trình y = 2x + 3.
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình x2 - 2x - 3 = 0 (có giải thích).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (D) và tiếp xúc với (P).
Bài 2. ( điểm) 
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.
Bài 3. ( điểm) 
Tìm m sao cho hệ phương trình hai ẩn x, y:
có nghiệm với mọi giá trị của n.
Bài 4. ( điểm) 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn tâm (O). K là giao điểm của CF và ED.
a) Chứng minh rằng bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.
b) BKC là tam giác gì ? Vì sao ?
c) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O)/
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) Ê abc.
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề số 10(() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hưng Yên, năm học 2001 - 2002.
)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
, với 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi cho .
c) Tính giá trị của x để A = 3.
Bài 2. (2 điểm) 
Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài 3. (2 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) 5 + 4x(x + 3) > 1 + 4x(x + 5).
b) 
Bài 4. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC = AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E ạ B, C), từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt tại I, K.
a) Tính độ lớn góc CIK.
b) Chứng minh KA.KC = KB.KI.
c) Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng H, E, K thẳng hàng.
d) Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC.
Đề số 11(() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thái Bình, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức K.
c) Với nhừng giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 2. (2 điểm) 
Cho hàm số y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D):
a) Đi qua điểm A(1; 2003);
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0;
c) Tiếp xúc với parabol .
Bài 3. (3 điểm) 
a) Giải toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
b) Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 4. (3 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a) Chứng minh CDEF là một từ giác nội tiếp.
b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng r2 = r12 + r22.
Đề số 12(() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Thừa Thiên - Huế, 2002 - 2003.
)
Bài 1. (2,5 điểm) 
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: 
c) Giải bất phương trình: .
Bài 2. (2 điểm) 
a) Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
b) Rút gọn biểu thức: với ẵaẵ > ẵbẵ> 0.
Bài 3. (2 điểm) 
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khoá vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi II lên gấp đôi, nên vòi II đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giở rưỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì bao lâu mới đầy bể ?
Bài 4. (3,5 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AE và CD cắt nhau tại H (H là trực tâm của tam giác ABC).
a) Chứng minh đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BH.
b) Gọi K là trung điểm cạnh AC. Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Đề số 13(() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Bán công, ĐHSP Hải Phòng, 2003 - 2004.
)
Bài 1. (2 điểm) Cho hệ phương trình: 	(1)
a) Giải hệ phương trình (1) khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức với x > 0 và x ạ 1.
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Bài 3. (2 điểm) Cho phương trình (m - 1)x2 + 2mx2 + m - 2 = 0.	(*)
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biết.
Bài 4. (3 điểm) 
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến AM, MB (A, B là tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt đường tròn tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng OM, MD, OI.
a) Chứng minh rằng: R2 = OE.OM = OI.OK.
b) Chứng minh rằng 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.
c) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng góc DEC bằng hai lần góc DBC.
Bài 5. (1 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
Đề số 14(() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Hải Dương, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. (2 điểm) Cho hám số y = f(x) = .
a) Hãy tính f(2), f(- 3), f(-), f().
b) Các điểm A(1; ), B(; 3), C(- 2; - 6), D() có thuộc đồ thị của hàm số không?
Bài 2. (2,5 điểm) Giải các phưng trình:
a) 	b) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4).
Bài 3. (1 điểm) Cho phương trình 2x2 - 5x + 1 = 0.
Tính (với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình)
Bài 4. (3,5 điểm) 
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I.
a) Chứng minh IA vuông góc với CD.
b) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
Bài 5. (1 điểm) Tìm số nguyên m để là số hữu tỉ.
Đề số 15
Bài 1. ( điểm) Xét biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 0.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2. ( điểm) 
Giải hệ phương trình: 
Bài 3. ( điểm) 
Cho nửa tròn (O; R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M.
a) CEF và EMB là các tam giác gì ?
b) Chứng minh rằng tứ giác FCBM nội tiếp được trong một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
c) Chứng minh rằng các đường thẳng OE, BF, CHỉNG MINH đồng quy.
Bài 4. ( điểm) 
Phân tích ra thừa số: a4 - 5a3 + 10a + 4.
áp dụng giải phương trình: .
Đề số 16(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. (4 điểm) Cho phương trình: (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0.
a) Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (- 1; 0).
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Bài 2. (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a) 
b) 
c) 
Bài 3. (3 điểm) 
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh: 
b) Cho x ³ 1, y ³ 1. Chứng minh: 
Bài 4. (3 điểm) 
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với các đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. (2 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6. (3 điểm) 
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d'), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O') tại D, đường thẳng (d') cắt (O) tại M và cắt (O') tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.
Đề số 17(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Nam Định, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. ( điểm) Rút gọn biểu thức:
Bài 2. ( điểm) 
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0.Chứng minh rằng các biểu thức P = a + b + a3 + b3; Q = a2 + b2 a4 + b4; R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5.
Bài 3. ( điểm) Cho hệ phương trình (x và y là các ẩn số):
	(1)
a) Giải hệ phương trình (1) với m = 7.
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm.
Bài 4. ( điểm) 
Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt vòng tròn (C1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt vòng tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng quy.
Bài 5. ( điểm)
Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác, đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
Đề số 18(i () Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TX. Hà Đông, Hà Tây, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. (5 điểm) Cho a, b, c là các số dương.
1/ Cho , hãy chứng minh:
a) A ³ B.
b) với a ạ b.
2/ Rút gọn biểu thức: .
Bài 2. (4 điểm) 
Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x: a1x2 + b1x + c1 = 0 và a2x2 + b2x + c2 = 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng: (a1c2 - a2c1)2 = (a1b1 - a2b1)(b1c2 - b2c1).
Bài 3. (3 điểm) 
Với giá trị nào của m thì một trong các nghiệm của phương trình x2 - 8x + 4m = 0 sẽ gấp đôi một nghiệm nào đó của phương trình x2 + x - 4m = 0.
Bài 4. (4 điểm) 
Cho đường tròn tâm O, một dây AB cố định, C là một điểm chuyển động trên cung nhỏ AB. Gọi M là trung điểm của dây BC, từ M vẽ MN vuông góc với tia AC (N ẻ AC).
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5. (4 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở D và E.
a) Gọi O' là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE, tính OO'.
b) Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt đường thẳng DE lần lượt ở M và N. Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp.
c) Chứng minh: 
Đề số 19(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9,THCS Hoa Lư, Quận 9, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2002 - 2003.
)
Bài 1. (7 điểm) Rút gọn: 
a) 
b) 
c) 
Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: 
Bài 3. (3 điểm) 
a) Với x, y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài 4. (8 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính bất kì AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trực tâm của các đoạn thẳng EA và AF.
1) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
2) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.
3) Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và 
4) Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (KẻEF; MẻBE và N ẻBF) sao cho cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF theo tỉ số thì các góc của tam giác BEF là bao nhiêu ?
Đề số 20(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TX. Hà Đông, Hà Tây, năm học 2003 - 2004.
)
Bài 1. (4 điểm) Cho biểu thức: 
Rút gọn rồi tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2. (4 điểm) Rút gọn các biểu thức:
a) 
b) 
Bài 3. (4 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m -1)x + 2m2 - 3m + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 Ê m Ê 1.
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình, chứng minh: .
Bài 4. (5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chứ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.
b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chừng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC.
c) Cho AB = 8cm; AC = 19cm. Tính diện tích tứ giác MDEN ?
Bài 5. (3 điểm) 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, vẽ tia Ax vuông góc với AD, cắt BC tại E; tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F. Chứng minh EF đi qua O.
Đề số 21(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 1, TP. Pleiku, Gia Lai, 2003 - 2004.
)
Bài 1. ( điểm) Rút gọn biểu thức: , với 3 Ê x Ê 4.
Bài 2. ( điểm) 
a) Chứng minh rằng: với mọi a, b.
b) Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 3. ( điểm) 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = - 3xy + 8y2.
Bài 4. ( điểm) 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Chứng minh PN vuông góc với AB.
b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng.
Bài 5. ( điểm) 
Cho một hình vuông có độ dài bằng 1 m, trong hình vuong đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường tròn.
Đề số 22(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 2, TP. Pleiku, Gia Lai, 2003 - 2004.
)
Bài 1. ( điểm) 
Tìm một số có 5 chữ số. Biết rằng nếu ta xoá đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.
Bài 2. ( điểm) Chứng minh rằng: 
 với a, b, c, d ẻR.
Bài 3. ( điểm) 
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
b) Chứng minh giá trị của biểu thức: (với x ³ 0)
không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 4. ( điểm) 
Cho tam giác AHC có ba góc nhọn, đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH; hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O.
a) Chứng minh DABH ~ DMKO.
b) Chứng minh: .
Đề số 23(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2003 - 2004.
)
A. Phần bắt buộc:
Bài 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a) 	b) 
Bài 2. (4 điểm) 
a) Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: 
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2. 
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Bài 3. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được một đường tròn.
Bài 4. (4 điểm) 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
B. Phần chọn. Học sinh chọn một trong hai bài sau đây:
Bài 5a. (4 điểm) 
a) Xác định m để phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 có hai nghiệm.
b) Gọi hai nghiệm là x1, x2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ờ2x1x2 + x1 + x2 - 4ờ.
Bài 5b. (4 điểm)
Cho biểu thức: (x ³ 0, x ạ 9, x ạ 4).
a) Thu gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P = 1.
Đề số 24(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (vòng 1), Thừa Thiên - Huế, 2003 - 2004.
)
Bài 1. (3 điểm) 
a) Giải hệ phương trình: 
b) Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. (3,5 điểm) 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi M là trung điểm của cạnh BC, H là trực tâm tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Tính độ dài AK và diện tích tam giác ABC, biết rằng OM = HK = và AM = 30 cm.
Bài 3. (3,5 điểm) 
a) Tìm m để cho phương trình (m + 1)x222222
2 - 3mx + 4m = 0 có nghiệm dương.
b) Giải phương trình: 
Đề số 25(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (vòng 2), Thừa Thiên - Huế, 2003 - 2004.
)
Bài 1. (3,5 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Chứng minh: với a ³ 1, b ³ 1.
Bài 2. (3,5 điểm) 
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q.
Chứng minh DM.IA = MP.IB và tính tỉ số 
Bài 3. (3 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz - 1).
Đề số 26(() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Bình Thuận, năm học 2003 - 2004.
)
Bài 1. (6 điểm) 
1) Chứng minh rằng: là số nguyên.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2. (6 điểm) 
1) Giải phương trình: 
2) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): .
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy.
b) Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB