Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán - TP Hồ Chí Minh

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005
TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA
Câu 1: (4 điểm)
Cho phương trình: x4–(3m+14)x2+(4m+12)(2–m) = 0 (có ẩn số là x)
a)Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
Câu 2 : Giải phương trình 
A) 
B) 
Câu 3: (3 điểm)
Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh:
 (1)
Câu 4 : (3 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa phương trình x2 + xy + y2 = x2y2
Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (o;R). Vẽ tam giác đều ACD (D và B ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC. Gọi E là giao điểm của BD với đường tròn (O), gọi M là giao điểm của BD với đường cao AH của tam giác ABC.
A)	a)     Chứng minh MADB là một tứ giác nội tiếp
B)	b)     Tính ED theo R
Câu 6 (2 điểm) : 
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O.Trên cung AC không chứa điểm B lấy 2điểm M và K theo thứ tự A,K,M,C . Các đoạn thẳng AM và BK
cắt nhau tại E ,còn các đoạn thẳng 
KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC.
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2004 – 2005
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA
Câu 1 : Cho phương trình x2 + px + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình x2 + qx + 1 = 0 có 2 nghiệm b1 , b2 . Chứng minh :
(a1 – b1) (a2 – b2) (a1 + b2) (a2 + b2) = q2 – p2
 Câu 2 : Cho các số a,b,c ,x,y,z thỏa : x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by , x + y + z ¹ 0
Chứng minh : 
Câu 3 : 
a)	a)     Tìm x,y thỏa 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
b)	b)     Cho các số dương x,y,z thỏa x3 + y3 + z3 = 1. 
Chứng minh 
Câu 4 : Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thỏa phương trình x3 – y3 = 1993
Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) (AB < AC).Đường tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O).
a)	a)     Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC
b)	b)     Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng bốn điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
c)	c)     Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA.
  Câu 6 : Cho DABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD = a và CD = b ( a > b) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E . Tính AE theo a và b.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
(Tham khaûøo)
Bài 1: (2,0 điểm) 
1) Cho phương trình : 
a) Giải phương trình trên khi m = 2/3 
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 16. 
2) Giải phương trình : 
Bài 2: (2,0 điểm) 
1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn x2 + 4y2 = 1. 
Chứng minh rằng 
2) Cho phân số :
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản. 
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng : 
1) Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn ; 
2) Tam giác BPR cân ; 
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. 
Bài 4: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
NĂM HỌC 2004 – 2005
Câu 1 : (4 điểm) : Giải hệ 
Câu 2 : (3 điểm) : Cho x > 0 thoả Tính:
Câu 3 : (3 điểm) : Giải phương trình: 
Câu 4 : (4 điểm) 
a)     Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82
b)     Tìm các số nguyên x, y, z thoả hệ 
Câu 5 : (4 điểm) : 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O (AB < BC). Vẽ đường tròn tâm I qua hai điểm A và C cắt đoạn AB, BC lần lượt tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J qua ba điểm B, M, N cắt đường tròn tâm (O) tại điểm H (khác B)
a) Chứng minh OB vuông góc với MN
b)	Chứng minh IOBJ là hình bình hành
c)	Chứng minh BH vuông góc với IH	 
Câu 6 : (2 điểm) : Cho hình bình hành ABCD. Qua một điểm S ở trong hình bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tai M, P và cũng qua S. Kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CD tại N, Q. Chứng minh ba đường thẳng AS, BQ, DP đồng quy 
KỲ THI TUYỂN SINH LÔÙP 10 PTNK
Năm học 2000 – 2001
Đề thi môn Toán AB. 
Bài 1: Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 
x² – 7x + 3 = 0
1) Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1.
2) Hãy tính giá trị của biểu thức A = |2x1 – x2| + |2x2 – x1|.
Bài 2: 1) Giải hệ phương trình
2) Giải hệ phương trình
Bài 3: 1) Giải phương trình 
2) Gọi α, β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt là m và n.
Tìm m và n nếu .
Bài 4: Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M và N. 
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng góc ADM = góc CDN.
Bài 5: Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. 
a) Gọi A là một đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được những điểm số nào.
b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.
HẾT
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK
NĂM HỌC 2001 – 2002
MÔN: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút.
**********
Bài 1: 
a) Giải bất phương trình
 .
b) Giải hệ phương trình 
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x² + ax + 1 = 0 và x² + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x² + x + a = 0 và x² + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c.
Bài 3: 
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = CN = AB/3. Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.
b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng (AC) vuông góc (SBD) và (SAC) vuông góc (SBD).
Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2, BC = 13, CD = 8, DA = 5. 
a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE.
b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.
Bài 5: Trong một giải cờ Vua có 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được 1/2 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng số điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết như quả thế nào?
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK
 (Năm học 2003 – 2004)
MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin , Lý, Hóa, Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: Cho phương trình 
mx² + 2mx + m² + 3m – 3 = 0. (1)
a) Định m để phương trình (1) vô nghiệm.
b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa |x1 – x2| = 1.
Bài 2: a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình:
Bài 3: Cho tam giác ABC có . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. 
a) Tính tỉ số MN/BC .
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng OA vuông góc MN.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a.
b) Gọi H là chân đường cao AC.^SIJ. Chứng minh rằng SH Dkẻ từ S của 
Bài 5: Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Tin, Lý, Hóa của trường Phổ thông Năng Khiếu. Trong đó: Không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; Có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; Có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý và lớp Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý và Hóa. Hỏi số học sinh chọn thi và từng lớp là bao nhiêu?
–HẾT–
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK
NĂM HỌC 2004-2005
Môn: TOÁN AB (cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh).
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: (2 điểm) 
a) Giải phương trình
b) Định m để phương trình x² - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Câu 2: (2 điểm) 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
a² + b² + c² = (a – b)² + (b – c)² + (c – a)².
a) Tính a + b + c biết rằng ab + bc + ca = 9.
b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a, c ≥ b thì c ≥ a + b.
Câu 3: (2 điểm) 
Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km. Cả hai chếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ, hãy tính vận tốc của từng chiếc ô-tô.
Câu 4: (3 điểm) 
Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K khác A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua BC.
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B.
b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C).
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C).
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK
NĂM HỌC 2005 – 2006
MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1. Cho phương trình: 
. 
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có ba nghiệm phân biệt.
Câu 2. a) Giải hệ phương trình:
.
b) Giải hệ phương trình:
.
Câu 3. a) Giải phương trình: . 
b) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
ab + 2bc + 3ca ≤ 0.
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I (I không trùng A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. 
a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC; P là điểm thuộc cạnh AB sao cho
góc PMB = góc NMC. Chứng minh các điểm C, H, P thẳng hàng.
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 5. Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 học sinh thì còn thừa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phòng thi không thể chứa quá 40 học sinh.
–HẾT–
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK
NĂM HỌC 2006 – 2007
MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: (2 điểm) Cho phương trình: 3x² – 10|x| + 4m – 7 = 0. (1)
a) Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tìm các nghiệm còn lại của phương trình (1).
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: 
.
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. 
Tính
b) Cho a, b, c thỏa (a + b)(b + c)(c + a) ≠ 0 và
.
Chứng minh rằng a = b = c.
Câu 4: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có AC vuông góc với BD và AC cắt BD tại I. Biết rằng IA = 6cm; IB = 8cm; ID = 3cm. 
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN.
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài PN.
Câu 5: (1 điểm) Để tặng thưởng cho các học sinh đạt thành tích cao trong một kỳ thi Olympic toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng, bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được thưởng 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được thưởng 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 50.000 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao, hỏi ban tổ chức đã trao bao nhiêu giải nhất, nhì và khuyến khích?
–HẾT–
Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ
 Naêm hoïc 2006 – 2007	 
Caâu 1 : (3 ñ)Thu gọn các biểu thức:
	a)
	b) 
	c) 
Caâu 2 : (3 ñ)
Chứng minh : 
Cho . 
Chứng minh : . Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
Caâu 3 : (4 ñ)
	Giải hệ phương trình và phương trình:
	a)
	b) 
Caâu 4 : (2 ñ) Cho phương trình : có các hệ số là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
Caâu 5 : (4 ñ)
	Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
b)Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c)Giả söû CD cắt AB tại K. Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK. 
Caâu 6 : (4 ñ)
Tam giaùc ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ACB = 45o. Đöôøng troøn ñöôøng kính AB caét AC vaø BC laàn löôït taïi M vaø N. Chöùng minh MN vuoâng goùc OC vaø MN = .	
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
NĂM HỌC 2008-2009
Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) 2x2 + 3x – 5 = 0	(1)
	b) x4 – 3x2 – 4 = 0	(2)
	c) 	(3)
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –x2 và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng 	một hệ trục toạ độ.
	b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3: Thu gọn các biểu thức sau:
	a) A = 
	b) B = (x > 0; x ≠ 4).
Câu 4:	Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
	a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
	b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để .
Câu 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp 	tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
	a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
	b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên 	một đường tròn.
	c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường 	tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD.
	d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, 	B, K thẳng hàng. 
-----oOo-----