Ứng dụng nguyên lí dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải toán hình học

ĐẠI HỌC VINH - KHOA TỐN
--–&—--
Đề tài:
Ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn 
trong giải tốn hình học 
Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng
Sinh viên thực hiện : Hồng Thị Ngọc Trà
MSSV : 0851000037
Lớp : 49A Tốn
 Vinh – 2011
Mục lục
Trang
Nhận xét của giáo viên
.
Lời cảm ơn
 Nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn là hai nguyên lí cĩ nội dung khá đơn giản, song nĩ lại là một cơng cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của tốn học. Nĩ cĩ nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực lại cĩ thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài tốn tổ hợp, số học, đại số Nĩ là cơng cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học và là một trong những phương pháp tiếp cận bài tốn rất độc đáo. Đặc biệt là đối với các bài tốn dành cho học sinh giỏi, thi chọn đội tuyển quốc gia hay các kì thi IMO cũng như các kì thi tốn học trên thế giới. Việc sử dụng hai nguyên lí đĩ khơng chỉ tạo nên những kết quả đẹp khi giải quyết những bài tốn chứng minh trong đại số, lý thuyết số mà cả ở hình học. Vì vậy đề tài «Ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải tốn hình học » là một đề tài rất thiết thực khai thác vào một phương pháp giải tốn hình học mà chưa được nhắc tới nhiều.
 Trong khuơn khổ giới hạn của đề tài, tơi khơng đưa ra các khái niệm, định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài, các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng.
 Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết cĩ hạn nên chắc chắn khơng tránh khỏi thiếu sĩt. Vì vậy, tơi rất mong được sự gĩp ý của thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc.
 Một lần nữa tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng, cũng như Thư viện Đại học Vinh và tồn thể các bạn sinh viên lớp 49A Tốn đã giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này ! 
 Người thực hiện
Sinh viên :
 Hồng Thị Ngọc Trà
LỜI MỞ ĐẦU
 1. Lí do chọn đề tài
 Sau gần nửa thế kỉ hình thành và phát triển, cĩ thể nĩi, giáo dục mũi nhọn (giáo dục năng khiếu) đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ với nhiều thành tích và huy chương chĩi lọi. Các đội tuyển quốc gia tham gia các kì thi Olympic quốc tế (IMO) cĩ bề dày thành tích mang tính ổn định và cĩ tính kế thừa. 
 Từ nhiều năm nay, các hệ năng khiếu tốn học và các trường THPT chuyên thường sử dụng song song sách giáo phổ thơng và kết hợp thêm các tài liệu chuyên khoa. Ngồi thị trường hiện tại cĩ rất nhiều tài liệu tham khảo. Song, vấn đề về các tài liệu mang tính chất chuyên đề vẫn con rất ít, hoặc nĩi rất mờ nhạt. Đặc biệt là các chuyên đề về hình học. Vì vậy trong bài tiểu luận mơn hình học sơ cấp và lịch sử tốn này tơi đã chọn đề tài là “Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong việc giải tốn hình học” . Hi vọng nĩ cĩ thể trở thành một tài liệu tham khảo cho quá trình dạy học bộ mơn hình học ở trường THPT và dành cho học sinh chuyên tốn.
 Nguyên lí dirichlet và nguyên lí cực hạn là hai nguyên lí cĩ nội dung khá đơn giản, song nĩ lại là một cơng cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của tốn học. Nĩ đặc biệt cĩ nhiều ứng dụng trong lĩnh vực lại cĩ thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài tốn tổ hợp, số học, đại số Đặc biệt nĩ là cơng cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học.
 Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà khơng đưa ra được phương pháp tìm vật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài tốn ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.
 2. Mục đích nghiên cứu
 Mục đích của bải tiểu luận là nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn qua các kì thi cũng như quá trình dạy học bộ mơn hình học ở trường THPT để tổng hợp và đưa ra được các ứng dụng quan trọng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn vào việc giải tốn hình học.
 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Để đạt được mục đích nghiên cứu trên bài tiểu luận cĩ nhiệm vự làm rõ những vấn đề sau: 
3.1.Nêu rõ được nội dung của hai nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn.
3.2.Nêu được cách ứng dụng hai nguyên lí trên vào việc giải tốn hình học như thế nào.
3.3.Hệ thống lại được các dạng bài tập cĩ ứng dụng hai nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn.
 4.Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm cho một cái nhìn tổng quát nhất về nội dung nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn và nhận diện bài tốn cĩ thể giải quyết được bằng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn.
 - Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây dựng được một hệ thống bài tập đi từ dễ tới khĩ, từ cụ thể tới tổng quát cĩ ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn.
 5.Giải thuyết khoa học.
 Nếu xác định được các ứng dụng và hệ thống lại được các dạng bài tập thì sẽ gĩp phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn đặc biệt là bộ mơn hình học ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi.
 6.Tình hình nghiên cứu đề tài.
 Trong quá trình tìm hiểu, đề tài “Ứng dụng của nguyên lí dirichlet và nguyên lí cực hạn và giải tốn hình học” là một đề tài hay, được khá nhiều tài liệu cũng như luận văn đề cập tới nhưng gần như đều dừng lại ở mức chung chung, hoặc chỉ dành cho nĩ một vài ý nhỏ trong cả nội dung lớn của phần Tốn rời rạc. 
7.Đĩng gĩp của bài tiểu luận.
 7.1. Về mặt lý luận: 
 Bài tiểu luận này nêu rõ được các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí Cực hạn vào giải tốn hình học và hệ thống được các dạng bài tập. 
 7.2. Về mặt thực tiễn: 
 Bài tiểu luận sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy ở trường THPT cũng như quá trình dạy học sinh giỏi.
 8.Cấu trúc của bài tiểu luận.
 Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. bài tiểu luận gồm cĩ 2 chương:
Chương 1 : Nguyên lí Dirichlet
Chương 2: Nguyên lí Cực hạn.
CHƯƠNG 1 - NGUYÊN LÝ DIRICHLET
1.1.Nhà tốn học Dirichlet
 Giới thiệu chung: 
 Tốn học ở Đức trong nửa đầu của thế kỷ thứ XIX đã đạt tới một mức độ lớn, nĩ được đánh dấu bới các cơng trình nghiên cứu lớn của CF Gauss (1777-1855), CGJ Jacobi (1804-1851), và G. Lejeune-Dirich (1805-1859). Trong thực tế, hầu như tất cả các nhà tốn học hàng đầu của Đức vào giai đoạn này đã cĩ vai trị rất quan trọng trong cơng tác giảng dạy và truyền thụ lại kiến thức. Điều này đặc biệt đúng cho Jacobi và Dirichlet, những người thành cơng nhất trong cơng tác giáo dục và đã đạt được một cấp độ mới về giảng dạy theo định hướng nghiên cứu hiện tại của họ trong khi Gauss lại là một người "thực sự khơng thích" việc giảng dạy – hay nĩi đúng hơn là việc giảng dạy khơng được Gauss quan tâm nhiều lắm trong sự nghiệp nghiên cứu của mình. Vai trị hàng đầu của tốn học Đức trong nửa sau của thế kỷ XIX và thậm chí đến năm 1933 định mệnh sẽ là khơng thể tưởng tượng nếu khơng cĩ cơ sở đặt bởi Gauss, Jacobi, và Dirichlet. Nhưng trong khi Gauss và Jacobi đã được vinh danh thì cĩ lẽ tên tuổi của nhà tốn học Drichlet lại chỉ cĩ một vài bài báo, bài viết ngắn bằng tiếng Anh. Vì vậy trong bài tiểu luận của tơi hơm nay xin được trích nguyên một phần để nĩi về nhà tốn học lỗi lạc này: G. Lejeune-Dirich
 Phần này bao gồm các ý như sau: 
1. Vài nét về tiểu sử nhà tốn học Dirichlet. 
2. Các cơng trình tốn học.
Chân dung nhà tốn học Dirichlet
 1.1.1 Vài nét về tiểu sử nhà tốn học Dirichlet. 
 G. Lejeune-Dirich tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sinh ra tại Duren – vùng đất nằm giữa Cologne và Aachen vào ngày 13 tháng 2 năm 1805. Ơng là người con thứ bảy và cũng là con út của Johann Arnold Lejeune Dirichlet (1762-1837) cùng vợ là Anna Elisabeth.Cha của Dirichlet là một bưu điện viên, nhà lái buơn và cũng ủy viên hội đồng thành phố ở Duren với chức danh là chính ủy Poste. Năm 1807, sau khi tồn bộ khu vực bờ trái của dịng sơng Rhine nhận sự cai trị của Pháp – kết quả của cuộc chiến tranh giữa cách mạng Pháp và Napoleon, các thành viên của gia đình Dirichlet đã trở thành cơng dân Pháp. Cuối cùng thất bại của Napoleon Bonaparte tại trận chiến Waterloo và sự tổ chức lại Châu Âu tại Hội nghị Vienna (1814-1815), một vùng rộng lớn của khu vực bờ trái sơng Rhine bao gồm Bonn, Cologne, Aachen và Duren đã thuộc Phổ, và gia đình Dirichlet đã trở thành cơng dân Phổ. 
 Cái tên "Lejeune Dirichlet" xuất hiện một cách khá bình thường cho một gia đình người Đức. Chúng tơi xin giải thích ngắn gọn nguồn gốc của nĩ : ơng của Dirichlet là Antoine Lejeune Dirichlet – ơng nội của Dirichlet (1711 - 1784) được sinh ra ở Verviers (gần EGE `Li, Bỉ) và định cư ở Duren, nơi ơng đã kết hơn với một cơ con gái của một gia đình Duren. Cha của G. Lejeune-Dirich là người đầu tiên mang tên "Lejeune Dirichlet" (cĩ nghĩa là "Dirichlet trẻ") để phân biệt với tên của ơng nội, người đầu tiên cùng tên. Tên gọi "Dirichlet" (hoặc "Derichelette") cĩ nghĩa là "tới từ Richelette" - một thị trấn nhỏ ở Bỉ. Chúng tơi đề cập đến điều này với mục đích là tránh sai lầm rằng Dirichlet là hậu duệ của một gia đình Huguenot Pháp. 
 Cha mẹ của Dirichlet rất cĩ năng khiếu nuơi dạy con. Điều này chắc chắn sẽ khơng là một vấn đề dễ dàng đối với họ, vì gia đình họ thực sự khơng mấy khá giả. 
 Đầu tiên Dirichlet tham dự một trường tiểu học tư thục. Ở đĩ, ơng đã được hướng dẫn bằng tiếng Latin nĩ như là một bước chuẩn bị cho trường trung học nơi mà việc nghiên cứu các ngơn ngữ cổ xưa như là một phần thiết yếu của việc đào tạo. Tài năng tốn học Dirichlet bộc lộ từ rất sớm. Khi chưa đầy 12 tuổi ơng đã sử dụng tiền túi của mình để mua sách về tốn học, và khi họ nĩi rằng ơng khơng thể hiểu chúng, ơng đã trả lời rằng , dù sao đi nữa rằng ơng cũng sẽ đọc chúng cho đến khi thực sự hiểu chúng. 
 Lúc đầu, cha mẹ của Dirichlet muốn con trai của họ trở thành một thương gia. Và ơng đã mạnh mẽ phản đối kế hoạch này và nĩi rằng ơng muốn học, cha mẹ của ơng đã đồng ý và gửi ơng tới trường trung học ở Bonn năm 1817. Ở đây cĩ những cậu bé 12 tuổi được quan tâm, chăm sĩc và giám sát của Peter Joseph Elvenich (1796-1886), một học sinh xuất sắc về các ngơn ngữ cổ đại và triết học, người đã được làm quen với gia đình Dirichlet. Đối với Dirichlet, Elvenich đã khơng phải giám sát nhiều. Ơng là một học sinh chăm chỉ và tốt với cách cư xử dễ chịu, ơng đã nhanh chĩng giành được sự yêu mến của tất cả những người cùng làm việc với ơng. Đối với đặc điểm này, chúng ta cĩ rất nhiều người đương thời nổi tiếng làm chứng như A. von Humboldt (1769 - 1859), CF Gauss, Jacobi CGJ, Fanny Mendelssohn Bartholdy Hensel nee (1805 - 1847), Felix Mendelssohn Bartholdy (1809-1847), KA Varnhagen von Ense (1785 - 1858), B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831-1916). Dirichlet cho thấy một sự quan tâm đặc biệt trong tốn học và lịch sử.
 Sau hai năm Dirichlet chuyển tới trường trung học Jesuiter tại Cologne. Khi đĩ Elvenich đã trở thành một nhà ngữ văn tại trường trung học ở Koblenz và được thăng làm giáo sư tại trường Đại học Bonn và Breslau, và luơn nhận thơng tin về cơng việc cũng như bằng tốt nghiệp bác sĩ của Dirichlet .Tại Cologne, Dirichlet đã được tham dự bài giảng về tốn học của Georg Simon Ohm (1789-1854) – người nổi tiếng với những phát hiện về định luật Ohm (1826). Năm 1843 Ohm phát hiện ra rằng nâm thanh chuẩn được mơ tả bởi 
dao động hình sin. Phát hiện này đã mở đường cho việc áp dụng giải tích Fourier vào việc phân tích âm thanh. Dirichlet đã đạt được những tiến bộ nhanh chĩng trong tốn học theo sự chỉ đạo của Ohm cùng với sự nghiên cứu siêng năng của ơng về những luận án tốn học, vì vậy mà ơng đã sớm cĩ được một kiến thức rộng lớn ngay cả ở độ tuổi này. Ơng học tại trường trung học tại Cologne năm chỉ cĩ một, bắt đầu vào mùa đơng năm 1820, và sau đĩ bỏ đi với một chứng chỉ bỏ học. Trên chứng chỉ đĩ đã khẳng định rằng Dirichlet đã vượt qua kì thi Abitur, nhưng kiểm tra một trong các tài liệu cho thấy rằng khơng phải như thế. Các quy định về việc kiểm tra Abitur yêu cầu các ứng viên phải cĩ khả năng thực hiện một cuộc trị chuyện bằng tiếng Latinh - ngơn ngữ chung của thế giới học thức trong nhiều thế kỷ. Kể từ khi Dirichlet vào trường trung học chỉ mới ba năm, cĩ lẽ ơng đã cĩ những vấn đề trong việc thỏa mãn điều kiện quan trọng này. Hơn nữa ơng cũng khơng cần Abitur để học tốn học – những gì mà ơng mong ước. Tuy vậy, sự thiếu khả năng nĩi La tinh của ơng đã làm ơng gặp khĩ khăn nhiều trong suốt sự nghiệp của mình như chúng ta sẽ thấy sau này. Trong mọi trường hợp, Dirichlet đã bất thường rời khỏi trường trung học ở độ tuổi 16 với chứng chỉ đã rời trường học nhưng khơng cĩ một kiểm tra Abitur. 
 Cha mẹ của ơng bây giờ muốn anh học luật để đảm bảo một cuộc sống tốt để họ con trai. Dirichlet tuyên bố ơng sẵn sàng cống hiến hết mình cho việc học hằng ngày trong thời gian ban ngày - nhưng sau đĩ ơng sẽ nghiên cứu tốn học vào ban đêm. Sau này cha mẹ của ơng đã đồng ý để ơng nghiên cứu tốn học. 
 Học tại Paris. 
 Khoảng 1820 các điều kiện để nghiên cứu tốn học ở Đức là khá xấu cho học sinh thực sự sâu sắc quan tâm đến tốn học. Nhà tốn học nổi tiếng thế giới duy nhất là CF Gauss ở Gottingen, nhưng lại giữ một cái ghế cho thiên văn học. Gauss vị giám đốc đầu tiên Sternwarte , với gần như tất cả các khĩa học của mình đã dành cho thiên văn học, đo đạc, và áp dụng tốn học. Hơn nữa, Gauss khơng thích giảng dạy - ít nhất là khơng phải từ cấp độ thấp theo lệ thường ở thời đĩ. Ngược lại, các điều kiện ở Pháp lúc đĩ thực sự là tốt hơn. Các nhà khoa học nổi tiếng như P.-S. Laplace (1749-1827), A.-M. Legendre (1752-1833), J. Fourier (1768-1830), S.-D. Poisson (1781-1840), A.-L. Cauchy (1789-1857) đều hoạt động ở Paris, làm cho thủ đơ của nước Pháp trở thành một thế giới của tốn học. Gia đình của Dirichlet cũng cĩ một vài mối quan hệ khá tốt với một số gia đình người Pháp tại Paris và họ đã để cho con trai của họ đi đến Paris vào tháng 5 năm 1822 để nghiên cứu tốn học. Dirichlet học tại Sb EGE `de France và ở Faculte des Sciences, nơi ơng tham dự các bài giảng của các giáo sư lưu ý như SF Lacroix (1765-1843), J.-B. Biot (1774-1862), JNP Hachette (1769-1834), và Francœur LB (1773-1849). Ơng cũng xin phép tham dự các bài giảng là một sinh viên khách mời nổi tiếng Ecole Polytechnique. Nhưng đại biện phía Phổ tại Paris đã từ chối yêu cầu đĩ nếu khơng cĩ một sự cho phép đặc biệt từ bộ trưởng Phổ của các cơng tác tơn giáo, giáo dục, và y học, hay của chính Freiherr Karl Zooming volt Stein Altenstein. 17 tuổi một sinh viên như Dirichlet tới từ Rhenisch, một tỉnh lẻ khơng cĩ cơ hội để kiếm được một sự cho phép như vậy.. 
 Chi tiết về các khĩa học Dirichlet là dường như khơng được biết. Chúng tơi biết rằng Dirichlet, khơng chỉ những khĩa học đĩ , bài luận văn kiệt tác về số học của Gauss cũng được Dirichlet chú ý. Theo yêu cầu của Dirichlet,mẹ của ơng đã mua một bản sao của bài luận văn và gửi tới Paris cho ơng trong tháng mười một năm 1820 Khơng cịn nghi ngờ gì nữa, những nghiên cứu về những kiệt tác lớn của Gauss đã để lại cho Dirichlet 1 ấn tượng lâu dài, cái mà cĩ tầm quan trọng ko thua kém gì so với ấn tượng mà các khĩa học. Chúng ta biết rằng việc nghiên cứu Dirichlet về bài luận văn số học diễn ra thường xuyên trong cuộc đời của ơng, và chúng ta cĩ thể giả định chắc chắn rằng ơng là nhà tốn học người Đức đầu tiên nắm rõ về nghiên cứu độc đáo này.
 Ơng khơng bao giờ đặt bản sao đĩ trên kệ của mình, vì nĩ luơn luơn nằm trên bàn của ơng. Sartoriusvon Waltershausen ([Sa], trang 21) đã viết rằng Dirichlet đã luơn luơn mang theo bản sao đĩ bên mình trên tất cả các chuyến đi của mình điều đĩ giống như việc các giáo sĩ luơn luơn bên mình mang theo cuốn sách cầu nguyện của họ. Sau một năm sống yên tĩnh trong sự tách biệt, chỉ tận tâm tới những sự nghiên cứu của mình, cuộc sống của Dirichlet đã cĩ một sự thay đổi cơ bản trong mùa hè năm 1823. Tướng MS Foy (1775 - 1825) đang tìm kiếm một người giám hộ riêng để dạy ngơn ngữ Đức và văn học cho các con của mình. Nĩi về tướng MS Foy, đĩ là một vị tướng lỗi lạc cĩ trình độ học vấn cao, một vị anh hùng nổi tiếng đĩng vai trị lãnh đạo trong suốt 20 năm trong cuộc chiến tranh của cách mạng Pháp và Napoleon Bonaparte. Ơng đã dành được rất nhiều sự mến mộ vì chính những chiến lược của ơng mà quân đội tránh được những tổn thất nặng nề khơng cần thiết. Năm 1819 Foy được bầu vào Viện đại biểu nơi mà ơng là người đứng đầu phe đối lập tấn cơng mạnh mẽ nhất vào các chính sách mà phần lớn được bỏ phiếu cĩ lợi cho vua chúa cũng như giáo sĩ cực đoan. Bằng sự giúp đỡ của Larchet de Charmont, một người bạn cũ của Tướng Foy và người bạn của cha mẹ Dirichlet, Dirichlet đã được giới thiệu với gia đình Foy và ơng đã nhận được một cơng việc với mức lương tốt, để ơng khơng cịn phải phụ thuộc vào sự hỗ trợ tài chính của cha mẹ. Cơng việc giảng dạy rất vừa phải, Dirichlet cĩ đủ thời gian cho những sự nghiên cứu của mình... Ngồi ra, với sự giúp đỡ của Dirichlet,Mme Foy ơn lại tiếng Đức của cơ, và, ngược lại, cơ đã giúp Dirichlet thốt khỏi giọng Đức của mình khi nĩi tiếng Pháp. Dirichlet được đối xử như là thành viên của gia đình Foy và cảm thấy rất thoải mái khi ở vị trí may mắn này. Ngơi nhà của Tổng Foy là một điểm hẹn của nhiều nhân vật nổi tiếng ở thủ đơ nước Pháp và chính điều này đã cho phép Dirichlet đạt được sự tự tin trong mặt xã hội của ơng - điều đĩ cĩ tầm quan trọng trong cuộc sống tương lai của ơng. Dirichlet nhanh chĩng làm quen được với các giáo viên trong viện hàn lâm của mình.
 Cơng việc đầu tiên mang tính chất hàn lâm của Dirichlet là một bản dịch tiếng Pháp của một bài báo của JA Eytelwein (1764 - 1848), thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Hồng gia ở Berlin, về thủy động lực học ([EY]). Giáo viên của Dirichlet là Hachette sử dụng bản dịch này khi ơng đã đưa ra một báo cáo cơng việc này cho những người ở Pari, Societe Paris Philomatique tháng 5 năm 1823, và ơng xuất bản một bài phê bình lại trong Bulletin des Khoa học mệnh Societe la Philomatique de Paris, 1823, trang113-115. Bản dịch đã được in vào năm 1825 ([EY]), và Dirichlet gửi một bản sao choViện Hàn lâm Khoa học tại Berlin năm 1826 ([Bi.8], trang 41). 
 Cơng trình khoa học đầu tiên của Dirichlet cĩ tên Memoire sur l'impossibilite de quelques indeterminees du `cinqui EME degre ([Q.1], trang 10-20 và tr 21-46) ngay lập tức được đánh giá cao trong giới khoa học.
 “Memoire sur l'impossibilite de quelques indeterminees du `cinqui EME degre”
 Cơng việc này liên quan chặt chẽ đến Định lý Fermat lớn của năm 1637, định lí phát biểu rằng phương trình: 
khơng thể được giải quyết trong tập số nguyên, (x, y, z , n ≥ 3, n).
 Chủ đề này vẫn cịn đang cĩ nhiều tranh cãi, do đĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã treo một giải thưởng cho người chứng minh được giả thuyết này, các giải pháp phải được gửi trước tháng 1 năm 1818. Trong thực tế, chúng ta biết rằng Wilhelm Olbers (1758 - 1840) đã gây ra sự chú ý của Gauss cho câu hỏi này, hy vọng rằng sẽ Gauss cĩ thể dành được giải thưởng, một huy chương vàng trị giá 3.000 Franc ([O.1] tr 626-627). Tại thời điểm đĩ, lời giải cho phương trình Fermat đối với các số nguyên khác khơng chỉ được chứng minh cho hai số mũ n, cụ thể là cho n = 4 của Fermat, và cho n = 3 của Euler. 
 Vì đã được chứng minh đầy đủ với n = 4 và cho tất cả n số nguyên tố lẻ = p ≥ 3, vấn đề đã được mở cho tất cả các số nguyên tố p ≥ 5. Dirichlet bắt đầu nghiên cứu các trường hợp p = 5 và bắt đầu xem xét phương trình:
trong tập các số nguyên, trong đĩ a là một số nguyên cố định. Ơng đã chứng minh cho nhiều giá trị đặc biệt của a, ví dụ: 
 Cho a = 4 và cho a = 16, mà phương trình này thừa nhận giải pháp khơng tầm thường trong tập số nguyên. Đối với các phương trình Fermat, Dirichlet đã chỉ ra rằng đối với bất kỳ giả thuyết khơng tầm thường cơ bản x, y, z, một trong những con số phải được chia cho 5, và ơng suy ra một mâu thuẫn theo giả định rằng con số này là số chẵn. Những " trường hợp kỳ lạ " cịn lại được giải quyết đầu tiên. 
 Dirichlet gửi nghiên cứu của mình cho Viện Hàn lâm Khoa học Pháp và nhận được sự cho phép thuyết trình về cơng việc của mình cho các thành viên của Học viện. Điều này phải được coi là một sự kiện đáng ghi nhớ vì lúc đĩ ơng là một sinh viên pháp 20 tuổi, chưa từng được cơng bố bất cứ điều gì và thậm chí ơng chưa cĩ một bằng cấp nào. Dirichlet thuyết trình bài giảng của mình vào ngày 11 tháng sáu 1825, và một tuần sau đĩ được Lacroix và Legendre viết một bài báo ngưỡng mộ ơng, nhờ vào đĩ mà Học viện quyết định để bài báo được in trong bản Ghi nhớ Recueil des des Savansetrangers. Tuy nhiên, dự định về việc xuất bản khơng trở thành hiện thực. Năm 1825, Dirichlet đã phải tự mình xuất bản, và xuất bản nĩ sau này dưới hình thức chi tiết hơn trong tập thứ ba của của Tạp chí Crelle (tạp chí được thành lập bởi August Leopold Crelle (Berlin) vào năm 1826 và chỉnh sửa bởi ơng cho đến khi qua đời vào năm 1855) Sau đĩ Legendre đặt vấn đề cho các trừơng hợp lẽ đã nĩi ở trên, và Dirichlet cũng tiếp tục xử lý trường hợp này bằng các phương pháp của mình. Điều này giải quyết các trường hợp n = 5 một cách hồn chỉnh.
 Dirichlet đã cĩ đĩng gĩp đáng kể đầu tiên cho phát biểu của Fermat sau hơn 50 năm sau khi Euler, và ngay lập tức tạo được danh tiếng cho ơng như là một nhà tĩan học tài ba. Bảy năm sau đĩ, ơng cũng đã chứng minh rằng phương trình của Fermat cho số mũ 14 thừa nhận phương pháp số nguyên khơng tầm thường. (Các trường hợp n = 7 đã được giải quyết chỉ vào năm 1840 bởi G. Lame (1795-1870).) Một điểm đáng chú ý của cơng việc của Dirichlet về vấn đề của Fermat dựa trên các dạng tồn phương, đĩ là, trong 
Z [ ] với n = 5, và Z [ ] với n = 14. 
 Ơng dường như đã dành nhiều suy nghĩ về vấn đề này, khi năm 1843 
E. Kummer (1810-1893) đã cho anh ta một danh sách cĩ chứa một cách chứng minh chung chung cho phát biểu của Fermat. Dirichlet trả lại bản thảo và nhấn mạnh rằng đây thực sự sẽ là một phương pháp chứng minh hợp lệ. Nếu Kummer đã khơng chỉ đưa ra phân số cho bất kỳsố nguyên nào dưới lĩnh vực.thành một phân số tối giản. Tuy nhiên, điều này khơng đúng. Ở đây và trong phần thứ hai 'của Gauss về biquadratic dư lượng chúng ta phân biệt được sự khởi đầu của lý thuyết số đại số. 
 Các bài giảng cho các học viện đã cho Dirichlet tiếp xúc gần gũi hơn với một vài học thuật nổi tiếng, đặc biệt là với Fourier và Poisson, người đã đánh thức niềm say mê của ơng trong vật lý tốn học. Những người quen với Fourier và nghiên cứu của Theorie analytique de la chaleur của ơng rõ ràng đã cho anh động lực để sau này của ơng kỷ nguyên làm việc trên chuỗi Fourier.
 Tham gia dịch vụ quân sự nước Phổ. 
 Cho đến tận1807 Alexander von Humboldt (1769-1859) vẫn cịn sống ở Paris và làm việc một mình trên 36 thể tích minh họa lãng phí về đánh giá khoa học của đồn thám hiểm nghiên cứu của ơng trong những năm 1799-1804 với A. Bonpland (1773-1858) đến phía Nam và Trung Mỹ. Cuộc thám hiểm này đã đem về cho anh danh tiếng rất lớn trên tồn thế giới, và ơng trở thành một viện sĩ thơng tấn của Học viện hàn lâm Pháp năm 1804 và một thành viên quốc tế vào năm 1810. Von Humboldt đã cĩ một niềm đam mê rất lớn đối với khoa học tự nhiên và trên đĩ, ơng đã hào phĩng dùng sự nổi tiếng của mình để hỗ trợ trẻ tài năng trong bất kỳ loại hình nghệ thuật hay khoa học,thậm chí ngay cả khi ơng khơng cịn một xu trong túi. Khoảng năm 1825 ơng đã được về để hồn thành cơng việc tuyệt vời của mình và quay trở lại Berlin giống như một quý ơng và được sự quan tâm của vua Phổ Friedrich Wilhelm III, là người cũng muốn cĩ tiếng tăm bên khoa học.
 Với sự giới thiệu của Fourier và Poisson, Dirichlet đã tiếp xúc với A. von Humboldt. Đối với Dirichlet việc tìm kiếm một việc làm cố định đã trở thành một vấn đề cấp bách trong 1825-1826, kể từ khi Tướng Foy lâm chung vào tháng 11 năm 1825, và việc đĩ đồng nghĩa với cơng việc gia sư sẽ chấm dứt sớm. J. Liouville (1809-1882) đã lặp đi lặp lại nhiều lần rằng Dirichlet sẽ sẵn sàng ở lại tại paris nếu ơng cĩ việc, thậm chí chỉ là một vị trí với mức lương khiêm tốn ([T], phần đầu tiên, trang 48, chú thích). Nhân dịp chuyến thăm đầu tiên của ơng với A. von Humboldt, Dirichlet bày tỏ mong muốn cho một cuộc hẹn tại Phổ quê hương của mình. Von Humboldt ủng hộ ơng trong kế hoạch và đề nghị giúp đỡ ơng cùng một lúc. Mục tiêu của việc tuyên bố này là để biến Berlin thành một trung tâm về nghiên cứu về tốn học và khoa học tự nhiên ([Bi.5]). 
 Với sự giúp đỡ von Humboldt, đơn xin việc ở Berlin được viết một cách đầy hứa hẹn: Ngày 14 Tháng 5, 1826, Dirichlet đã viết một lá thư xin việc cho tướng Phổ von Altenstein và thêm một tái bản cuốn luận văn của mình về những vấn đề của Fermat và một lá thư giới thiệu của von Humboldt tới người bạn cũ của ơng von Altenstein. Dirichlet cũng đã gửi các bản sao của cuốn luận văn của ơng về các vấn đề Fermat và bản dịch của ơng về cơng việc của Eytelwein cho Viện Hàn lâm ở Berlin cùng với một giấy giới thiệu của A. von Humboldt, rõ ràng là hy vọng để được hỗ trợ bởi các viện sĩ và các nhà thiên văn học Eytelwein JF Encke (1791-1865), ---một sinh viên của Gauss, và là thư ký Viện Hàn lâm. Thứ ba, ngày 28 tháng 5 năm 1826, Dirichlet gửi một bản sao bản luận văn của ơng về vấn đề Fermat với một lá thư kèm theo đến CF Gauss ở Gưttingen, giải thích tình hình của ơng và yêu cầu Gauss gửi đánh giá của mình tới một trong những cộng sự của ơng ở Berlin. Vì chỉ cĩ rất ít người cĩ đủ hiểu