Vấn đề 1 Chứng minh các điểm thẳng hàng

Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứng minh các góc đối đỉnh:
Chú ý: Để chứng minh hai góc là đối đỉnh, ta cần chứng minh chúng:
có chung đỉnh;
có số đo bằng nhau;
có một cặp cạnh là hai tia đối nhau; hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa hai cạnh kia.
Ví dụ 1. Trên đường tròn ngoại tiếp DABC, lấy điểm M tuỳ ý. Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: A', B', C' thẳng hàng. (Đường thẳng Simson)
A
B
C
M
A'
C'
B'
Chứng minh:
Giả sử M thuộc cung AC (các trường hợp khác tương tự).
Tứ giác ABCM nội tiếp (ABC) nên .
Tứ giác BA'MC' nội tiếp (vì ) nên: 
Từ đó: Þ và trong hai điểm A', C' có một điểm nằm trên cạnh và một điểm nằm ngoài cạnh DABC.	(1)
Tứ giác MCA'B' nội tiếp đường tròn đường kính MC (vì ), nên:
	 (góc nội tiếp cùng chắn cung A'C)	(2)
Tứ giác AB'MC' nội tiếp (vì ), nên:
	 (góc nội tiếp cùng chắn cung AC')	(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: và do đó chúng là hai góc đối đỉnh Þ A', B', C' thẳng hàng (đpcm).
2. Chứng minh tổng các góc bằng 1800:
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Trên CD, lấy điểm M tuỳ ý. Đường tròn đường kính BM cắt đường tròn đường kính CD tại N và cắt AB tại E. Chứng minh rằng: D, N, E thẳng hàng.
3. Sử dụng tiên đề Euclide:
Chú ý: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB, AC cùng song song với một đường thẳng khác.
Ví dụ 3. Cho DABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các phân giác của các góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D, E, F.
	a) Chứng minh rằng: DBDI là tam giác cân.
	b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của của AC và DE. Chứng minh rằng: P, I, Q thằng hàng.
4. Áp dụng định lí Menélaus:
Chú ý: (Định lí Menélaus)
	Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của DABC, lần lượt lấy các điểm P, Q, R. Khi đó:
	P, Q, R thẳng hàng Û .
Ví dụ 4. Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: Ba giao điểm của ba cặp đường thẳng AB và A1B1, BC và B1C1, CA và C1A1 thẳng hàng.
II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho DABC vuông tại A. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABHK, ACDE.
	a) Chứng minh rằng: H, A, D thẳng hàng.
	b) Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp DABC tại F. Chứng minh rằng: DFBC là tam giác vuông cân.
	c) Giả sử . Gọi M là giao điểm của FB và ED. Chứng minh rằng: B, K, E, M, C cùng ở trên một đường tròn.
	d) Chứng minh rằng: MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC).
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến di động quanh A cắt (O), (O') tại P, Q. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AP, AQ.
	a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của IJ luôn đi qua một điểm cố định.
	b) Đường vuông góc với PQ tại P và Q cắt (O), (O') tại N, M. Chứng minh rằng: N, B, M thẳng hàng.
Bài 3. Cho DABC vuông tại A, có AB = 15cm, BC = 25cm. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O') đường kính AC ở D (khác A). Gọi M là điểm chính giữa của cung CD; N là giao điểm của tia AM và (O).
	a) Tính độ dài AC, AD.
	b) Chứng minh rằng: O, N, O' thẳng hàng.
	c) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: IO ^ IO'.