Vấn đề 3 Điểm cố định của một họ đường

Vấn đề 3. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1. Cấp độ 1: Chứng minh họ đường đi qua một điểm cố định có sẵn
Ví dụ 1. Từ một điểm A ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. D là điểm di động trên đoạn BC. Đường vuông góc với OD tại D cắt AB và AC lần lượt tại E và F; cắt (O) tại M và N.
	a) Chứng minh rằng: ME = NF.
b) Chứng minh rằng: Đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Þ Chú ý: Để chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2. Cấp độ 2: Điểm cố định là giao của họ đường với một đường cố định nào đó.
Ví dụ 2. Qua điểm P nằm trên đường tròn (O) cho trước và một điểm Q nằm trên một đường thẳng d cho trước, ta vẽ một đường tròn (O') bất kì, cắt (O) tại điểm thứ hai là R và cắt d tại điểm thứ hai là S. Chứng minh rằng: Đường thẳng RS luôn đi qua một điểm cố định khi (O') thay đổi.
3. Cấp độ 3: Dự đoán điểm cố định
Þ Phương pháp: Dự đoán hoặc vẽ một số trường hợp để phát hiện ra điểm cố định rồi chứng minh (có thể bằng cách chứng minh sự thẳng hàng hoặc đồng quy).
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và một dây AB cố định. Gọi M là điểm bất kì trên cung AB, K là trung điểm của MB. Kẻ KP ^ AM. Chứng minh rằng: Khi M chạy trên cung AB thì KP luôn đi qua một điểm cố định.
II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E. Vẽ DH ^ BC; EK ^ BC. Cho biết HK = BC. Chứng minh rằng: Đường tròn (ADE) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Bài 2. Cho DABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm D di động trên cung BC không chứa A.
a) Dựng đường tròn (O1) qua D và tiếp xúc AB tại B; đường tròn (O2) qua D và tiếp xúc AC tại C.
b) (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng: Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3. Cho DABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Qua A, vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường thẳng BC tại D và cắt (O) tại điểm thứ hai là E.
	a) Chứng minh rằng: AB là tiếp tuyến của đường tròn (BDE).
b) Gọi F là điểm đối xứng của C qua AE. Chứng minh rằng: Khi AE quay quanh A thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho DABC. Gọi Cx, Cy là các tia trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B sao cho tia Cx nằm giữa hai tia Cy và CB; Cx // AB. Một đường thẳng bất kì qua B cắt Cx, Cy tại D và E. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.