Vấn đề 6: Các dạng khoảng cách và đường vuông góc chung

Vấn Đề 6: Các Dạng Khoảng Cách Và Đường Vuông Góc Chung
Dạng 1: Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng.
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ta cần thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Xác định đoạn vuông góc MH với , bằng cách dựng một mặt phẳng qua M và theo giao tuyến d, hạ .
Bước 2: được tính bằng các định lý của hình học sơ cấp.
Lưu ý:
Khoảng cách còn được gọi là độ dài đoạn vuông góc trong định lý ba đường vuông góc.
Sau này ta cũng có thể tìm MH bằng công thức tính diện tích hay thể tích của vật thể.
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B và . Tính .
 Cho hình chóp S.ABC có và . Lấy điểm sao cho và gọi I là trung điểm CM. Tính .
Cho tứ diện ABCD có . Dựng .
Chứng minh: H nằm trên trung tuyến BI của tam giác BCD.
Xác định .
Cho hình chóp S.ABC có và tam giác ABC đều cạnh a.
Tính .
Giả sử . Tính .
Cho hình chóp S.ABCD có và . Tính ; khi biết .
Dạng 2: Tìm Khoảng Cách Từ Một Đường Thẳng (Hay Mặt Phẳng) Song Song Với Một Mặt Phẳng.
Phương pháp:
Để tìm khoảng cách từ đường thẳng hay mặt phẳng đến mặt phẳng ta làm hai bước sau:
Bước 1: Lấy một điểm M tùy ý trên hay trên .
Bước 2: Hạ MH là khoảng cách cần tìm.
Lưu ý: ta cũng có thể tính MH bằng công thức tính thể tích.
Cho tam giác ABC vuông tại A và . Gọi Ax và By là hai tia vuông góc với (ABC) về một phía. Tính và .
Cho hai tia Ax và By vuông góc với mặt phẳng hình thoi ABCD và ở cùng một phía. Tính , biết hình thoi cạnh a có diện tích bằng .
Dạng 3: Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng.
Phương pháp:
Phương pháp 1: Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng .
Bước 1: Từ điểm M, hạ đường vuông góc MH với đường thẳng .
Bước 2: Độ dài là khoảng cách cần tìm.
Phương pháp 2: Tìm mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng tại H. Suy ra: .
Phương pháp 3: Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Phương pháp 4: Đôi lúc để tính khoảng cách ta còn dùng công thức tính diện tích hình phẳng.
Cho góc và điểm A ở ngoài mặt phẳng Oxy. Cho biết và . Tính .
Cho hình chóp A.BCD có tam giác BCD vuông cân và . Gọi M là điểm thỏa: . Tính .
Cho tam giác ABC . Ax và By cùng vuông góc với (ABC) và ở cùng về một phía. Lấy M và N trên Ax và By sao cho .
Chứng minh: .
Tính .
Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A và tạo với nhau một góc . Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A, lấy điểm B với ; trên đường thẳng đi qua B và song song với lấy điểm C với . Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên .
Tính độ dài AD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD). Từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Xác định tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng . (Đề A 1 – 1981)
Cho một góc tam diện OABC mà cả ba mặt AOB, BOC, COA đều bằng . Cho , đặt là những số thực dương. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BOC).
Hãy xác định rõ vị trí của điểm H và tính độ dài của OH và AH.
Chứng minh rằng: nếu thì ta có hệ thức: . (Các Trường Cao Đẳng – 1984).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với .
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Hy là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax, đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Hy cắt Ax tại . Xác định h theo a để ngắn nhất. (Đại Học Pháp Lý – 1991)
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a và . Đặt .
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh: . (Đại Học Quốc Gia Khối A – 1997).
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho , góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) là .
Trong mặt bên (SAC), từ A hạ AF vuông góc với SC. Chứng minh: .
Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) theo a và . (Đại Học Giao Thông Vận Tải Cơ Sở 1 – 1999).
Cho SABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và ; cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và .
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Gọi O là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). (Đại Học Huế - Khối A – 2000).
Trong mặt phẳng (P) cho điểm O và một đường thẳng d cách O một khoảng . Lấy trên d hai điểm khác nhau B, C sao cho . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm A sao cho .
Tính thể tích tứ diện OABC.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo h. (Đại Học Quốc Gia Hà Nội – Khối G – 1997).
Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B đối xứng nhau qua (P). I là giao điểm của AB với (P), O là một điểm ngoài (P), có hình chiếu vuông góc xuống (P) là H, M là một điểm tùy ý trên đường tròn đường kính HI trong (P). Chứng minh:
MI là khoảng cách vuông góc chung của BA và MO.
Khoảng cách từ O và H đến mặt phẳng (BAM) bằng nhau. Tính thể tích tứ diện BOMA biết . (Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội – 1997)
Dạng 4: Đoạn Vuông Góc Chung Của Hai Đường Thẳng Chéo Nhau.
Phương pháp: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa:
Bước 1: Chọn sao cho .
Bước 2: Tính độ dài đoạn AB. Suy ra .
Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng còn lại.
Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng b và đường thẳng . Gọi .
Bước 2: Trong mặt phẳng dựng .
Bước 3: Kết luận AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Phương pháp 3: Trường hợp 
Bước 1: Dựng mặt phẳng tại A và .
Bước 2: Dựng .
Bước 3: Kết luận AB là đoạn vuông góc chung.
Lưu ý:
Ta nên kiểm tra xem dạng này có thực hiện được hay không mới thực hiện các dạng khác.
Hình chiếu trong định lý 3 đường vuông góc là đoạn vuông góc chung.
Phương pháp 4: a và b chéo nhau bất kỳ.
Bước 1: Dựng tại và là hình chiếu của b xuống .
Bước 2: Dựng .
Bước 3: Dựng .
Bước 4: Dựng .
Bước 5: Kết luận AB là đoạn vuông góc chung.
Lưu ý: Khi thực hành ta nên tính vì .
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Cho hình chóp S.ABCD có , đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc chung của SA và CD.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. và . Khi , hãy dựng và tính độ dài đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng: SA và CD; AB và SD; AD và SC.
Cho hình lăng trụ các mặt bên đầu là các hình vuông cạnh a.
Hình lăng trụ ấy có đặc điểm gì?
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của và .
Cho và là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau nhận làm đoạn vuông góc chung . Gọi O là trung điểm AB, (r) là đường tròn tâm O bán kính R nằm trong mặt phẳng trung trực (P) của AB, M là một điểm thuộc (r).
Chứng minh: tồn tại duy nhất một đoạn thẳng d qua M và cắt cả hai đường thẳng và .
Gọi E; F lần lượt là giao điểm của d với và . Đặt . Chứng minh rằng: là một đại lượng không đổi khi M di chuyển trên (r).
Cho tứ diện đều SABC cạnh a.
Hãy tính chiều cao SO phát xuất từ đỉnh S và thể tích V của tứ diện SABC.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC. Tính độ dài MN theo a. (Đại Học Y – 1976).
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a vẽ Bx và Dy là hai nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với (ABCD). Giả sử chạy trên Bx và chạy trên Dy sao cho nhị diện luôn luôn vuông. Đặt và .
Tìm một hệ thức liên hệ giữa a, u và v.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hạ OI vuông góc với . Chứng minh: OI là đoạn vuông góc chung của AC và .
Chứng tỏ . Suy ra nhị diện cũng vuông. (Đại Học Tổng Hợp Tp. HCM – 1991).
Cho AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau x; y. Lấy , AB cố định và ; M, N thay đổi và , để ta luôn có , k không đổi.
Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Trong trường hợp và hãy xác định m, n theo k và d để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất và tunh1 giá trị đó. (Đại Học QUốc Gia Hà Nội – Khối A – 1997).
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Gọi là góc nhọn tạo bởi mặt bên và đáy của hình chóp S.ABCD.
Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD theo a và .
Xác định đường vuông góc chung của SA cà CD. Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và . (Đại Học Y Dược Tp. HCM – 1999).