Vận dụng suy luận hình học để giải một số bài toán về hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

Vận dụng suy luận hình học
để giải một số bài toán về hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
 Trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường xuất hiện các bài toán về hàm số 
y = ax2 được phát biểu dưới dạng “ Tìm điểm M thuộc Parabol (P) thoả mãn một điều kiện nào đó”. Phần lớn học sinh đều khá vất vả khi đi tìm lời giải, tuy nhiên nếu khéo léo vận dụng suy luận và tư duy hình học thì lời giải trở nên ngắn gọn và dễ hiểu hơn. Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu cách làm trên thông qua một bài toán cụ thể sau:
Bài toán: Cho Parabol y = x2 có đồ thị là (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. 
 1/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB cân tại M
 2/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho diện tích tam giác NAB bằng 3 (đvdt)
 3/ Tìm điểm K thuộc (P) sao cho diện tích tam giác KAB gấp đôi diện tích tam giác OAB
 4/ Tìm điểm Q (có hoành độ là m: -1≤m≤2) thuộc (P) sao cho diện tích tam giác QAB lớn nhất
 5/ Tìm điểm F thuộc trục hoành Ox sao cho FA + FB ngắn nhất
 Sau đây là hướng dẫn giải 
1/
 Phân tích: Điểm M có tính chất: M thuộc (P) và cách đều A, B do đó M là giao điểm của (P) và đường trung trực của đoạn thẳng AB (Hình 1)
Vì thế bài toán được giải theo các bước sau:
 - Lập phương trình đường trung trực của AB là (d)
 - Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Lời giải
Ta có A(-1;1), B(2;4). Suy ra toạ độ trung điểm của AB là I(0,5; 2,5) 
Nếu gọi phương trình đường thẳng (AB) có dạng: y = ax + b
Thì a, b là nghiệm của hệ: Ûdo đó PT (AB) là: y = x + 2
Phương trình đường thẳng (d) là trung trực của AB có dạng: y = mx + n
Vì (d) ^ AB nên m.1 = -1 suy ra m = -1 mà (d) đi qua I(0,5; 2,5) nên 2,5 = -0,5 + n 
suy ra n = 3 do đó phương trình của (d): y = - x + 3
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ:
 Û 
Hình 1
Û 
Vậy các điểm M cần tìm là: ; 
Phân tích: Điểm N cần tìm là giao điểm của (P) và hai đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng là h bằng độ dài chiều cao kẻ từ N đến AB 
Gọi H là điểm đối xứng của O qua AB(ở đây DOAB vuông tại A) nên OA chính là khoảng cách h suy ra đường thẳng thứ nhất sẽ đi qua O(0; 0), dựa vào tính chất các đường thẳng song song cách đều sẽ suy ra đường thẳng còn lại đi qua D(0; 4) thuộc Oy (Hình 2). Do đó có thể giải theo các bước sau:
- Lập PT đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng h (là chiều cao tam giác NAB)
- Tìm toạ độ giao điểm của các đường thẳng đó với Parabol (P)
- Khẳng định các điểm tìm được thoả mãn bài toán
2/ 
Hình 2
Giải:
*) ĐK cần:
 - PT đường thẳng (AB) là: y = x + 2
 - PT đường thẳng (d) song song với (AB) đi qua O(0; 0) là: y = x
 - PT đường thẳng (d’) song song với (AB) đi qua D(0; 4) là: y = x + 4
+) Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ:
Û Û Û hoặc 
 được hai điểm là O(0; 0) Và N1(1; 1)
+) Toạ độ giao điểm của (d’) và (P) là nghiệm của hệ:
Û Û Û 
được thêm hai điểm nữa là: N2(;) và N3 (;)
*) ĐK đủ
 Dễ thấy DOAB vuông tại A và AB = OA = suy ra SOAB = 3 (đvdt). Mà OA là khoảng cách giữa các đường thẳng : y = x; y = x+ 2; y = x+ 4 nên các điểm N tìm được đều thoả mãn bài toán
Tóm lại tìm được bốn điểm thoả mãn bài toán là:
 O(0; 0); N1(1; 1); N2(;) và N3 (;)
3/ 
Phân tích: 
PT đường thẳng (AB) là y = x + 2 cắt Oy tại điểm I(0;2). Nối OA thì OA ^ AB (PT của OA là: y = -x) ta suy ra điểm K thuộc đường thẳng (d) song song với AB cắt Oy tại D và cách AB một khoảng gấp hai lần OA, trên OA lấy H sao cho AH = 2OA, bằng cách xét tỷ số của hai tam giác đồng dạng OAI và OHD suy ra D(0;6) Do đó K là giao điểm của đường thẳng song song với AB đi qua điểm D(0;6) và (P) (Hình 3)
Hình 3
Do đó bài toán được giải theo các bước sau:
 - Xác định toạ độ điểm D thuộc Oy sao cho 
 - Lập PT đường thẳng (D) đi qua D và song song với (AB)
 - Tìm toạ độ giao điểm K của (D) và (P)
 - Khẳng định K là điểm thoả mãn yêu cầu
Lời giải
*) Điều kiện cần
Ta có A(-1;1), B(2;4). Nếu gọi phương trình đường thẳng (AB) có dạng: y = ax + b
Thì a, b là nghiệm của hệ: Ûdo đó PT (AB) là: y = x + 2
Phương trình đường thẳng (d) song song với (AB) có dạng y = x + m (m ≠ 2) đi qua D(0;6) suy ra m = 6 do đó PT (d) là: y = x + 6
Toạ độ điểm K cần tìm là nghiệm của hệ: Û 
 Û Û Vậy có hai điểm thoả mãn là K(-2; 4), K’(3; 9)
*) Điều kiện đủ
Dễ thấy chiều cao kẻ từ K của DKAB chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song y = x + 2 và y = x + 6 khoảng cách này đúng bằng 2OA theo Talet do đó 
SKAB = 2SOAB
4/ 
Phân tích: Ta cần tìm điểm Q thuộc (P) và cách xa AB nhất. Điểm thoả mãn điều này chính là tiếp điểm của tiếp tuyến với (P) và song song với AB (Hình 3) do đó có thể giải như sau
 - Lập phương trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P)
 - Tìm toạ độ tiếp điểm Q của (D) và (P)
 - Khẳng định khoảng cách từ Q đến AB là lớn nhất
Hình 4
Lời giải
Ta có A(-1;1), B(2;4) và AB có phương trình là: y = x + 2
Phương trình đường thẳng (d) song song với AB có dạng y = x + m (m ≠ 2) 
(d) tiếp xúc với (P) Û phương trình hoành hoành độ giao điểm x2 = x + m có nghiệm kép Û x2 – x – m = 0 có nghiệm kép 
 Û D = 0 Û m = - 0,25 
khi đó nghiệm kép là x = 0,5 
suy ra toạ độ tiếp điểm Q (0,5; 0,25)
 Mọi điểm Q’ thuộc cung AB khác điểm Q đều có khoảng cách đến AB nhỏ hơn khoảng cách từ Q đến AB
Vậy Q(0,5; 0,25) là điểm cần tìm
5/ 
Phân tích: 
Quan sát hình vẽ nhận thấy nếu lấy A' đối xứng a qua Ox thì FA = FA' suy ra 
FA + FB = FA' + FB ³ A'B dấu bằng xảy ra khi A, F, B' thẳng hàng do đó điểm F chính là giao điểm của đường thẳng A'B và Ox (Hình 5). Do đó giải theo các bước như sau
- Lấy A’ đối xứng với A qua Ox
- Lập PT đường thẳng A’B
- Tìm toạ độ giao điểm F của A’B và Ox
- Khẳng định F là điểm thoả mãn đề bài
F
Hình 5
Lời giải
*) ĐK cần
 Ta có A(-1;1), B(2;4) lấy A’ đối xứng A qua Ox thì A’ (-1; -1)
Phương trình đường thẳng (A’B) đi qua A’(-1; -1) và B(2; 4) có dạng: y = mx + n trong đó m, n là nghiệm của hệ: 
 Û Û 
 suy ra phương trình của (AB’) là: . 
Cho y = 0 suy ra Do đó F(; 0) là điểm cần tìm
*) ĐK đủ 
 Vì A’ đối xứng với A qua Ox thì A’(-1; -1) suy ra FA = FA’ 
Nên FA + FB = FA’ + FB ³ AB suy ra FA + FB ngắn nhất bằng A’B dấu bằng xảy ra khi A’, F, B thẳng hàng do đó điểm F(;0) chính là giao điểm của đường thẳng A’B và Ox là điểm cần tìm.
Một lưu ý trong quá trình giải là ta nên minh hoạ bài toán bằng hình vẽ và nhìn bài toán dưới “con mắt’ hình học chắc chắn sẽ giúp các bạn nhanh chóng định hướng cách giải 
Sau đây là một số bài tập tự luyện 
Bài 1: Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = (m - 1)x + 3
Chứng tỏ rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
Tìm m để tam giác OAB có diện tích bằng 2 (đvdt)
Tìm quỹ tích những điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (P) mà hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
Bài 2: Cho (P) y = và đường thẳng (d) y = x + 1,5
Tìm toạ độ giao điểm A, B của (d) và (P)
 b. Tìm điểm M có hoành độ là m (-1 < m < 3) sao cho SDMAB ≤ 4 (S là ký hiệu diện tích)
Bài 3 Cho (P) y = và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -2, 4. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB cân tại M
Bài 4: Cho (P) y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là --2, 3. Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA + MB ngắn nhất
Bài 5 Cho (P) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = x + 3
Tìm toạ độ giao điểm A, B của (d) và (P)
Tìm điểm M trên (P) sao cho diện tích tam giác MAB gấp đôi diện tích tam giác OAB
 Nguyễn Thanh Toàn
GV trường THCS Vũ Vân - Vũ Thư – Thái Bình